Was ist die Scheitelpunktform?

Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Schreibweise für quadratische Funktionen der Form f(x) = a(x - d)² + e . Ihr großer Vorteil ist, dass du den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel, den sogenannten Scheitelpunkt S(d|e) , direkt ablesen kannst, ohne aufwendig rechnen zu müssen.

Wie lese ich den Scheitelpunkt richtig ab?

Du liest die Werte für d und e aus der Formel f(x) = a(x - d)² + e ab. Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer: Steht dort ein Minus, ist d positiv. Steht dort ein Plus, musst du es gedanklich umdrehen, und d ist negativ. Der Wert e am Ende behält sein Vorzeichen.

Wofür steht das a in der Scheitelpunktform?

Der Wert a ist der Streckfaktor . Er bestimmt, wie die Parabel aussieht: Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a negativ, ist sie nach unten geöffnet. Zudem gibt der Wert an, ob die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht (breiter) oder gestreckt (schmaler) ist.

Einführung der Scheitelpunktform

Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in Richtung Korb. Die Flugbahn des Balls beschreibt eine perfekte Kurve, die wir Parabel nennen. Der höchste Punkt dieser Flugbahn ist entscheidend – in der Mathematik nennen wir ihn den Scheitelpunkt.

Bisher war es oft mühsam, diesen wichtigsten Punkt einer Parabel zu finden. Aber für die Einführung der Scheitelpunktform gibt es einen Trick! Mit dieser speziellen Schreibweise für quadratische Funktionen kannst du den höchsten (oder tiefsten) Punkt sofort ablesen, ohne rechnen zu müssen. Schauen wir uns an, wie das funktioniert!

Vorwissen

Quadratische Funktionen: Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.

Beispiel: Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$ . Ihr Graph ist die Normalparabel.
Vorzeichenregel: Eine Summe kann immer als Differenz mit einem negativen Vorzeichen geschrieben werden ( $a + b = a - (-b)$ ).

Beispiel: $x + 4$ ist das Gleiche wie $x - (-4)$ .

Aufgabentyp 1: Den Scheitelpunkt ablesen

Die Scheitelpunktform ist eine besondere Schreibweise für quadratische Funktionen. Sie sieht allgemein so aus:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$

Der große Vorteil dieser Form ist, dass wir den Scheitelpunkt (den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel) direkt ablesen können. Seine Koordinaten sind immer $S(\textcolor{#08BFFF}{d}|\textcolor{#9570FF}{e})$ .

Der Wert \textcolor{#53E5D6}{a} ist der Streckfaktor. Er gibt an, wie breit oder schmal die Parabel ist und ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

Achtung beim Vorzeichen!

In der Formel steht ein Minuszeichen vor dem \textcolor{#08BFFF}{d}.

Wenn in der Klammer ein Minus steht, ist \textcolor{#08BFFF}{d} positiv:

$f(x) = 2(x - \textcolor{#08BFFF}{3})^2 + \textcolor{#9570FF}{4} \to S(\textcolor{#08BFFF}{3}|\textcolor{#9570FF}{4})$

Wenn in der Klammer ein Plus steht, müssen wir es gedanklich in ein Minus umwandeln ( $+ = -(-)$ ), also ist \textcolor{#08BFFF}{d} negativ:

$f(x) = 2(x + 5)^2 + 1$

$= 2(x - (\textcolor{#08BFFF}{-5}))^2 + \textcolor{#9570FF}{1} \to S(\textcolor{#08BFFF}{-5}|\textcolor{#9570FF}{1})$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Prüfe das Vorzeichen in der Klammer und bestimme den Wert für $d$ .
Lies den Wert für $e$ am Ende der Funktionsgleichung ab.
Notiere den Scheitelpunkt als $S(d|e)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = -3(x+4)^2 - 2$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktionsterm anpassen
Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $f(x) = a(x-d)^2 + e$ . Da in unserer Klammer ein Plus steht, schreiben wir es als Minus um:

$f(x) = -3(x - (-4))^2 - 2$
Schritt 2 · Ergebnis
Scheitelpunkt ablesen
Nun können wir die Koordinaten direkt ablesen. Das $d$ ist $-4$ und das $e$ ist $-2$ .

Ergebnis:

Der Scheitelpunkt ist also $S(-4|-2)$ .

Quiz zu Einführung der Scheitelpunktform: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Einführung der Scheitelpunktform und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Einführung der Scheitelpunktform

Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?

Quizfrage 2 zu Einführung der Scheitelpunktform

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Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = 2(x - 3)^2 + 4$ ?

Übungsaufgabe zu Einführung der Scheitelpunktform

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Aufgabentyp 2: Eine Parabel zeichnen

Wenn wir die Scheitelpunktform haben, können wir die Parabel ganz leicht zeichnen.

Zuerst markieren wir den Scheitelpunkt $S$ im Koordinatensystem.

Um weitere Punkte (Hilfspunkte) zu finden, nutzen wir den Streckfaktor \textcolor{#53E5D6}{a}. Wenn wir vom Scheitelpunkt aus um eine bestimmte Anzahl an Schritten $l$ nach rechts oder links gehen, müssen wir um $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot l^2$ nach oben (wenn $a$ positiv ist) oder nach unten (wenn $a$ negativ ist) gehen.

Beispiel: Für $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{3}(x-2)^2 + 1$ ist \textcolor{#53E5D6}{a=3}.

