Erklärung
Die erste Ableitung einer Funktion f beschreibt die momentane Änderungsrate von f und wird mit f' bezeichnet. Die Ableitung f' gibt an, wie steil der Graph von f an einer bestimmten Stelle ist.
Die Steigung zwischen zwei Punkten P(x_1\,|\,y_1) und P(x_2\,|\,y_2) wird mit \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} berechnet. Da f' die Steigung des Graphen von f an einer (und nicht zwei) Stellen betrachtet, lässt man in der Formel den Abstand zwischen den Punkten gegen null gehen. So erhalten wir die Definition der Ableitung f':
Vorgehen
Um die momentane Änderungsrate zu bestimmen, leitest du die Funktion mit Hilfe der Ableitungsregeln ab. Die wichtigsten Ableitungsregeln sind:", "SCHEMA_FORMULA": "
1. Potenzregel: f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}
2. Faktorregel: f(x) = c \cdot g(x) \Rightarrow f'(x) = c \cdot g'(x)
3. Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)
Beispiele
Leite die Funktion f(x) = 4x^3 ab.
(Potenzregel angewendet)
Leite die Funktion f(x) = 5x^2 - 3x + 7 ab.
(Potenz- und Summenregel angewendet)
Merkkasten
- ★Die erste Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate und die Steigung einer Funktion.
- ★Nutze Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor- und Summenregel), um Graphen ableiten zu können.
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