Erklärung
Extrempunkte sind besondere Punkte einer Funktion, an denen die Steigung 0 ist. Dort hat die Funktion entweder einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum). Um Extrempunkte zu finden, setzt man zuerst die erste Ableitung der Funktion gleich 0 und überprüft anschließend mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Die grundlegende Formel zur Berechnung der Extrempunkte lautet:
Formel zur Berechnung der Extrempunkte:
mit Vorzeichenwechsel
Vorgehen
Um Extrempunkte zu berechnen, gehst du wie folgt vor:
1. Erste Ableitung der Funktion bilden.
2. Erste Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen.
3. Zweite Ableitung bilden und die gefundenen x-Werte einsetzen.
4. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Ist sie negativ, liegt ein Hochpunkt vor. Alternativ kannst du auch den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung untersuchen.
Beispiele
Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^2.
1. Ableitung: f'(x) = 2x. Setze f'(x) = 0 → x = 0.
2. Ableitung: f''(x) = 2. Da f''(0) = 2 > 0, liegt bei x = 0 ein Tiefpunkt vor. Der Tiefpunkt ist (0\,|\,0).
Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^3 - 3x.
1. f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1,\, x_2 = -1.
2. f''(x) = 6x. f''(1) = 6 > 0 → Tiefpunkt bei x = 1. f''(-1) = -6 < 0 → Hochpunkt bei x = -1. Tiefpunkt (1\,|\,-2), Hochpunkt (-1\,|\,2).
Merkkasten
- ★Extrempunkte sind Punkte, an denen die Steigung 0 ist.
- ★Die zweite Ableitung oder der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung zeigt, ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
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