Was sind reelle und rationale Zahlen?

Die reellen Zahlen umfassen alle Zahlen auf der Zahlengeraden. Sie lassen sich in zwei Gruppen aufteilen: rationale Zahlen (wie Brüche oder abbrechende Kommazahlen) und irrationale Zahlen (wie Wurzeln, die nicht glatt aufgehen). Zusammen bilden sie den gesamten Zahlenbereich der reellen Zahlen.

Wie erkenne ich eine rationale Zahl?

Eine rationale Zahl erkennst du daran, dass sie sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Als Kommazahl geschrieben, bricht sie entweder nach einer bestimmten Anzahl an Stellen ab (z. B. 0,25 ) oder sie ist periodisch (z. B. 0,333... ).

Was ist der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen?

Der Hauptunterschied liegt in den Nachkommastellen. Rationale Zahlen enden irgendwann oder haben ein sich wiederholendes Muster (Periode). Irrationale Zahlen hingegen haben unendlich viele Nachkommastellen, die völlig chaotisch sind und sich niemals periodisch wiederholen, wie zum Beispiel die Kreiszahl Pi oder √2 .

Zahlenbereiche: Reell vs. rational

Hast du schon einmal eine Rechnung in deinen Taschenrechner eingetippt und das Display war plötzlich komplett voll mit einer chaotischen Zahlenfolge, die scheinbar gar keinen Sinn ergibt?

Taschenrechner mit chaotischer Zahlenfolge

In der Mathematik gibt es Zahlen, die sehr "brav" sind: Sie enden irgendwann oder wiederholen sich in einem klaren Muster. Und dann gibt es Zahlen, die völlig außer Kontrolle geraten, niemals enden und sich nie wiederholen. Heute lernen wir, wie wir diese Zahlen in zwei Gruppen einteilen: die rationalen und die irrationalen Zahlen. Mit ein paar einfachen Tricks kannst du jede reelle Zahl sofort durchschauen!

Vorwissen

Periodische Dezimalzahlen: Zahlen, bei denen sich eine Ziffer oder ein Block von Ziffern nach dem Komma unendlich oft wiederholt. Wir markieren das mit einem Periodenstrich.

Beispiel: $0{,}\overline{3}$ bedeutet $0{,}333333...$ und geht immer so weiter.
Quadratwurzeln: Die Zahl, die mit sich selbst malgenommen die Zahl unter der Wurzel ergibt.

Beispiel: $\sqrt{25} = 5$ , weil $5 \cdot 5 = 25$ ist.

Aufgabentyp 1: Rationale und irrationale Zahlen erkennen

Alle Zahlen, mit denen wir normalerweise rechnen, gehören zu den reellen Zahlen. Wir können sie in zwei große Gruppen aufteilen:

1. Rationale Zahlen Eine Zahl ist rational, wenn sie "brav" und berechenbar ist. Das ist der Fall, wenn sie eine der folgenden drei Bedingungen erfüllt:

Sie ist ein Bruch: Jede Zahl, die man als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann (z.B. $\textcolor{#08BFFF}{\frac{3}{4}}$ ).
Sie endet: Die Zahl hat keine oder nur eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen (z.B. $\textcolor{#08BFFF}{0{,}25}$ oder $\textcolor{#08BFFF}{-3}$ ).
Sie ist periodisch: Die Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen, aber sie wiederholen sich ab einem bestimmten Punkt immer wieder (z.B. $\textcolor{#08BFFF}{0{,}\overline{45}}$ ).

2. Irrationale Zahlen Eine Zahl ist irrational (das bedeutet wörtlich "unvernünftig"), wenn sie völlig chaotisch ist. Dafür gibt es nur eine einzige Regel:

Sie endet nie UND wiederholt sich nie: Die Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen, aber es gibt kein periodisches Muster. Oft sind das Wurzeln, die nicht glatt aufgehen (z.B. $\textcolor{#9570FF}{\sqrt{2}}$ ) oder verrückte Muster wie $\textcolor{#9570FF}{0{,}1010010001...}$

Übersicht rationale und irrationale Zahlen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wenn du in einer Prüfung entscheiden musst, ob eine Zahl rational oder irrational ist, stelle dir diese Fragen der Reihe nach:

Ist es ein Bruch? Wenn die Zahl ein Bruch aus zwei ganzen Zahlen ist (wie $\frac{137}{33}$ ), bist du schon fertig: Sie ist rational.
Ist es eine Wurzel? Wenn die Zahl eine Wurzel ist, versuche sie im Kopf auszurechnen. Geht sie glatt auf, ist sie rational. Geht sie nicht auf, ist sie irrational.
Schau dir die Nachkommastellen an! Bricht die Zahl ab oder hat sie einen Periodenstrich, ist sie rational. Geht sie unendlich weiter ohne Wiederholung, ist sie irrational.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Entscheide, ob die folgenden Zahlen rational oder irrational sind:

a) $-\sqrt{9}$

b) $0{,}01534718236829351830$

c) $0{,}12345678910111213...$

d) $12{,}\overline{123}$

e) $\frac{137}{33}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Die Wurzel prüfen (Aufgabe a)
Wir schauen uns $-\sqrt{9}$ an. Da $9$ eine Quadratzahl ist ( $3 \cdot 3 = 9$ ), können wir die Wurzel direkt ziehen:

$-\sqrt{9} = -3$

Die Zahl $-3$ ist eine ganze Zahl und hat keine Nachkommastellen. Sie ist also eine rationale Zahl.
Schritt 2
Die Kommazahlen prüfen (Aufgaben b, c, d)
Aufgabe b) $0{,}01534718236829351830$ Auch wenn die Zahl sehr lang ist, sie endet bei der $0$ . Sie hat eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen. Daher ist sie eine rationale Zahl.

Aufgabe c) $0{,}12345678910111213...$ Die drei Punkte am Ende bedeuten, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat. Wenn wir genau hinsehen, erkennen wir die natürlichen Zahlen ( $1, 2, 3, 4, 5...$ ), die aneinandergereiht sind. Es gibt hier keinen Block, der sich immer wieder exakt gleich wiederholt. Da sie nie endet und nicht periodisch ist, ist sie eine irrationale Zahl.

Aufgabe d) $12{,}\overline{123}$ Der Periodenstrich zeigt uns, dass sich der Block $123$ unendlich oft wiederholt ( $12{,}123123123...$ ). Weil sie periodisch ist, ist sie eine rationale Zahl.
Schritt 3 · Ergebnis
Den Bruch prüfen (Aufgabe e)
Aufgabe e) $\frac{137}{33}$ Jede Zahl, die als Bruch aus ganzen Zahlen geschrieben werden kann, ist automatisch eine rationale Zahl.

Ergebnis:

Rational sind: $-\sqrt{9}$ , $0{,}01534718236829351830$ , $12{,}\overline{123}$ und $\frac{137}{33}$ .
Irrational ist: $0{,}12345678910111213...$

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Wichtige Erkenntnisse

Rationale Zahlen sind berechenbar: Es sind Brüche, Kommazahlen die irgendwann enden, oder Kommazahlen mit einem Periodenstrich.
Irrationale Zahlen sind chaotisch: Sie haben unendlich viele Nachkommastellen, die sich niemals periodisch wiederholen.
Achtung bei Wurzeln: Wurzeln, die glatt aufgehen (wie $\sqrt{25}=5$ ), sind rational. Wurzeln, die nicht glatt aufgehen (wie $\sqrt{2}$ ), sind irrational.

Zahlenbereiche: Reell vs. rational einfach erklärt