Was sind zusammengesetzte Funktionen?

Eine zusammengesetzte Funktion entsteht, wenn zwei oder mehr Funktionen durch Grundrechenarten miteinander verknüpft werden. Zum Beispiel gilt (f+g)(x) = f(x) + g(x) und (f−g)(x) = f(x) − g(x) . So lassen sich einfache Bausteine wie Geraden oder Parabeln kombinieren, um komplexere Situationen zu modellieren – vom Unternehmensgewinn bis zur Bevölkerungsentwicklung.

Wie ordnest du Graphen zusammengesetzten Funktionen zu?

Du verwendest die Testpunkt-Methode : Wähle einen einfachen x-Wert (z. B. x = 1 oder x = 2 ), an dem sich die Graphen deutlich unterscheiden. Berechne dann den y-Wert für jede zusammengesetzte Funktion und lies die y-Werte der Graphen an dieser Stelle ab. Jeder berechnete Wert passt genau zu einem Graphen – so gelingt die eindeutige Zuordnung.

Wie zeichnest du den Graphen einer zusammengesetzten Funktion?

Du verwendest die grafische Addition oder Subtraktion : Zeichne zuerst die Ausgangsgraphen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Wähle dann mehrere Stützpunkte, addiere oder subtrahiere dort die y-Werte beider Graphen und markiere die neuen Punkte. Verbinde diese Punkte zu einem durchgehenden Graphen – das ist der Graph der zusammengesetzten Funktion.

Was ist die Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion?

Die Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion ist die Schnittmenge der Definitionsmengen aller beteiligten Ausgangsfunktionen. Ist zum Beispiel f(x) = √x nur für x ≥ 0 definiert und g(x) = x − 2 für alle x , dann ist die neue Funktion (f+g)(x) ebenfalls nur für x ≥ 0 definiert.

Wie interpretierst du zusammengesetzte Funktionen im Sachkontext?

Formuliere zuerst den mathematischen Zusammenhang als Gleichung, z. B. Gewinn = Einnahmen − Kosten . Überlege dann, welche Größen nie negativ sein können (z. B. Kosten oder Zufluss) und welche negativ werden dürfen (z. B. Gewinn oder Wasserstandsänderung). Analysiere anschließend, wo Graphen positiv oder negativ sind und wo sie sich schneiden, um die Zuordnung eindeutig zu machen.

Graphen zusammengesetzter Funktionen

Graphen zusammengesetzter Funktionen begegnen dir in der Schule öfter, als du denkst – und dahinter steckt eine elegante Idee: Zwei einfache Funktionen wie eine Gerade und eine Parabel werden durch Addition oder Subtraktion zu einer neuen, komplexeren Funktion kombiniert. Hast du dich jemals gefragt, wie ein Videospiel die Bewegung eines springenden Charakters berechnet? Die Engine kombiniert verschiedene Kräfte: Eine Funktion für die Schwerkraft (die nach unten zieht) wird mit einer Funktion für den Sprung (die nach oben drückt) zusammengesetzt. Das Ergebnis ist eine perfekte Sprungkurve. Genau das ist die Idee hinter zusammengesetzten Funktionen. Du lernst, wie man einfache Bausteine (wie Geraden oder Parabeln) kombiniert, um komplexere und realistischere Situationen zu beschreiben – vom Gewinn eines Unternehmens (Einnahmen minus Kosten) bis zur Bevölkerungsentwicklung.

Schnellantwort

Eine zusammengesetzte Funktion entsteht, wenn zwei oder mehr Funktionen durch Grundrechenarten verknüpft werden. Zum Beispiel gilt $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ und $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ . Der Graph der neuen Funktion lässt sich entweder durch einen Testpunkt-Vergleich zuordnen oder direkt aus den Ausgangsgraphen durch grafische Addition bzw. Subtraktion der y-Werte konstruieren.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Funktionswert berechnen: Um den y-Wert für ein bestimmtes x zu finden, setzt du den x-Wert in die Funktionsgleichung ein.
- Beispiel: Für $f(x) = 3x + 5$ ist der Funktionswert an der Stelle $x=2$ gleich $f(2) = 3 \cdot 2 + 5 = 11$ . Der Punkt $(2|11)$ liegt auf dem Graphen.
Graph einer Funktion: Der Graph ist die visuelle Darstellung aller Punkte $(x|y)$ , die zur Funktion gehören. Er zeigt den Verlauf der Funktion in einem Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen: Eine Wertetabelle hilft dir, einen Graphen zu zeichnen. Du wählst verschiedene x-Werte, berechnest die zugehörigen y-Werte und trägst die Punkte $(x|y)$ ins Koordinatensystem ein.
- Beispiel: Für $f(x) = x^2$ : $\begin{array}{c|c} x & y=f(x) \\ \hline -1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Aufgabentyp 1: Graphen durch Testpunkte zuordnen

