Anwendungsaufgaben Kegel einfach erklärt: Formeln & Beispiele

Stell dir vor, du möchtest für eine Party eigene Partyhüte basteln oder berechnen, wie viel Eis in eine Waffel passt. Beide Objekte haben die Form eines Kegels! Um bei Anwendungsaufgaben zum Kegel herauszufinden, wie viel Pappe du für den Hut brauchst oder wie viel Eis in die Waffel passt, müssen wir die Eigenschaften des Kegels genau kennen. Oft sind aber nicht alle Maße gegeben. Lass uns anschauen, wie wir fehlende Größen ganz einfach berechnen können!

Vorwissen

• Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Katheten $a$ und $b$ sowie die Hypotenuse $c$ (die längste Seite): $a^2 + b^2 = c^2$.

  Beispiel: Sind $a = 3 \text{ cm}$ und $b = 4 \text{ cm}$, dann ist $c^2 = (3 \text{ cm})^2 + (4 \text{ cm})^2 = 25 \text{ cm}^2$. Die Wurzel daraus ergibt $c = 5 \text{ cm}$.

• Flächeninhalt eines Kreises: $A = \pi \cdot r^2$.

  Beispiel: Bei einem Radius von $r = 2 \text{ cm}$ ist $A = \pi \cdot (2 \text{ cm})^2 \approx 12{,}57 \text{ cm}^2$.

• Flächeninhalt eines Kreisausschnitts: Ein Teil eines Kreises mit dem Winkel $\alpha$. Formel: $A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$.

  Beispiel: Für $r = 3 \text{ cm}$ und $\alpha = 90^\circ$ ist $A = \pi \cdot (3 \text{ cm})^2 \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} \approx 7{,}07 \text{ cm}^2$.

Aufgabentyp 1: Fehlende Größen im Kegel berechnen

Ein Kegel wird durch drei wichtige Längen bestimmt: den Radius $\textcolor{#08BFFF}{r}$ der Grundfläche, die Höhe $\textcolor{#53E5D6}{h}$ und die Mantellinie $\textcolor{#9570FF}{s}$ (die schräge Außenkante).

Wenn wir den Kegel in der Mitte durchschneiden, sehen wir im Inneren ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe $\textcolor{#53E5D6}{h}$ steht senkrecht auf dem Radius $\textcolor{#08BFFF}{r}$. Die Mantellinie $\textcolor{#9570FF}{s}$ liegt genau gegenüber dem rechten Winkel und ist somit die Hypotenuse.

Deshalb gilt hier der Satz des Pythagoras:

$\textcolor{#08BFFF}{r}^2 + \textcolor{#53E5D6}{h}^2 = \textcolor{#9570FF}{s}^2$

Wenn wir zwei dieser Längen kennen, können wir die dritte berechnen. Zum Beispiel: Wenn $\textcolor{#08BFFF}{r} = 3 \text{ cm}$ und $\textcolor{#53E5D6}{h} = 4 \text{ cm}$, dann ist $\textcolor{#9570FF}{s}^2 = (3 \text{ cm})^2 + (4 \text{ cm})^2 = 25 \text{ cm}^2$. Zieht man die Wurzel, erhält man $\textcolor{#9570FF}{s} = 5 \text{ cm}$.

Sobald wir alle drei Längen haben, können wir jede andere Eigenschaft des Kegels mit den bekannten Formeln berechnen:

• Grundfläche: $G = \pi \cdot \textcolor{#08BFFF}{r}^2$

• Volumen: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \textcolor{#53E5D6}{h}$

• Mantelfläche: $M = \pi \cdot \textcolor{#08BFFF}{r} \cdot \textcolor{#9570FF}{s}$

• Oberfläche: $O = G + M$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Prüfe, welche Längen ($r$, $h$, $s$) gegeben sind und löse mit $r^2 + h^2 = s^2$ nach der fehlenden Größe auf.
2. Berechne die kreisförmige Grundfläche mit $G = \pi \cdot r^2$.
3. Nutze die gefundenen Werte, um Volumen $V$, Mantelfläche $M$ oder Oberfläche $O$ auszurechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Vom Kreisausschnitt zum Kegel

Stell dir vor, du schneidest aus einem flachen Blatt Papier einen Kreis aus. Dann schneidest du ein Stück davon weg (wie ein Stück Kuchen). Was übrig bleibt, ist ein sogenannter Kreisausschnitt. Wenn du nun die beiden geraden Schnittkanten zusammenführst, wölbt sich das Papier und es entsteht ein Kegel!

Dabei passieren zwei sehr wichtige Dinge, die wir uns merken müssen:

1. Der Radius des flachen Papierkreises wird zur schrägen Mantellinie $\textcolor{#9570FF}{s}$ des 3D-Kegels.

2. Die Fläche des Papiers (der Flächeninhalt des Kreisausschnitts) ist genau die Mantelfläche $M$ des Kegels.

Wenn wir also die Mantelfläche $M$ eines Kegels berechnen wollen, der aus einem Kreisausschnitt gebastelt wurde, können wir einfach die Formel für den Kreisausschnitt nutzen. Wir ersetzen dabei nur den Radius des Kreisausschnitts durch die Mantellinie $\textcolor{#9570FF}{s}$:

$M = \pi \cdot \textcolor{#9570FF}{s}^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$

Ein kurzes Beispiel: Wenn der Kreisausschnitt einen Radius von $\textcolor{#9570FF}{s} = 10 \text{ cm}$ and einen Winkel von $\alpha = 180^\circ$ (ein halber Kreis) hat, dann ist die Mantelfläche des Kegels $M = \pi \cdot (10 \text{ cm})^2 \cdot \frac{180^\circ}{360^\circ} = \pi \cdot 100 \text{ cm}^2 \cdot 0{,}5 \approx 157{,}08 \text{ cm}^2$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Ordne die Größen zu: Der Radius des flachen Kreisausschnitts wird zur Mantellinie $s$ des Kegels.
2. Setze die Mantellinie $s$ und den Winkel $\alpha$ in die Formel $M = \pi \cdot s^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$ ein.
3. Berechne das Ergebnis, um die Mantelfläche $M$ zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Im Kegel bilden Radius $r$, Höhe $h$ und Mantellinie $s$ ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt der Satz des Pythagoras: $r^2 + h^2 = s^2$.

• Wird ein Kegel aus einem Kreisausschnitt geformt, entspricht der Radius des Kreisausschnitts der Mantellinie $s$ des Kegels.

• Die Fläche dieses Kreisausschnitts ist genau die Mantelfläche $M$ des Kegels: $M = \pi \cdot s^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$.