Relative und absolute Häufigkeit einfach erklärt: Beispiele

Stell dir vor, du spielst ein Spiel, bei dem du blind in eine Schale mit bunten Kugeln greifst. Du möchtest unbedingt eine rote Kugel ziehen, um zu gewinnen! Aber wie stehen deine Chancen?

Um diese Frage zu beantworten, nutzen Mathematiker Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. Sie helfen uns, den Zufall berechenbar zu machen. Lass uns herausfinden, wie man die relative und absolute Häufigkeit richtig berechnet und unterscheidet!

Vorwissen

• Ergebnismenge ($\Omega$): Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments zusammengefasst. Die Anzahl dieser Ausgänge schreiben wir als $|\Omega|$. Beispiel: Beim Werfen eines normalen Würfels gibt es 6 mögliche Zahlen, also ist $|\Omega| = 6$.
• Brüche und Prozente: Ein Bruch kann als Kommazahl und als Prozentwert geschrieben werden. Beispiel: $\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis genau vorkommt (z. B. eine genaue Stückzahl).

In der Mathematik müssen wir zwei Begriffe gut unterscheiden:

1. Wenn wir ein Experiment in der Realität sehr oft durchführen (die Anzahl der Versuche nennen wir $n$), berechnen wir die relative Häufigkeit $h(A)$, indem wir die absolute Häufigkeit $H(A)$ durch $n$ teilen: $h(A) = \frac{H(A)}{n}$.

2. Wenn wir aber alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments kennen (die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}$), können wir die theoretische Wahrscheinlichkeit $\textcolor{#53E5D6}{P(A)}$ berechnen. Dafür teilen wir die Anzahl der passenden Ergebnisse $\textcolor{#08BFFF}{|A|}$ durch die Gesamtzahl $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}$:

$\textcolor{#53E5D6}{P(A)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{|A|}}{\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}}$

Wenn in einer Schale zum Beispiel $\textcolor{#08BFFF}{3 \text{ rote Kugeln}}$ liegen und es insgesamt $\textcolor{#9570FF}{10 \text{ Kugeln}}$ gibt, rechnest du die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, so aus:

$\textcolor{#53E5D6}{P(\text{rot})} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{3}}{\textcolor{#9570FF}{10}} = 0{,}3 = 30\,\%$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Anzahl der passenden Ergebnisse bestimmen: Finde heraus, nach welchem Ereignis gefragt ist, und zähle, wie viele passende Ergebnisse es dafür gibt. Das ist $\textcolor{#08BFFF}{|A|}$.
2. Gesamtzahl bestimmen: Zähle alle möglichen Ergebnisse zusammen. Das ist die Gesamtzahl $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}$.
3. Wahrscheinlichkeit berechnen: Setze beide Werte in die Formel $\textcolor{#53E5D6}{P(A)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{|A|}}{\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}}$ ein. Du kannst das Ergebnis als Bruch stehen lassen oder in eine Kommazahl und Prozent umwandeln.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Aus einer Schale wird zufällig eine Kugel gezogen. Es gibt insgesamt $7$ gelbe Kugeln, $3$ grüne Kugeln, $1$ rote und $1$ blaue Kugel.

Gib die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer gelben und einer grünen Kugel an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Gesamtzahl bestimmen

   Wir addieren alle Kugeln, um die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}$ zu erhalten:

   $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|} = 7 + 3 + 1 + 1 = \textcolor{#9570FF}{12}$

2. 2
   Schritt 2
   Wahrscheinlichkeit für gelb berechnen

   Die Anzahl der passenden Ergebnisse für gelbe Kugeln ist $\textcolor{#08BFFF}{|G|} = \textcolor{#08BFFF}{7}$. Wir setzen in die Formel ein:

   $\textcolor{#53E5D6}{P(G)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{|G|}}{\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}}$

   $\textcolor{#53E5D6}{P(G)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{7}}{\textcolor{#9570FF}{12}}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Wahrscheinlichkeit für grün berechnen

   Die Anzahl der passenden Ergebnisse für grüne Kugeln ist $\textcolor{#08BFFF}{|Gr|} = \textcolor{#08BFFF}{3}$.

