Was sind gebrochenrationale Funktionen und wofür werden sie verwendet?

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, z. B. f(x) = (x² + 1) / (x − 2) . Sie modelliert Verläufe, die zunächst stark steigen oder fallen und sich dann einem stabilen Wert annähern – etwa Medikamentenkonzentrationen im Blut, Temperaturen von Bauteilen oder Nutzerwachstum einer App. Weil einfache Geraden oder Parabeln solche Phänomene nicht abbilden können, sind gebrochenrationale Funktionen ein zentrales Werkzeug in Mathematik, Medizin, Wirtschaft und Technik.

Wie konstruierst du eine gebrochenrationale Funktion aus schiefer und senkrechter Asymptote?

Du nutzt die Grundform f(x) = (schiefe Asymptote) + k / N(x) . Gehe in drei Schritten vor: Lies den Nenner aus der senkrechten Asymptote ab: Ist die s.A. bei x = x₀ , dann ist N(x) = x − x₀ . Setze den Term der schiefen Asymptote und den Nenner mit k = 1 in die Grundform ein. Bringe alles auf den gemeinsamen Nenner , multipliziere den Zähler aus und fasse zusammen.

Wie bestimmst du die Parameter einer gebrochenrationalen Funktion aus Datenpunkten?

Du brauchst für jeden unbekannten Parameter eine Information. Das Langzeitverhalten (waagerechte Asymptote) liefert den ersten Parameter direkt über das Verhältnis der Leitkoeffizienten. Jeden Datenpunkt setzt du in die Funktionsgleichung ein – so entsteht je eine Gleichung. Das resultierende lineare Gleichungssystem löst du mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren, um alle Parameter zu finden.

Wie analysierst du die Asymptoten einer Funktionenschar?

Die Analyse einer Funktionenschar läuft in zwei Phasen ab. Zuerst setzt du 2–3 konkrete Werte für den Parameter t ein, berechnest die Asymptoten und formulierst eine Hypothese (z. B. „Die s.A. liegt immer bei x = t "). Anschließend beweist du diese Hypothese allgemein: Setze den Nenner gleich null für die s.A., und führe die Polynomdivision mit dem allgemeinen t für die schiefe Asymptote durch.

Was ist der Unterschied zwischen senkrechter, schiefer und waagerechter Asymptote?

Die senkrechte Asymptote ist eine vertikale Linie x = x₀ , bei der der Nenner null wird – der Graph schießt dort ins Unendliche. Die schiefe Asymptote y = mx + b entsteht, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad; der Graph nähert sich ihr für sehr große |x| an. Die waagerechte Asymptote y = c tritt auf, wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind; sie entspricht dem Verhältnis der Leitkoeffizienten.

Gebrochenrationale Funktionen analysieren

Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir überall dort, wo reale Prozesse erst steil ansteigen, dann abfallen und sich schließlich auf einem stabilen Wert einpendeln – etwa bei Medikamentenkonzentrationen im Blut oder bei Social-Media-Trends, die sich einer Sättigungsgrenze nähern. Diese komplexen Verläufe lassen sich nicht mit einfachen Geraden oder Parabeln beschreiben. Wenn du gebrochenrationale Funktionen verstehst, kannst du nicht nur Kurven in der Schule analysieren, sondern auch die unsichtbaren Regeln hinter realen Prozessen in Medizin, Wirtschaft und Technik entschlüsseln.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Konzepte parat haben:

Gebrochenrationale Funktion: Eine Funktion, die aus einem Bruch von zwei Polynomen besteht (Zähler und Nenner).
- Beispiel: $f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}$ . Hier ist $Z(x) = x^2+1$ der Zähler und $N(x) = x-2$ der Nenner.
Asymptoten: Linien, denen sich der Graph einer Funktion annähert.
- Senkrechte Asymptote: Eine senkrechte Linie bei $x=x_0$ , wo der Nenner null wird (und der Zähler nicht). Der Graph „springt" hier ins Unendliche.
- Schiefe Asymptote: Eine schräge Linie $y=mx+b$ , wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Der Graph schmiegt sich für große $x$ -Werte an diese Linie an.
Polynomdivision: Ein Verfahren, um ein Polynom durch ein anderes zu teilen. Ähnlich wie die schriftliche Division bei Zahlen.
- Beispiel: $(x^2 + 3x + 2) : (x+1) = x+2$ .
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Ein System aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten finden.
- Beispiel: $\text{(I)} \colon \ 2a + b = 5$
$\text{(II)} \colon \ a - b = 1$

Die Lösung ist $a=2$ und $b=1$ .