Oft bekommst du mehrere Graphen und mehrere zusammengesetzte Funktionen und musst herausfinden, was zusammengehört. Eine zusammengesetzte Funktion entsteht, wenn man zwei oder mehr Funktionen durch Grundrechenarten verbindet.

Addition: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
Subtraktion: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$

Der Trick, um sie zuzuordnen, ist einfach: Man benutzt einen Testpunkt. Du wählst eine beliebige x-Stelle, berechnest den y-Wert für jede zusammengesetzte Funktion und schaust dann, welcher Graph durch diesen Punkt $(x|y)$ verläuft.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionsterme aufstellen: Schreibe die vollständigen Gleichungen für die zusammengesetzten Funktionen auf.
Test-x-Wert wählen: Wähle einen einfachen x-Wert, an dem du die y-Werte der Graphen gut ablesen kannst und sie sich deutlich unterscheiden.
y-Werte berechnen: Setze deinen gewählten x-Wert in jede der zusammengesetzten Funktionsgleichungen ein und berechne die zugehörigen y-Werte.
Punkte am Graphen ablesen: Gehe im Koordinatensystem zu deinem gewählten x-Wert auf der x-Achse und lies die y-Werte für jeden Graphen ab.
Zuordnen: Vergleiche deine berechneten y-Werte mit den abgelesenen. Jeder berechnete Wert passt nur zu einem Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $\textcolor{#08BFFF}{f(x)=x^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)=x+1}$ . Die Abbildung zeigt drei Graphen. Ordne die Graphen den Funktionen $\textcolor{#9570FF}{h_1(x)=(f+g)(x)}$ , $\textcolor{#1E90FF}{h_2(x)=(f-g)(x)}$ und $\textcolor{#FFFFFF}{h_3(x)=(g-f)(x)}$ zu.

Drei Graphen zusammengesetzter Funktionen im Koordinatensystem

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme aufstellen
Wir stellen die Gleichungen für die drei neuen Funktionen auf:

$\textcolor{#9570FF}{h_1(x)} = (f+g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x^2} + (\textcolor{#53E5D6}{x+1}) = x^2+x+1$

$\textcolor{#1E90FF}{h_2(x)} = (f-g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x^2} - (\textcolor{#53E5D6}{x+1}) = x^2-x-1$

$\textcolor{#FFFFFF}{h_3(x)} = (g-f)(x) = (\textcolor{#53E5D6}{x+1}) - \textcolor{#08BFFF}{x^2} = -x^2+x+1$
Schritt 2
Test-x-Wert wählen
Wir wählen den Testwert $x=2$ , da die Graphen dort weit auseinanderliegen.
Schritt 3
y-Werte berechnen
Wir setzen $x=2$ in jede Funktion ein:

Für $\textcolor{#9570FF}{h_1(x)}$ : $h_1(2) = 2^2+2+1 = 4+2+1 = 7$

Für $\textcolor{#1E90FF}{h_2(x)}$ : $h_2(2) = 2^2-2-1 = 4-2-1 = 1$

Für $\textcolor{#FFFFFF}{h_3(x)}$ : $h_3(2) = -2^2+2+1 = -4+2+1 = -1$

Wir haben also die Punkte $\textcolor{#9570FF}{(2|7)}$ , $\textcolor{#1E90FF}{(2|1)}$ und $\textcolor{#FFFFFF}{(2|-1)}$ .
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Punkte ablesen und zuordnen
Jetzt schauen wir uns die Graphen an der Stelle $x=2$ an:
- Graph (2) geht durch den Punkt $(2|7)$ . Also gehört Graph (2) zu $\textcolor{#9570FF}{h_1(x) = (f+g)(x)}$ .
- Graph (1) geht durch den Punkt $(2|1)$ . Also gehört Graph (1) zu $\textcolor{#1E90FF}{h_2(x) = (f-g)(x)}$ .
- Graph (3) geht durch den Punkt $(2|-1)$ . Also gehört Graph (3) zu $\textcolor{#FFFFFF}{h_3(x) = (g-f)(x)}$ .

