Mit Prozenten rechnen einfach erklärt: Formeln & Beispiele

Wenn du dich fragst, wie du richtig mit Prozenten rechnen kannst, bist du hier genau richtig. Stell dir vor, dein Handy zeigt an, dass du noch $15 \%$ Akku hast. Reicht das noch für ein 30-minütiges Video? Oder du siehst im Geschäft eine Jacke mit einem „$20 \%$-Rabatt“-Aufkleber. Wie viel Geld sparst du wirklich?

Prozente begegnen uns jeden Tag. Manchmal kennen wir das Ganze und wollen einen Teil berechnen. Manchmal kennen wir den Teil und wollen wissen, wie viel Prozent das sind. Heute lernst du das Handwerkszeug, um jedes dieser Rätsel ganz einfach zu lösen!

Vorwissen

Damit dir das Rechnen mit Prozenten leicht fällt, solltest du folgende Grundlagen beherrschen:

• Prozente als Dezimalzahl: Um mit Prozenten zu rechnen, wandeln wir sie oft in eine Kommazahl um, indem wir durch $100$ teilen. Beispiel: $25 \% = 0{,}25$ oder $5 \% = 0{,}05$.
• Gleichungen umstellen: Du kannst eine Gleichung verändern, indem du auf beiden Seiten das Gegenteil rechnest. Beispiel: Wenn $4 \cdot x = 20$, dann teilst du durch $4$ und erhältst $x = \frac{20}{4} = 5$.

Aufgabentyp 1: Gemischte Aufgaben zu Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert

Beim Mit-Prozenten-Rechnen gibt es verschiedene Aufgabentypen. Jede Aufgabe in der Prozentrechnung besteht aus drei wichtigen Bausteinen. Wenn du zwei davon kennst, kannst du den dritten immer berechnen!

• Der Grundwert ($\textcolor{#08BFFF}{G}$): Das ist das Ganze. Er entspricht immer genau $100 \%$.
• Der Prozentsatz ($\textcolor{#9570FF}{p}$): Das ist der Anteil in Prozent (mit dem $\%$-Zeichen).
• Der Prozentwert ($\textcolor{#53E5D6}{W}$): Das ist der tatsächliche Wert dieses Anteils (z.B. in Euro, Metern oder Kilogramm).

Die Grundformel

Alle drei Bausteine hängen durch eine einzige Formel zusammen:

$\textcolor{#53E5D6}{W} = \textcolor{#08BFFF}{G} \cdot \textcolor{#9570FF}{p}$

(Wichtig: Setze für $\textcolor{#9570FF}{p}$ immer die Kommazahl ein, also z.B. $0{,}20$ statt $20 \%$).

Die Formel umstellen

Wenn der Prozentwert gesucht ist, kannst du die Formel direkt benutzen. Was aber, wenn etwas anderes gesucht ist? Dann stellen wir die Formel einfach um!

1. Wenn der Prozentsatz gesucht ist: Wir teilen beide Seiten durch den Grundwert.

$\textcolor{#53E5D6}{W} = \textcolor{#08BFFF}{G} \cdot \textcolor{#9570FF}{p} \quad | \div \textcolor{#08BFFF}{G}$

$\textcolor{#9570FF}{p} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{W}}{\textcolor{#08BFFF}{G}}$

2. Wenn der Grundwert gesucht ist: Wir teilen beide Seiten durch den Prozentsatz.

$\textcolor{#53E5D6}{W} = \textcolor{#08BFFF}{G} \cdot \textcolor{#9570FF}{p} \quad | \div \textcolor{#9570FF}{p}$

$\textcolor{#08BFFF}{G} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{W}}{\textcolor{#9570FF}{p}}$

Was passiert bei über 100 %?

Normalerweise ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert. Aber ein Prozentsatz kann auch größer als $100 \%$ sein! Wenn etwas zum Beispiel auf $150 \%$ anwächst, dann ist der Prozentwert am Ende größer als das ursprüngliche Ganze (Grundwert).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wenn du eine Textaufgabe vor dir hast, gehe immer nach diesem Plan vor:

1. Gegebene Werte zuordnen: Lies den Text und schreibe auf, was gegeben ist. Steht ein $\%$-Zeichen dahinter, ist es der Prozentsatz. Ist es das Ganze, ist es der Grundwert. Ist es ein Teil, ist es der Prozentwert.
2. Gesuchten Wert finden und Formel wählen: Finde heraus, welcher der drei Bausteine fehlt, und wähle die passende Formel.
3. Einsetzen und ausrechnen: Wandle den Prozentsatz in eine Kommazahl um, setze die Zahlen ein und rechne das Ergebnis aus.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Der Grundwert (G) ist immer das Ganze ($100 \%$).
• Die Grundformel lautet: $\textcolor{#53E5D6}{W} = \textcolor{#08BFFF}{G} \cdot \textcolor{#9570FF}{p}$.
• Ist etwas anderes gesucht, stellst du um: $\textcolor{#9570FF}{p} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{W}}{\textcolor{#08BFFF}{G}}$ oder $\textcolor{#08BFFF}{G} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{W}}{\textcolor{#9570FF}{p}}$.
• Wenn der Prozentsatz über $100 \%$ liegt, ist der Prozentwert größer als der Grundwert.