Aufgabentyp 1: Funktion aus schiefer und senkrechter Asymptote konstruieren

Wenn du die Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion kennst, kannst du ihre Gleichung rekonstruieren. Die Idee dahinter ist einfach und basiert auf der Polynomdivision.

Jede gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , bei der der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad, lässt sich in dieser Form schreiben:

$f(x) = \underbrace{(mx+b)}_{\text{schiefe Asymptote}} + \underbrace{\frac{k}{N(x)}}_{\text{Restterm}}$

Die schiefe Asymptote $y=mx+b$ ist der „ganze" Teil der Funktion.
Die senkrechte Asymptote bei $x=x_0$ verrät dir den Nenner. Der einfachste Nenner ist dann $N(x) = x-x_0$ .
Der Rest $k$ ist eine Konstante (ungleich null). Für die Konstruktion wählen wir meistens den einfachsten Fall: $k=1$ .

Wir bauen die Funktion also aus ihren Einzelteilen zusammen und formen sie am Ende zu einem einzigen Bruch um.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Bestimme den Nenner aus der senkrechten Asymptote bei $x=x_0$ : $N(x) = x - x_0$ .
Setze die Funktion zusammen aus dem Term der schiefen Asymptote und dem Restterm mit $k=1$ .
Forme zu einem Bruch um, indem du den schiefen Term auf den gemeinsamen Nenner bringst und die Zähler addierst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , deren Graph die schiefe Asymptote g: $y = 2x + 3$ und die senkrechte Asymptote h: $x = 4$ besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nenner aus der senkrechten Asymptote bestimmen
Die senkrechte Asymptote ist bei $x=4$ . Der Nenner hat dort eine Nullstelle.

$N(x) = x - 4$
Schritt 2
Funktion aus den Teilen zusammensetzen
Wir setzen die schiefe Asymptote $y = 2x+3$ und den Nenner in die Grundform ein. Für den Rest wählen wir $k=1$ .

$f(x) = (2x+3) + \frac{1}{x-4}$
Schritt 3 · Ergebnis
Terme zu einem Bruch zusammenfassen
Wir bringen alles auf den gemeinsamen Nenner $(x-4)$ .

$f(x) = \frac{(2x+3)(x-4)}{x-4} + \frac{1}{x-4}$

Jetzt fassen wir die Zähler zusammen.

$f(x) = \frac{(2x+3)(x-4) + 1}{x-4}$

Zum Schluss multiplizieren wir den Zähler aus.

$f(x) = \frac{2x^2 - 8x + 3x - 12 + 1}{x-4}$

$f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 11}{x-4}$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktion ist $f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 11}{x-4}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , deren Graph die schiefe Asymptote g: $y = -x - 1$ und die senkrechte Asymptote h: $x = -2$ besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nenner aus der senkrechten Asymptote bestimmen
Die senkrechte Asymptote ist bei $x=-2$ . Der Nenner ist also:

$N(x) = x - (-2) = x + 2$
Schritt 2
Funktion aus den Teilen zusammensetzen
Wir setzen die schiefe Asymptote $y = -x-1$ und den Nenner ein (mit $k=1$ ).

$f(x) = (-x-1) + \frac{1}{x+2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Terme zu einem Bruch zusammenfassen
Wir bringen alles auf den gemeinsamen Nenner $(x+2)$ .

$f(x) = \frac{(-x-1)(x+2)}{x+2} + \frac{1}{x+2}$

$f(x) = \frac{(-x-1)(x+2) + 1}{x+2}$

Wir multiplizieren den Zähler aus.

$f(x) = \frac{-x^2 - 2x - x - 2 + 1}{x+2}$

$f(x) = \frac{-x^2 - 3x - 1}{x+2}$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktion ist $f(x) = \frac{-x^2 - 3x - 1}{x+2}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , deren Graph die schiefe Asymptote g: $y = 0{,}5x$ und die senkrechte Asymptote h: $x = 0$ besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nenner aus der senkrechten Asymptote bestimmen
Die senkrechte Asymptote ist bei $x=0$ . Der Nenner ist also:

$N(x) = x - 0 = x$
Schritt 2
Funktion aus den Teilen zusammensetzen
Wir setzen die schiefe Asymptote $y = 0{,}5x$ und den Nenner ein (mit $k=1$ ).

