Terme vereinfachen einfach erklärt: Ausmultiplizieren

Wenn du in Mathe Terme vereinfachen oder Klammern ausmultiplizieren möchtest, brauchst du das Distributivgesetz. Stell dir vor, du packst Geschenktüten für eine Party. In jede Tüte kommen genau $2$ Äpfel und $1$ Schokoriegel. Wenn du $3$ solcher Tüten packst, rechnest du automatisch: $3$ mal $2$ Äpfel und $3$ mal $1$ Schokoriegel. Am Ende hast du also $6$ Äpfel und $3$ Schokoriegel verteilt.

Genau dieses Prinzip nutzen wir in der Mathematik, wenn wir Klammern in Termen auflösen! Das nennt man das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). Lass uns anschauen, wie du damit auch komplizierte Terme ganz einfach Schritt für Schritt knacken kannst.

Vorwissen

• Zahlen und Variablen multiplizieren: Zahlen werden miteinander multipliziert, die Variable bleibt stehen.

  Beispiel: $4 \cdot 3x = 12x$

• Gleichartige Terme zusammenfassen: Du darfst nur Terme mit denselben Variablen addieren oder subtrahieren.

  Beispiel: $5x + 2 - 3x = 2x + 2$

Aufgabentyp 1: Ausmultiplizieren: Faktor mal Klammer

Wenn eine Zahl (ein Faktor) direkt vor oder hinter einer Klammer steht, bedeutet das, dass die gesamte Klammer mit dieser Zahl multipliziert wird. Um die Klammer aufzulösen, musst du die Zahl vor der Klammer mit jedem einzelnen Teil in der Klammer multiplizieren.

Das sieht mathematisch so aus:

$\textcolor{#08BFFF}{a} \cdot (b + c) = \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot b + \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot c$

Schauen wir uns das mit echten Zahlen an. Wenn wir den Term $\textcolor{#08BFFF}{3} \cdot (2x + 4)$ haben, verteilen wir die $\textcolor{#08BFFF}{3}$ auf beide Teile in der Klammer:

$\textcolor{#08BFFF}{3} \cdot (2x + 4) = \textcolor{#08BFFF}{3} \cdot 2x + \textcolor{#08BFFF}{3} \cdot 4$

Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir $6x + 12$. Achte beim Ausmultiplizieren immer genau auf die Vorzeichen (Plus und Minus) in der Klammer!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Faktor verteilen: Multipliziere die Zahl vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Schreibe die Rechnung ausführlich auf.
2. Ausrechnen: Führe die einzelnen Multiplikationen durch (Zahlen mal Zahlen, Variablen bleiben stehen).
3. Zusammenfassen: Fasse alle gleichartigen Terme (z. B. alle Zahlen ohne Variable und alle Terme mit $x$) zusammen, um das Endergebnis so kurz wie möglich zu machen.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Minusklammer auflösen

Manchmal steht keine Zahl vor der Klammer, sondern einfach nur ein Minuszeichen. Das nennt man eine Minusklammer. Ein Minus vor der Klammer wirkt wie ein Warnschild: Es ändert alles, was in der Klammer steht!

Die Regel ist ganz einfach: Du darfst die Klammer und das Minuszeichen davor weglassen, wenn du dafür jedes Vorzeichen in der Klammer umdrehst.

• Aus einem Plus in der Klammer wird ein Minus.
• Aus einem Minus in der Klammer wird ein Plus.

Die Formel dazu sieht so aus:

$-(a - b) = -a + b$

Wenn in der Klammer gar kein Vorzeichen vor der ersten Zahl steht (wie bei $3x$), ist das unsichtbar ein Plus. Es wird dann also zu einem Minus ($-3x$).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Vorzeichen umdrehen: Lasse das Minus vor der Klammer und die Klammern selbst weg. Drehe dafür jedes Plus und Minus im Inneren der Klammer um.
2. Zusammenfassen: Fasse den entstandenen Term so weit wie möglich zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Ausmultiplizieren: Klammer mal Klammer

Was passiert, wenn zwei Klammern direkt miteinander multipliziert werden? Hier gilt die einfache Regel: Jeder mit jedem!

Du musst jeden Teil aus der ersten Klammer mit jedem Teil aus der zweiten Klammer multiplizieren. Wenn in jeder Klammer zwei Teile stehen, hast du am Ende vier Multiplikationen durchgeführt.

So sieht die Regel aus:

$(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b}) \cdot (c + d) = \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot c + \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot d + \textcolor{#53E5D6}{b} \cdot c + \textcolor{#53E5D6}{b} \cdot d$

Manchmal siehst du auch Terme wie $(x+y)^2$. Das kleine Hoch $2$ bedeutet einfach nur, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert wird. Du kannst es umschreiben als $(x+y) \cdot (x+y)$ und dann genau wie oben mit der „Jeder mit jedem“-Regel ausrechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Jeden mit jedem multiplizieren: Nimm den ersten Teil der ersten Klammer und multipliziere ihn mit beiden Teilen der zweiten Klammer. Nimm dann den zweiten Teil der ersten Klammer und multipliziere ihn ebenfalls mit beiden Teilen der zweiten Klammer. Schreibe alle vier Rechnungen auf.
2. Ausrechnen: Rechne die vier einzelnen Mal-Aufgaben aus. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus!).
3. Zusammenfassen: Fasse die gleichartigen Terme in der Mitte zusammen, um das Endergebnis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Faktor mal Klammer: Die Zahl vor der Klammer wird mit jedem Teil in der Klammer multipliziert.
• Minusklammer: Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen im Inneren der Klammer um.
• Klammer mal Klammer: Es gilt „Jeder mit jedem“. Jeder Teil der ersten Klammer wird mit jedem Teil der zweiten Klammer multipliziert.