Exponentielles Wachstum berechnen: Formel & Beispiele

Stell dir vor, ein Video geht in den sozialen Medien viral. Am ersten Tag teilen es $100$ Personen. Jeden Tag steigt die Anzahl der neuen Aufrufe um $50\%$. Wie viele Aufrufe hat das Video nach einer Woche? Oder denke an ein Videospiel, in dem sich deine gesammelten Rohstoffe jede Stunde verdoppeln.

Das ist exponentielles Wachstum! Es beschreibt Vorgänge, bei denen Dinge rasend schnell mehr (oder auch weniger) werden. In diesem Thema lernst du die mathematische Formel kennen, mit der du genau berechnen kannst, wie groß eine Menge zu einem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft sein wird.

Vorwissen

• Prozente in Dezimalzahlen umwandeln: Um mit Prozenten zu rechnen, teilt man die Zahl durch $100$.

  Beispiel: $15 \% = \frac{15}{100} = 0{,}15$.

• Potenzen berechnen: Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

  Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Aufgabentyp 1: Wachstumsfaktor aus Prozenten bestimmen

Wenn sich eine Menge regelmäßig vervielfacht (oder verringert), nutzen wir eine spezielle Formel, um in die Zukunft zu schauen:

$B(t) = \textcolor{#08BFFF}{B(0)} \cdot \textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#53E5D6}{t}}$

• $\textcolor{#08BFFF}{B(0)}$ ist der Startwert (Wie viel haben wir am Anfang?).

• $\textcolor{#9570FF}{a}$ ist der Wachstumsfaktor (Wie stark ändert sich der Wert pro Schritt?).

• $\textcolor{#53E5D6}{t}$ ist die Zeit (Wie viele Schritte vergehen?).

• $B(t)$ ist der Endwert nach der Zeit $t$.

Oft wird das Wachstum als prozentuale Zunahme oder Abnahme angegeben. Um damit rechnen zu können, müssen wir die Prozentzahl in den Wachstumsfaktor $\textcolor{#9570FF}{a}$ umwandeln. Dafür wandeln wir die Prozentzahl zuerst in eine Kommazahl um (z. B. $10 \% = 0{,}10$).

• Bei einer Zunahme (Wachstum): Wir addieren die Kommazahl zu $1$.

  Formel: $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 + p$

  Beispiel: Eine Zunahme von $15 \%$ bedeutet $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 + 0{,}15 = \textcolor{#9570FF}{1{,}15}$.

• Bei einer Abnahme (Zerfall): Wir subtrahieren die Kommazahl von $1$.

  Formel: $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 - p$

  Beispiel: Eine Abnahme von $20 \%$ bedeutet $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 - 0{,}20 = \textcolor{#9570FF}{0{,}80}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Startwert bestimmen: Finde heraus, wie groß die Menge zu Beginn ist. Das ist dein $\textcolor{#08BFFF}{B(0)}$.
2. Wachstumsfaktor bestimmen: Ermittle $\textcolor{#9570FF}{a}$. Wenn eine Prozentzahl gegeben ist, rechne $1 + p$ (bei Zunahme) oder $1 - p$ (bei Abnahme).
3. Zeit bestimmen: Lies ab, wie viele Zeitschritte vergehen. Das ist dein $\textcolor{#53E5D6}{t}$.
4. Berechnen: Setze alle drei Werte in die Formel $B(t) = \textcolor{#08BFFF}{B(0)} \cdot \textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#53E5D6}{t}}$ ein und rechne das Ergebnis aus.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Exponentielles Wachstum im Sachkontext

In vielen Textaufgaben ist der Wachstumsfaktor nicht als Prozentzahl gegeben, sondern versteckt sich in Wörtern. Auch hier suchen wir die drei wichtigen Bausteine für unsere Formel: den Startwert $\textcolor{#08BFFF}{B(0)}$, den Wachstumsfaktor $\textcolor{#9570FF}{a}$ und die Zeit $\textcolor{#53E5D6}{t}$.

Signalwörter für den Wachstumsfaktor $\textcolor{#9570FF}{a}$:

• „verdoppelt sich“ bedeutet $\textcolor{#9570FF}{a = 2}$

• „verdreifacht sich“ bedeutet $\textcolor{#9570FF}{a = 3}$

• „halbiert sich“ bedeutet $\textcolor{#9570FF}{a = 0{,}5}$

Den Startwert $\textcolor{#08BFFF}{B(0)}$ und die Zeit $\textcolor{#53E5D6}{t}$ finden:

Lies den Text genau. Der Startwert ist die Menge, die ganz zu Beginn (bei $t=0$) vorhanden ist. Die Zeit $t$ ist die Anzahl der Schritte (z. B. Tage oder Stunden), die vergehen. Achte darauf, dass die Zeiteinheit von $t$ zum Wachstumsfaktor passt (z. B. wenn sich etwas jede Stunde verdoppelt, muss $t$ in Stunden angegeben sein).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Startwert bestimmen: Finde heraus, wie groß die Menge zu Beginn ist. Das ist dein $\textcolor{#08BFFF}{B(0)}$.
2. Wachstumsfaktor bestimmen: Ermittle $\textcolor{#9570FF}{a}$ anhand der Signalwörter im Text.
3. Zeit bestimmen: Lies ab, wie viele Zeitschritte vergehen. Das ist dein $\textcolor{#53E5D6}{t}$.
4. Berechnen: Setze alle drei Werte in die Formel $B(t) = \textcolor{#08BFFF}{B(0)} \cdot \textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#53E5D6}{t}}$ ein und rechne das Ergebnis aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einem Labor wird eine Bakterienkultur untersucht. Zu Beginn sind genau $50$ Bakterien vorhanden. Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich jede Stunde. Wie viele Bakterien sind nach $4$ Stunden vorhanden?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Startwert bestimmen

   Zu Beginn gibt es $50$ Bakterien. Also ist $\textcolor{#08BFFF}{B(0) = 50}$.

2. 2
   Schritt 2
   Wachstumsfaktor bestimmen

   Das Signalwort lautet „verdreifacht“. Das bedeutet, der Wachstumsfaktor ist $\textcolor{#9570FF}{a = 3}$.

3. 3
   Schritt 3
   Zeit bestimmen

   Wir suchen die Anzahl nach $4$ Stunden. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{t = 4}$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Berechnen

   Wir setzen die Werte in die Formel ein:

   $B(4) = \textcolor{#08BFFF}{50} \cdot \textcolor{#9570FF}{3}^{\textcolor{#53E5D6}{4}}$

   $= 50 \cdot 81$

   $= 4050$

Ergebnis:

Nach $4$ Stunden sind $4050$ Bakterien vorhanden. Das macht Sinn, da sich die Anzahl jede Stunde verdreifacht und somit sehr schnell ansteigt.

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Wichtige Erkenntnisse

• Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum lautet: $B(t) = \textcolor{#08BFFF}{B(0)} \cdot \textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#53E5D6}{t}}$.

• Bei einer prozentualen Zunahme berechnet sich der Wachstumsfaktor mit $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 + p$.

• Bei einer prozentualen Abnahme berechnet sich der Wachstumsfaktor mit $\textcolor{#9570FF}{a} = 1 - p$.

• Signalwörter wie „verdoppelt“ ($\textcolor{#9570FF}{a = 2}$) oder „halbiert“ ($\textcolor{#9570FF}{a = 0{,}5}$) verraten dir den Wachstumsfaktor direkt.