$f(x) = 0{,}5x + \frac{1}{x}$
Schritt 3 · Ergebnis
Terme zu einem Bruch zusammenfassen
Wir bringen alles auf den gemeinsamen Nenner $x$ .

$f(x) = \frac{(0{,}5x) \cdot x}{x} + \frac{1}{x}$

$f(x) = \frac{0{,}5x^2 + 1}{x}$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktion ist $f(x) = \frac{0{,}5x^2 + 1}{x}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , deren Graph die schiefe Asymptote g: $y = 5x - 2$ und die senkrechte Asymptote h: $x = 1$ besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nenner aus der senkrechten Asymptote bestimmen
Die senkrechte Asymptote ist bei $x=1$ . Der Nenner ist also:

$N(x) = x - 1$
Schritt 2
Funktion aus den Teilen zusammensetzen
Wir setzen die schiefe Asymptote $y = 5x-2$ und den Nenner ein (mit $k=1$ ).

$f(x) = (5x-2) + \frac{1}{x-1}$
Schritt 3 · Ergebnis
Terme zu einem Bruch zusammenfassen
Wir bringen alles auf den gemeinsamen Nenner $(x-1)$ .

$f(x) = \frac{(5x-2)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1}$

$f(x) = \frac{(5x-2)(x-1) + 1}{x-1}$

Wir multiplizieren den Zähler aus.

$f(x) = \frac{5x^2 - 5x - 2x + 2 + 1}{x-1}$

$f(x) = \frac{5x^2 - 7x + 3}{x-1}$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktion ist $f(x) = \frac{5x^2 - 7x + 3}{x-1}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ , deren Graph die schiefe Asymptote g: $y = -2x + 7$ und die senkrechte Asymptote h: $x = -5$ besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nenner aus der senkrechten Asymptote bestimmen
Die senkrechte Asymptote ist bei $x=-5$ . Der Nenner ist also:

$N(x) = x - (-5) = x + 5$
Schritt 2
Funktion aus den Teilen zusammensetzen
Wir setzen die schiefe Asymptote $y = -2x+7$ und den Nenner ein (mit $k=1$ ).

$f(x) = (-2x+7) + \frac{1}{x+5}$
Schritt 3 · Ergebnis
Terme zu einem Bruch zusammenfassen
Wir bringen alles auf den gemeinsamen Nenner $(x+5)$ .

$f(x) = \frac{(-2x+7)(x+5)}{x+5} + \frac{1}{x+5}$

$f(x) = \frac{(-2x+7)(x+5) + 1}{x+5}$

Wir multiplizieren den Zähler aus.

$f(x) = \frac{-2x^2 - 10x + 7x + 35 + 1}{x+5}$

$f(x) = \frac{-2x^2 - 3x + 36}{x+5}$

Ergebnis:

Eine mögliche Funktion ist $f(x) = \frac{-2x^2 - 3x + 36}{x+5}$ .

Aufgabentyp 2: Funktion aus Datenpunkten im Sachzusammenhang bestimmen

In Anwendungsaufgaben – etwa zur gebrochenrationalen Funktion berechnen bei realen Phänomenen – ist die Funktionsgleichung oft nur teilweise bekannt, z.B. in der Form $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2+d}$ . Unsere Aufgabe ist es, die unbekannten Parameter ( $a, b, c, d$ ) zu finden.

Der Schlüssel dazu ist: Für jeden unbekannten Parameter brauchen wir eine Information.

Diese Informationen können sein:

Gegebene Punkte: Jeder Punkt $(x|y)$ aus einer Tabelle oder dem Text liefert eine Gleichung, wenn man ihn in $f(x)=y$ einsetzt.
Langzeitverhalten: Aussagen wie „die Konzentration normalisiert sich bei 5" oder „langfristig stabilisiert sich der Preis bei 10 €" beschreiben eine waagerechte Asymptote. Bei Funktionen, wo Zähler- und Nennergrad gleich sind (z.B. beide Grad 2), ist die Asymptote das Verhältnis der Leitkoeffizienten. Für $f(x) = \frac{ax^2+...}{1 \cdot x^2+...}$ ist die Asymptote $y = \frac{a}{1} = a$ . Damit finden wir oft den ersten Parameter direkt.