Gehen wir $l=1$ Schritt nach rechts oder links, rechnen wir $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{3} \cdot 1^2 = 3$ . Wir gehen also $3$ Schritte nach oben.

Gehen wir $l=2$ Schritte nach rechts oder links, rechnen wir $\Delta y = \textcolor{#53E5D6}{3} \cdot 2^2 = 12$ . Wir gehen also $12$ Schritte nach oben.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(d|e)$ und den Streckfaktor $a$ aus der Funktionsgleichung ab. Achte auf das Vorzeichen in der Klammer!
Markiere den Scheitelpunkt in einem Koordinatensystem.
Gehe vom Scheitelpunkt aus $l$ Schritte nach rechts und links. Berechne die vertikale Verschiebung mit der Formel $\Delta y = a \cdot l^2$ . Gehe dieses Ergebnis nach oben oder unten und markiere die neuen Punkte.
Verbinde den Scheitelpunkt und die Hilfspunkte zu einer geschwungenen Kurve.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Zeichne die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = -2(x+1)^2 + 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Scheitelpunkt und Streckfaktor ablesen
Wir formen den Term gedanklich um zu $f(x) = -2(x - (-1))^2 + 2$ .

Daraus lesen wir ab: Der Scheitelpunkt ist $S(-1|2)$ und der Streckfaktor ist $a = -2$ .
Schritt 2
Scheitelpunkt einzeichnen
Wir markieren den Punkt $S(-1|2)$ in einem Koordinatensystem.

Scheitelpunkt im Koordinatensystem markiert
Schritt 3
Hilfspunkte berechnen
Wir berechnen die vertikale Verschiebung $\Delta y = a \cdot l^2$ für verschiedene Schritte $l$ nach rechts und links vom Scheitelpunkt.

Für $l=1$ Schritt: $\Delta y = -2 \cdot 1^2 = -2$ . Wir gehen also $2$ Einheiten nach unten und markieren die Punkte.

Für $l=2$ Schritte: $\Delta y = -2 \cdot 2^2 = -8$ . Wir gehen also $8$ Einheiten nach unten und markieren die Punkte.

Hilfspunkte im Koordinatensystem markiert
Schritt 4 · Ergebnis
Parabel zeichnen
Wir verbinden den Scheitelpunkt und die Hilfspunkte zu einer geschwungenen Parabel.

Fertig gezeichnete Parabel

Ergebnis:

Die Parabel ist erfolgreich gezeichnet.

Aufgabentyp 3: Die Funktionsgleichung aufstellen

Manchmal kennen wir den Scheitelpunkt einer Parabel und wollen die passende Funktionsgleichung dazu aufstellen.

Das ist mit der Scheitelpunktform sehr einfach: Wir setzen die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(\textcolor{#08BFFF}{d}|\textcolor{#9570FF}{e})$ einfach für \textcolor{#08BFFF}{d} und \textcolor{#9570FF}{e} in die allgemeine Form $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a}(x-\textcolor{#08BFFF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$ ein.

Beispiel: Der Scheitelpunkt ist $S(\textcolor{#08BFFF}{4}|\textcolor{#9570FF}{5})$ .

Eingesetzt: $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a}(x-\textcolor{#08BFFF}{4})^2 + \textcolor{#9570FF}{5}$ .

Wenn keine weiteren Punkte der Parabel vorgegeben sind, können wir uns den Streckfaktor \textcolor{#53E5D6}{a} frei aussuchen (er darf nur nicht $0$ sein).

Wählen wir \textcolor{#53E5D6}{a=1}, lautet die Gleichung: $f(x) = (x-4)^2 + 5$ .

Wählen wir \textcolor{#53E5D6}{a=-2}, lautet die Gleichung: $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{-2}(x-4)^2 + 5$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere die allgemeine Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ .
Setze die Koordinaten des gegebenen Scheitelpunkts für $d$ und $e$ ein.
Wähle einen beliebigen Streckfaktor $a$ (außer $0$ ), falls kein weiterer Punkt gegeben ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib die Funktionsterme von zwei verschiedenen Parabeln an, die ihren Scheitelpunkt bei $S(-2|3)$ haben.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Allgemeine Form aufstellen
Die Scheitelpunktform lautet allgemein:

$f(x) = a(x-d)^2 + e$
Schritt 2
Scheitelpunkt einsetzen
Wir setzen die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(-2|3)$ für $d$ und $e$ ein:

$f(x) = a(x - (-2))^2 + 3$

$f(x) = a(x + 2)^2 + 3$
Schritt 3 · Ergebnis
Streckfaktor wählen
Da keine weiteren Punkte vorgegeben sind, können wir für den Streckfaktor $a$ beliebige Zahlen (außer $0$ ) wählen.

Ergebnis:

Für $a=1$ erhalten wir $f_1(x) = (x + 2)^2 + 3$ und für $a=-2$ erhalten wir $f_2(x) = -2(x + 2)^2 + 3$ .

Wichtige Erkenntnisse

Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2 + e$
Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt ist $S(d|e)$ . Achte auf das Vorzeichen! Aus $(x-3)^2$ wird $d=3$ , aus $(x+3)^2$ wird $d=-3$ .
Hilfspunkte berechnen: Gehe vom Scheitelpunkt $l$ Schritte zur Seite und $\Delta y = a \cdot l^2$ Schritte nach oben oder unten.

Einführung der Scheitelpunktform: Einfach erklärt