   $\textcolor{#53E5D6}{P(Gr)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{3}}{\textcolor{#9570FF}{12}} = \frac{1}{4}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel beträgt $\frac{7}{12}$ und für eine grüne Kugel $\frac{1}{4}$.

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Aufgabentyp 2: Berechnen einer erwarteten Anzahl

Oft kennen wir die Wahrscheinlichkeit $\textcolor{#53E5D6}{P(A)}$ für ein Ereignis bereits und wissen, wie oft wir ein Experiment insgesamt durchführen (die Anzahl der Versuche $\textcolor{#9570FF}{n}$). Wir wollen dann vorhersagen, wie oft das Ereignis voraussichtlich eintreten wird. Das ist die erwartete absolute Häufigkeit $\textcolor{#08BFFF}{H(A)}$.

Um diese zu finden, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Versuche:

$\textcolor{#08BFFF}{H(A)} = \textcolor{#53E5D6}{P(A)} \cdot \textcolor{#9570FF}{n}$

Ein kurzes Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $\textcolor{#53E5D6}{20\,\%}$ (also als Kommazahl $0{,}2$) beträgt und wir $\textcolor{#9570FF}{50\text{-mal}}$ spielen ($n=50$), erwarten wir:

$\textcolor{#08BFFF}{H(A)} = \textcolor{#53E5D6}{0{,}2} \cdot \textcolor{#9570FF}{50} = \textcolor{#08BFFF}{10 \text{ Gewinne}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene Werte ablesen: Finde die Wahrscheinlichkeit $\textcolor{#53E5D6}{P(A)}$ (wandle Prozente am besten in eine Kommazahl oder einen Bruch um) und die Anzahl der Versuche $\textcolor{#9570FF}{n}$.
2. Formel aufstellen: Nutze die Formel für die erwartete absolute Häufigkeit: $\textcolor{#08BFFF}{H(A)} = \textcolor{#53E5D6}{P(A)} \cdot \textcolor{#9570FF}{n}$.
3. Ausrechnen: Setze die Werte ein und multipliziere sie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Glücksrad mit den Sektoren A, B und C wird gedreht. Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor C beträgt $P(C) = 30\,\%$.

Das Glücksrad wird $200$-mal gedreht. Berechne, wie oft man den Sektor C erwarten kann.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Werte ablesen

   Die Wahrscheinlichkeit für Sektor C ist $\textcolor{#53E5D6}{P(C)} = \textcolor{#53E5D6}{30\,\%} = \textcolor{#53E5D6}{0{,}3}$.

   Die Anzahl der Drehungen ist $\textcolor{#9570FF}{n} = \textcolor{#9570FF}{200}$.

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Formel anwenden und berechnen

   Wir suchen die erwartete absolute Häufigkeit $\textcolor{#08BFFF}{H(C)}$. Wir setzen die Werte in die Formel ein:

   $\textcolor{#08BFFF}{H(C)} = \textcolor{#53E5D6}{P(C)} \cdot \textcolor{#9570FF}{n}$

   $\textcolor{#08BFFF}{H(C)} = \textcolor{#53E5D6}{0{,}3} \cdot \textcolor{#9570FF}{200}$

   $\textcolor{#08BFFF}{H(C)} = \textcolor{#08BFFF}{60}$

Ergebnis:

Man kann erwarten, dass der Sektor C bei $200$ Drehungen genau $60$-mal getroffen wird.

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Wichtige Erkenntnisse

• Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis genau vorkommt (z. B. 5 rote Kugeln).
• Die Wahrscheinlichkeit $\textcolor{#53E5D6}{P(A)}$ berechnet sich aus der Anzahl der passenden Ergebnisse $\textcolor{#08BFFF}{|A|}$ geteilt durch die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse $\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}$: $\textcolor{#53E5D6}{P(A)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{|A|}}{\textcolor{#9570FF}{|\Omega|}}$
• Die relative Häufigkeit $h(A)$ beschreibt den Anteil bei $n$ tatsächlichen Versuchen: $h(A) = \frac{H(A)}{n}$
• Erwartete Anzahl: Um vorherzusagen, wie oft ein Ereignis bei $n$ Versuchen eintritt, nutzt du die Formel für die erwartete absolute Häufigkeit: $\textcolor{#08BFFF}{H(A)} = \textcolor{#53E5D6}{P(A)} \cdot \textcolor{#9570FF}{n}$