Mit diesen Informationen stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es, um alle Parameter zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Extrahiere alle Informationen aus dem Text: Messpunkte, Startwerte und Langzeitverhalten (waagerechte Asymptote).
Bestimme den ersten Parameter aus dem Langzeitverhalten über das Verhältnis der Leitkoeffizienten.
Stelle das Gleichungssystem auf, indem du jeden Datenpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
Löse das LGS mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.
Gib die vollständige Funktion durch Einsetzen aller gefundenen Parameter an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Population von Fischen in einem See wird durch eine Krankheit beeinflusst. Die Populationsgröße (in Tausend) kann durch die Funktion $P(t) = \frac{at^2+bt+c}{t^2+d}$ modelliert werden, wobei $t$ die Zeit in Monaten ist. Langfristig stabilisiert sich die Population bei 10.000 Fischen. Folgende Daten liegen vor: $P(0)=10$ , $P(2)=5{,}2$ und $P(4)=6$ . Bestimmen Sie die Parameter $a, b, c, d$ und die vollständige Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Langzeitverhalten: Die Population stabilisiert sich bei 10 (Tausend). Das bedeutet, die waagerechte Asymptote ist $y=10$ .
- Punkte: $(0|10)$ , $(2|5{,}2)$ , $(4|6)$ .
- Unbekannte: $a, b, c, d$ .
Schritt 2
Parameter $a$ aus dem Langzeitverhalten bestimmen
Die waagerechte Asymptote von $P(t) = \frac{at^2+bt+c}{1 \cdot t^2+d}$ ist $y = \frac{a}{1} = a$ . Da sie bei $y=10$ liegt, folgt:

$a = 10$
3
Schritt 3
Gleichungssystem mit den Punkten aufstellen
Wir setzen die Punkte in $P(t) = \frac{10t^2+bt+c}{t^2+d}$ ein.
1. Punkt $(0|10)$ : $P(0) = \frac{10(0)^2+b(0)+c}{0^2+d} = \frac{c}{d} = 10 \implies c = 10d$
Jetzt haben wir die Funktion $P(t) = \frac{10t^2+bt+10d}{t^2+d}$ . Wir setzen die anderen Punkte ein.
1. Punkt $(2|5{,}2)$ : $P(2) = \frac{10(2)^2+b(2)+10d}{2^2+d} = 5{,}2$
$\frac{40+2b+10d}{4+d} = 5{,}2 \quad | \cdot(4+d)$

$40+2b+10d = 20{,}8 + 5{,}2d$

$2b = -19{,}2 - 4{,}8d \quad | :2$

$\text{(I)}: b = -9{,}6 - 2{,}4d$
1. Punkt $(4|6)$ : $P(4) = \frac{10(4)^2+b(4)+10d}{4^2+d} = 6$
$\frac{160+4b+10d}{16+d} = 6 \quad | \cdot(16+d)$

$160+4b+10d = 96 + 6d$

$4b = -64 - 4d \quad | :4$

$\text{(II)}: b = -16 - d$
Schritt 4
LGS lösen
Wir setzen (I) und (II) gleich:

$-9{,}6 - 2{,}4d = -16 - d \quad | +16$

$6{,}4 - 2{,}4d = -d \quad | +2{,}4d$

$6{,}4 = 1{,}4d \quad | :1{,}4$

$d = \frac{6{,}4}{1{,}4} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \approx 4{,}57$

Wir setzen $d = \frac{32}{7}$ in (II) ein:

$b = -16 - \frac{32}{7} = -\frac{112}{7} - \frac{32}{7} = -\frac{144}{7} \approx -20{,}57$

Jetzt berechnen wir $c$ :

$c = 10d = 10 \cdot \frac{32}{7} = \frac{320}{7} \approx 45{,}71$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktion angeben
$a=10$ , $b=-\frac{144}{7}$ , $c=\frac{320}{7}$ , $d=\frac{32}{7}$ .

