Graphen von zusammengesetzten Funktionen einfach erklärt

Stell dir vor, du betreibst einen Limonadenstand. Du hast eine mathematische Funktion, die deine Einnahmen beschreibt, und eine andere Funktion für deine Kosten. Wie berechnest du deinen Gewinn? Ganz einfach: Du ziehst die Kosten von den Einnahmen ab!

In der Mathematik machen wir oft genau das Gleiche. Wir nehmen zwei verschiedene Funktionen und addieren oder subtrahieren sie, um eine völlig neue Funktion zu erschaffen. Lass uns anschauen, wie das funktioniert und wie die Graphen von zusammengesetzten Funktionen dazu aussehen!

Vorwissen

• Funktionswerte berechnen: Man setzt eine Zahl für $x$ in die Gleichung ein, um den $y$-Wert zu erhalten.

  Beispiel: Bei $f(x) = x^2$ ist der Wert an der Stelle $x=3$ genau $f(3) = 3^2 = 9$.

• Definitionsmenge (erlaubte $x$-Werte): Nicht jede Zahl darf in jede Funktion eingesetzt werden.

  Beispiel: Bei der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ dürfen wir keine negativen Zahlen einsetzen. Sie ist nur für $x \geq 0$ definiert.

Aufgabentyp 1: Zusammengesetzte Funktionen am Graphen ablesen

Wenn wir zwei Funktionen haben, zum Beispiel $\textcolor{#08BFFF}{f(x)}$ und $\textcolor{#9570FF}{g(x)}$, können wir sie addieren oder subtrahieren, um eine neue Funktion zu erhalten.

Die mathematische Schreibweise dafür sieht so aus: $(f+g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{f(x)} + \textcolor{#9570FF}{g(x)}$

Das bedeutet einfach: Um den neuen $y$-Wert zu bekommen, rechnen wir den $y$-Wert von $\textcolor{#08BFFF}{f}$ plus den $y$-Wert von $\textcolor{#9570FF}{g}$. Bei der Subtraktion $(f-g)(x)$ ziehen wir sie entsprechend voneinander ab.

Um herauszufinden, welcher Graph zu einer solchen zusammengesetzten Funktion gehört, musst du nicht den ganzen Graphen berechnen. Es reicht, sich eine einzige, schlaue $x$-Stelle auszusuchen! Du berechnest das Ergebnis für diese eine Stelle und schaust dann im Koordinatensystem nach, welcher Graph genau durch diesen berechneten $y$-Wert verläuft.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=2x^2$ und $g(x)=-1+3x$ sowie die Graphen (1), (2) und (3).

Ordne jeden Graphen zu einer der Funktionen $f+g$, $f-g$ und $g-f$ zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Eine geeignete $x$-Stelle wählen

   Wir suchen uns eine Stelle aus, an der wir die Werte gut berechnen können und an der die Graphen unterschiedliche Höhen haben. Wir wählen $x = 2$.

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   Schritt 2
   $y$-Werte berechnen

   Wir setzen $x = 2$ in die einzelnen Funktionen ein: $\textcolor{#08BFFF}{f(2)} = 2 \cdot 2^2 = 8$ $\textcolor{#9570FF}{g(2)} = -1 + 3 \cdot 2 = 5$

   Nun berechnen wir die Werte für die zusammengesetzten Funktionen an dieser Stelle: $(f+g)(2) = 8 + 5 = 13$ $(f-g)(2) = 8 - 5 = 3$ $(g-f)(2) = 5 - 8 = -3$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen (Antwort)

   Wir schauen uns die Graphen an der Stelle $x = 2$ an und vergleichen sie mit unseren Ergebnissen:

   • Graph (1) verläuft durch den Punkt $(2 | 13)$. Er gehört also zu $f+g$.
   • Graph (2) verläuft durch den Punkt $(2 | -3)$. Er gehört also zu $g-f$.
   • Graph (3) verläuft durch den Punkt $(2 | 3)$. Er gehört also zu $f-g$.

Ergebnis:

Graph (1) entspricht $f+g$, Graph (2) entspricht $g-f$ und Graph (3) entspricht $f-g$.

Aufgabentyp 2: Zusammengesetzte Graphen zeichnen

Manchmal musst du den Graphen einer zusammengesetzten Funktion wie $h(x) = \textcolor{#08BFFF}{f(x)} - \textcolor{#9570FF}{g(x)}$ selbst zeichnen.

Bevor wir loslegen, müssen wir uns fragen: Welche $x$-Werte dürfen wir überhaupt einsetzen? Das nennt man die Definitionsmenge.

Die Regel ist einfach: Die neue Funktion funktioniert nur dort, wo beide ursprünglichen Funktionen funktionieren. Wenn $\textcolor{#08BFFF}{f(x)}$ zum Beispiel eine Wurzelfunktion ist, dürfen wir keine negativen Zahlen einsetzen. Dann sind negative Zahlen auch für die zusammengesetzte Funktion streng verboten!

Um den Graphen zu zeichnen, erstellen wir am besten eine Wertetabelle. Wir berechnen die $y$-Werte für $\textcolor{#08BFFF}{f}$ und $\textcolor{#9570FF}{g}$ einzeln und ziehen sie dann (wie in der Formel verlangt) voneinander ab. Die neuen Ergebnisse zeichnen wir als Punkte in ein Koordinatensystem und verbinden sie.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bestimme die Definitionsmenge: Prüfe die Einzelfunktionen auf Einschränkungen, da die zusammengesetzte Funktion alle diese Einschränkungen übernimmt.
2. Lege eine Wertetabelle an: Wähle erlaubte $x$-Werte, berechne die Einzelergebnisse und verrechne sie (addieren oder subtrahieren).
3. Zeichne und verbinde die Punkte: Trage die neu berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie durchgehend.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Schreibweise $(f+g)(x)$ bedeutet einfach, dass du die $y$-Werte der beiden Funktionen addierst: $f(x) + g(x)$.
• Um Graphen zuzuordnen, reicht es oft, eine einzige $x$-Stelle zu berechnen und das Ergebnis mit den Graphen zu vergleichen.
• Die Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion ist streng: Sie erlaubt nur die $x$-Werte, die bei beiden ursprünglichen Funktionen erlaubt sind.