Ergebnis:

Graph (2) → $h_1$ , Graph (1) → $h_2$ , Graph (3) → $h_3$ .

Quiz zu Graphen zusammengesetzter Funktionen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Graphen zusammengesetzter Funktionen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Graphen zusammengesetzter Funktionen

Wie wird der Funktionswert der zusammengesetzten Funktion $(f+g)(x)$ berechnet?

Quizfrage 2 zu Graphen zusammengesetzter Funktionen

Nur mit Account

Welcher y-Wert ergibt sich für die Funktion $(f-g)(x)$ an der Stelle $x=2$ , wenn $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$ vorgegeben sind?

Übungsaufgabe zu Graphen zusammengesetzter Funktionen

Nur mit Account

Kostenlos freischalten

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind $\textcolor{#08BFFF}{f(x)=-x+2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)=0.5x-1}$ . Ordne die Graphen (1), (2) und (3) den Funktionen $(f+g)(x)$ , $(f-g)(x)$ und $(g-f)(x)$ zu.

Drei Geraden als Graphen zusammengesetzter linearer Funktionen

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme aufstellen
$(f+g)(x) = (\textcolor{#08BFFF}{-x+2}) + (\textcolor{#53E5D6}{0.5x-1}) = -0.5x+1$

$(f-g)(x) = (\textcolor{#08BFFF}{-x+2}) - (\textcolor{#53E5D6}{0.5x-1}) = -1.5x+3$

$(g-f)(x) = (\textcolor{#53E5D6}{0.5x-1}) - (\textcolor{#08BFFF}{-x+2}) = 1.5x-3$
Schritt 2
Test-x-Wert wählen
Wir wählen den Testwert $x=0$ , da die y-Achsenabschnitte alle unterschiedlich sind.
Schritt 3
y-Werte berechnen
$(f+g)(0) = -0.5 \cdot 0 + 1 = 1$

$(f-g)(0) = -1.5 \cdot 0 + 3 = 3$

$(g-f)(0) = 1.5 \cdot 0 - 3 = -3$

Wir suchen die Punkte $(0|1)$ , $(0|3)$ und $(0|-3)$ .
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Punkte ablesen und zuordnen
- Graph (3) schneidet die y-Achse bei $y=1$ . Also gehört Graph (3) zu $(f+g)(x)$ .
- Graph (1) schneidet die y-Achse bei $y=3$ . Also gehört Graph (1) zu $(f-g)(x)$ .
- Graph (2) schneidet die y-Achse bei $y=-3$ . Also gehört Graph (2) zu $(g-f)(x)$ .

Ergebnis:

Graph (3) → $(f+g)(x)$ , Graph (1) → $(f-g)(x)$ , Graph (2) → $(g-f)(x)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind $\textcolor{#08BFFF}{f(x)=2}$ (eine konstante Funktion) und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)=x^2-2x}$ . Ordne die Graphen den Funktionen $(f+g)(x)$ und $(f-g)(x)$ zu.

Zwei Parabeln als zusammengesetzte Funktionen mit konstanter Funktion

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme aufstellen
$(f+g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{2} + (\textcolor{#53E5D6}{x^2-2x}) = x^2-2x+2$

$(f-g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{2} - (\textcolor{#53E5D6}{x^2-2x}) = -x^2+2x+2$
Schritt 2
Test-x-Wert wählen
Wir wählen den Testwert $x=0$ .
Schritt 3
y-Werte berechnen
$(f+g)(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$

$(f-g)(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Hier hilft $x=0$ nicht, da beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Nehmen wir einen anderen Wert, z.B. $x=2$ .

$(f+g)(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$(f-g)(2) = -2^2 + 2 \cdot 2 + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

Auch $x=2$ hilft nicht. Versuchen wir $x=1$ .