$P(t) = \frac{10t^2 - \frac{144}{7}t + \frac{320}{7}}{t^2 + \frac{32}{7}}$

Um die Brüche zu entfernen, erweitern wir Zähler und Nenner mit 7:

Ergebnis:

$P(t) = \frac{70t^2 - 144t + 320}{7t^2 + 32}$

Beispiel 2

Aufgabe

Die Temperatur eines Bauteils in °C wird nach dem Einschalten durch $T(t) = \frac{at^2+bt+c}{t^2+d}$ beschrieben ( $t$ in Minuten). Die Starttemperatur ist 20°C. Nach langer Zeit beträgt die Betriebstemperatur 80°C. Nach einer Minute misst man 50°C, nach 3 Minuten 86°C. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Langzeitverhalten: Asymptote bei $y=80$ .
- Punkte: $(0|20)$ , $(1|50)$ , $(3|86)$ .
- Unbekannte: $a, b, c, d$ .
Schritt 2
Parameter $a$ aus dem Langzeitverhalten bestimmen
Die waagerechte Asymptote ist $y = \frac{a}{1} = a$ . Also:

$a = 80$
3
Schritt 3
Gleichungssystem mit den Punkten aufstellen
Wir setzen die Punkte in $T(t) = \frac{80t^2+bt+c}{t^2+d}$ ein.
1. Punkt $(0|20)$ : $T(0) = \frac{c}{d} = 20 \implies c = 20d$
Die Funktion ist nun $T(t) = \frac{80t^2+bt+20d}{t^2+d}$ .
1. Punkt $(1|50)$ : $T(1) = \frac{80(1)^2+b(1)+20d}{1^2+d} = 50$
$\frac{80+b+20d}{1+d} = 50 \implies 80+b+20d = 50+50d$

$b = -30 + 30d \quad \text{(I)}$
1. Punkt $(3|86)$ : $T(3) = \frac{80(3)^2+b(3)+20d}{3^2+d} = 86$
$\frac{720+3b+20d}{9+d} = 86 \implies 720+3b+20d = 774+86d$

$3b = 54 + 66d \implies b = 18 + 22d \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir setzen (I) und (II) gleich:

$-30 + 30d = 18 + 22d \quad | -22d, +30$

$8d = 48 \implies d = 6$

Wir setzen $d=6$ in (I) ein:

$b = -30 + 30(6) = -30 + 180 = 150$

Jetzt berechnen wir $c$ :

$c = 20d = 20(6) = 120$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktion angeben
$a=80, b=150, c=120, d=6$ .

Ergebnis:

$T(t) = \frac{80t^2+150t+120}{t^2+6}$

Beispiel 3

Aufgabe

Der Wert einer Aktie in Euro nach einer wichtigen Nachricht wird durch $W(t) = \frac{at^2+bt+c}{t^2+d}$ modelliert ( $t$ in Tagen). Vor der Nachricht war der Wert 50 €. Langfristig pendelt er sich bei 60 € ein. Am ersten Tag ( $t=1$ ) ist der Wert 75 €, am fünften Tag ( $t=5$ ) beträgt er 61 €. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen extrahieren
- Langzeitverhalten: Asymptote bei $y=60$ .
- Punkte: $(0|50)$ , $(1|75)$ , $(5|61)$ .
- Unbekannte: $a, b, c, d$ .
Schritt 2
Parameter $a$ aus dem Langzeitverhalten bestimmen
Die waagerechte Asymptote ist $y = \frac{a}{1} = a$ . Also:

$a = 60$
3
Schritt 3
Gleichungssystem mit den Punkten aufstellen
Wir setzen die Punkte in $W(t) = \frac{60t^2+bt+c}{t^2+d}$ ein.
1. Punkt $(0|50)$ : $W(0) = \frac{c}{d} = 50 \implies c = 50d$
Die Funktion ist nun $W(t) = \frac{60t^2+bt+50d}{t^2+d}$ .
1. Punkt $(1|75)$ : $W(1) = \frac{60+b+50d}{1+d} = 75 \implies 60+b+50d = 75+75d$
$b = 15 + 25d \quad \text{(I)}$
1. Punkt $(5|61)$ : $W(5) = \frac{60(25)+5b+50d}{25+d} = 61 \implies 1500+5b+50d = 1525+61d$
$5b = 25 + 11d \quad \text{(II)}$
Schritt 4
LGS lösen
Wir setzen (I) in (II) ein:

$5(15+25d) = 25 + 11d$

$75 + 125d = 25 + 11d \quad | -11d, -75$

$114d = -50 \implies d = -\frac{50}{114} = -\frac{25}{57}$

Wir setzen $d$ in (I) ein:

$b = 15 + 25\left(-\frac{25}{57}\right) = 15 - \frac{625}{57} = \frac{855-625}{57} = \frac{230}{57}$

Jetzt berechnen wir $c$ :

$c = 50d = 50\left(-\frac{25}{57}\right) = -\frac{1250}{57}$
Schritt 5 · Ergebnis
Vollständige Funktion angeben
$a=60, b=\frac{230}{57}, c=-\frac{1250}{57}, d=-\frac{25}{57}$ .

Ergebnis:

$W(t) = \frac{60t^2 + \frac{230}{57}t - \frac{1250}{57}}{t^2 - \frac{25}{57}} = \frac{3420t^2 + 230t - 1250}{57t^2 - 25}$

Aufgabentyp 3: Asymptoten einer Funktionenschar bestimmen

Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen, die von einem zusätzlichen Parameter (z.B. $t$ ) abhängt. Ein Beispiel ist $f_t(x) = \frac{x^2}{x-t}$ . Für jeden Wert von $t$ erhalten wir eine andere Funktion mit einem anderen Graphen.

Unsere Aufgabe ist es, herauszufinden, wie die Asymptoten von diesem Parameter $t$ abhängen. Gibt es eine allgemeine Formel für die Lage der Asymptoten?

Die Strategie ist zweigeteilt:

Untersuchen und Vermuten: Wir setzen einige konkrete Zahlen für $t$ ein (z.B. $t=1, t=2, t=-1$ ) und berechnen für jeden dieser Fälle die Asymptoten. Daraus leiten wir eine Hypothese ab, z.B. „Die senkrechte Asymptote ist immer bei $x=t$ ".
Allgemein beweisen: Wir führen die Berechnung der Asymptoten mit dem allgemeinen Parameter $t$ durch (also ohne eine konkrete Zahl einzusetzen). Das Ergebnis dieser allgemeinen Rechnung beweist oder widerlegt unsere Hypothese.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Setze 2–3 konkrete Werte für den Parameter ein und erhalte konkrete Funktionen.
Berechne die Asymptoten für jede konkrete Funktion mit den bekannten Methoden (Nennernullstelle, Polynomdivision).
Erkenne das Muster und formuliere eine Hypothese für die allgemeine Lage der Asymptoten.
Weise die senkrechte Asymptote allgemein nach, indem du den Nenner gleich null setzt und prüfst, ob der Zähler dort ungleich null ist.
Weise die schiefe Asymptote allgemein nach, indem du die Polynomdivision mit dem allgemeinen Parameter $t$ durchführst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x) = \frac{x^2 - 2x}{x-t}$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die Lage der senkrechten und schiefen Asymptoten in Abhängigkeit von $t$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Konkrete Fälle untersuchen
- Fall $t=1$ : $f_1(x) = \frac{x^2-2x}{x-1}$ .
  - Senkrechte Asymptote: Nenner null bei $x=1$ . Zähler bei $x=1$ ist $1-2=-1 \neq 0$ . Also s.A. bei $x=1$ .
  - Schiefe Asymptote: Polynomdivision $(x^2-2x):(x-1)$ ergibt $x-1$ Rest $-1$ . Also sch.A. bei $y=x-1$ .
- Fall $t=3$ : $f_3(x) = \frac{x^2-2x}{x-3}$ .
  - Senkrechte Asymptote: Nenner null bei $x=3$ . Zähler bei $x=3$ ist $9-6=3 \neq 0$ . Also s.A. bei $x=3$ .
  - Schiefe Asymptote: Polynomdivision $(x^2-2x):(x-3)$ ergibt $x+1$ Rest $3$ . Also sch.A. bei $y=x+1$ .
2
Schritt 3
Hypothese formulieren
- Senkrechte Asymptote: Sie war bei $x=1$ für $t=1$ und bei $x=3$ für $t=3$ . Hypothese: Die senkrechte Asymptote ist bei $x=t$ .
- Schiefe Asymptote: Sie war $y=x-1$ für $t=1$ und $y=x+1$ für $t=3$ . Das ist komplizierter. Schauen wir uns die Polynomdivision allgemein an.
Schritt 4
Senkrechte Asymptote allgemein
Der Nenner ist $x-t$ . Er wird null für $x=t$ . Wir setzen $x=t$ in den Zähler ein: $Z(t) = t^2 - 2t = t(t-2)$ . Der Zähler wird null, wenn $t=0$ oder $t=2$ . In diesen Fällen gibt es eine hebbare Lücke, keine Asymptote. Für alle $t \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$ ist der Zähler ungleich null, und es gibt eine senkrechte Asymptote bei $x=t$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schiefe Asymptote allgemein
Wir führen die Polynomdivision für $f_t(x)$ durch:

$(\ x^2 - 2x \quad\quad ) : (x-t) = x + (t-2)$

$-(x^2 - tx)$

$\quad (t-2)x$

$\quad -((t-2)x - t(t-2))$

$\quad\quad\quad\quad t(t-2)$

Das Ergebnis der Division ist $x+(t-2)$ mit dem Rest $t(t-2)$ . Die Gleichung der schiefen Asymptote ist also $y = x + t - 2$ .

Ergebnis:

Die senkrechte Asymptote ist $x=t$ (für $t \neq 0, 2$ ). Die schiefe Asymptote ist $y=x+t-2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $g_t(x) = \frac{tx^2 + 1}{x-2}$ mit $t \neq 0$ . Untersuchen Sie die Lage der senkrechten und schiefen Asymptoten in Abhängigkeit von $t$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Konkrete Fälle untersuchen
- Fall $t=1$ : $g_1(x) = \frac{x^2+1}{x-2}$ . S.A. bei $x=2$ . Polynomdivision ergibt sch.A. bei $y=x+2$ .
- Fall $t=3$ : $g_3(x) = \frac{3x^2+1}{x-2}$ . S.A. bei $x=2$ . Polynomdivision ergibt sch.A. bei $y=3x+6$ .
2
Schritt 3
Hypothese formulieren
- Senkrechte Asymptote: Immer bei $x=2$ , unabhängig von $t$ .
- Schiefe Asymptote: Der Anstieg scheint $t$ zu sein, der y-Abschnitt $2t$ . Hypothese: $y=tx+2t$ .
Schritt 4
Senkrechte Asymptote allgemein
Der Nenner ist $x-2$ . Er wird null für $x=2$ . Wir setzen $x=2$ in den Zähler ein: $Z(2) = t(2)^2 + 1 = 4t+1$ . Der Zähler wird nur null, wenn $4t+1=0$ , also $t=-1/4$ . Für alle $t \neq -1/4$ (und $t \neq 0$ laut Angabe) gibt es eine senkrechte Asymptote bei $x=2$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schiefe Asymptote allgemein
Polynomdivision für $g_t(x)$ :

$(\ tx^2 + 0x + 1 ) : (x-2) = tx + 2t$

$-(tx^2 - 2tx)$

$\quad 2tx + 1$

$\quad -(2tx - 4t)$

$\quad\quad\quad 4t+1$

Das Ergebnis ist $tx+2t$ mit Rest $4t+1$ . Die schiefe Asymptote ist also $y = tx+2t$ .

Ergebnis:

Die senkrechte Asymptote ist $x=2$ (für $t \neq -1/4, 0$ ). Die schiefe Asymptote ist $y=tx+2t$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $h_t(x) = \frac{2x^3 + tx}{x^2 - 1}$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die Lage der senkrechten und schiefen Asymptoten in Abhängigkeit von $t$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Konkrete Fälle untersuchen
- Fall $t=1$ : $h_1(x) = \frac{2x^3+x}{x^2-1}$ . Nenner wird null bei $x=1$ und $x=-1$ . S.A. bei $x=1$ und $x=-1$ . Polynomdivision ergibt sch.A. bei $y=2x$ .
- Fall $t=5$ : $h_5(x) = \frac{2x^3+5x}{x^2-1}$ . S.A. bei $x=1$ und $x=-1$ . Polynomdivision ergibt sch.A. bei $y=2x$ .
2
Schritt 3
Hypothese formulieren
- Senkrechte Asymptoten: Immer bei $x=1$ und $x=-1$ .
- Schiefe Asymptote: Immer $y=2x$ .
Schritt 4
Senkrechte Asymptoten allgemein
Der Nenner ist $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ . Er wird null für $x=1$ und $x=-1$ . Zähler bei $x=1$ : $Z(1) = 2(1)^3 + t(1) = 2+t$ . Dies ist null für $t=-2$ . Zähler bei $x=-1$ : $Z(-1) = 2(-1)^3 + t(-1) = -2-t$ . Dies ist null für $t=-2$ . Für $t \neq -2$ gibt es senkrechte Asymptoten bei $x=1$ und $x=-1$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schiefe Asymptote allgemein
Polynomdivision für $h_t(x)$ :