$(f+g)(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$

$(f-g)(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

Wir suchen die Punkte $(1|1)$ und $(1|3)$ .
4
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Punkte ablesen und zuordnen
- Graph (1) geht durch den Punkt $(1|1)$ . Also gehört Graph (1) zu $(f+g)(x)$ .
- Graph (2) geht durch den Punkt $(1|3)$ . Also gehört Graph (2) zu $(f-g)(x)$ .

Ergebnis:

Graph (1) → $(f+g)(x)$ , Graph (2) → $(f-g)(x)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben sind $\textcolor{#08BFFF}{f(x)=x}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)=-x}$ . Ordne die Graphen den Funktionen $(f+g)(x)$ und $(f-g)(x)$ zu.

Gerade und x-Achse als zusammengesetzte Funktionen mit entgegengesetzten Geraden

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionsterme aufstellen
$(f+g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x} + (\textcolor{#53E5D6}{-x}) = 0$

$(f-g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x} - (\textcolor{#53E5D6}{-x}) = x+x = 2x$
2
Schritt 2 & 3
Analyse der Funktionen
In diesem Fall müssen wir nicht einmal einen Testpunkt einsetzen. Die Funktionsgleichungen sind sehr einfach.
- Die Funktion $(f+g)(x)=0$ ist eine konstante Funktion, deren Graph eine horizontale Linie auf der x-Achse ist.
- Die Funktion $(f-g)(x)=2x$ ist eine lineare Funktion, die durch den Ursprung geht und die Steigung 2 hat.
3
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Graphen zuordnen
- Graph (1) ist die horizontale Linie auf der x-Achse. Also gehört Graph (1) zu $(f+g)(x)$ .
- Graph (2) ist die Gerade mit der Steigung 2 durch den Ursprung. Also gehört Graph (2) zu $(f-g)(x)$ .

Ergebnis:

Graph (1) → $(f+g)(x)$ , Graph (2) → $(f-g)(x)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind $\textcolor{#08BFFF}{f(x)=x^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)=-x^2}$ . Ordne die Graphen den Funktionen $(f+g)(x)$ und $(f-g)(x)$ zu.

Parabel und x-Achse als zusammengesetzte Funktionen mit entgegengesetzten Parabeln

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionsterme aufstellen
$(f+g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x^2} + (\textcolor{#53E5D6}{-x^2}) = 0$

$(f-g)(x) = \textcolor{#08BFFF}{x^2} - (\textcolor{#53E5D6}{-x^2}) = x^2+x^2 = 2x^2$
2
Schritt 2 & 3
Analyse der Funktionen
Auch hier sind die resultierenden Funktionen einfach zu identifizieren.
- Die Funktion $(f+g)(x)=0$ ist die x-Achse.
- Die Funktion $(f-g)(x)=2x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel, die steiler ist als die Normalparabel.
3
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Graphen zuordnen
- Graph (1) ist die horizontale Linie auf der x-Achse. Also gehört Graph (1) zu $(f+g)(x)$ .
- Graph (2) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Also gehört Graph (2) zu $(f-g)(x)$ .

Ergebnis:

Graph (1) → $(f+g)(x)$ , Graph (2) → $(f-g)(x)$ .

Aufgabentyp 2: Graphen zeichnerisch kombinieren

Man kann den Graphen einer zusammengesetzten Funktion auch direkt aus den Graphen der Ausgangsfunktionen zeichnen, ganz ohne zu rechnen. Die Idee ist die grafische Addition oder Subtraktion.

Der Funktionswert $y$ ist ja der vertikale Abstand vom Punkt auf dem Graphen zur x-Achse. Um den Graphen von $h(x) = \textcolor{#08BFFF}{f(x)} + \textcolor{#53E5D6}{g(x)}$ zu zeichnen, addierst du für jeden x-Wert einfach die y-Werte (die vertikalen Abstände) von $\textcolor{#08BFFF}{f}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g}$ .

Grafische Addition zweier Funktionen im Koordinatensystem

Wichtig: Bevor du anfängst, musst du die Definitionsmenge beachten. Die zusammengesetzte Funktion existiert nur dort, wo alle beteiligten Funktionen definiert sind. Wenn $f(x)=\sqrt{x}$ (definiert für $x \ge 0$ ) und $g(x)=x-2$ (definiert für alle $x$ ) kombiniert werden, ist die neue Funktion auch nur für $x \ge 0$ definiert.