$(\ 2x^3 + 0x^2 + tx + 0 ) : (x^2-1) = 2x$

$-(2x^3 \quad\quad - 2x)$

$\quad\quad\quad\quad (t+2)x$

Das Ergebnis ist $2x$ mit Rest $(t+2)x$ . Die schiefe Asymptote ist also $y = 2x$ .

Ergebnis:

Die senkrechten Asymptoten sind $x=1$ und $x=-1$ (für $t \neq -2$ ). Die schiefe Asymptote ist $y=2x$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $k_t(x) = \frac{-x^2 + 4x}{x+t}$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die Lage der senkrechten und schiefen Asymptoten in Abhängigkeit von $t$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Konkrete Fälle untersuchen
- Fall $t=1$ : $k_1(x) = \frac{-x^2+4x}{x+1}$ . S.A. bei $x=-1$ . Sch.A. bei $y=-x+5$ .
- Fall $t=-2$ : $k_{-2}(x) = \frac{-x^2+4x}{x-2}$ . S.A. bei $x=2$ . Sch.A. bei $y=-x+2$ .
2
Schritt 3
Hypothese formulieren
- Senkrechte Asymptote: Bei $x=-t$ .
- Schiefe Asymptote: $y=-x+(4+t)$ .
Schritt 4
Senkrechte Asymptote allgemein
Der Nenner ist $x+t$ . Er wird null für $x=-t$ . Zähler bei $x=-t$ : $Z(-t) = -(-t)^2 + 4(-t) = -t^2 - 4t = -t(t+4)$ . Dies ist null für $t=0$ oder $t=-4$ . Für alle anderen $t$ gibt es eine s.A. bei $x=-t$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schiefe Asymptote allgemein
Polynomdivision für $k_t(x)$ :

$(\ -x^2 + 4x \quad\quad ) : (x+t) = -x + (4+t)$

$-(-x^2 - tx)$

$\quad (4+t)x$

$\quad -((4+t)x + t(4+t))$

$\quad\quad\quad\quad -t(4+t)$

Das Ergebnis ist $-x+(4+t)$ . Die schiefe Asymptote ist also $y = -x+4+t$ .

Ergebnis:

Die senkrechte Asymptote ist $x=-t$ (für $t \neq 0, -4$ ). Die schiefe Asymptote ist $y=-x+4+t$ .

Wichtige Erkenntnisse

Funktion aus Asymptoten bauen: Nutze die Form $f(x) = (\text{schiefe Asymptote}) + \frac{\text{Rest}}{\text{Nenner}}$ . Die senkrechte Asymptote bei $x=x_0$ gibt den Nenner $(x-x_0)$ . Wähle für den Rest meist $k=1$ .
Funktion aus Datenpunkten finden: Für $n$ unbekannte Parameter brauchst du $n$ Informationen. Langzeitverhalten liefert die waagerechte Asymptote und damit oft den ersten Parameter. Jeder Punkt liefert eine Gleichung für das LGS.
Funktionenscharen analysieren: Erst 2–3 konkrete Beispiele für den Parameter $t$ durchrechnen, um eine Hypothese für die Lage der Asymptoten zu finden. Dann die Hypothese durch eine allgemeine Rechnung mit dem Parameter $t$ beweisen.

Gebrochenrationale Funktionen anwenden und analysieren

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Funktion aus schiefer und senkrechter Asymptote konstruieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Funktion aus Datenpunkten im Sachzusammenhang bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 3: Asymptoten einer Funktionenschar bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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