1D-Kinematik und Bewegungsgleichungen einfach erklärt

Stell dir vor, ein Raser schießt mit konstanter Geschwindigkeit an einem stehenden Polizeiauto vorbei. Die Polizei tritt sofort das Gaspedal durch, um die Verfolgung aufzunehmen. Werden sie ihn einholen? Und wenn ja, wann und wo genau?

Mit den Werkzeugen der 1D-Kinematik und Bewegungsgleichungen (der Lehre von der Bewegung) können wir solche Fragen exakt beantworten. In dieser Lektion lernst du, wie man Bewegungen von Fahrzeugen berechnet und grafisch darstellt. Außerdem verlassen wir die Erde und schauen uns an, wie sich die veränderte Schwerkraft auf dem Mond auf fallende oder geworfene Gegenstände auswirkt!

Vorwissen

• Gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit $v$): Formel: $s = v \cdot t$ Beispiel: Ein Fahrrad fährt $5 \text{ s}$ lang mit $4 \text{ m/s}$ und legt dabei $20 \text{ m}$ zurück.

• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung $a$ aus dem Stand): Formeln: $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ und $v = a \cdot t$ Beispiel: Ein Auto beschleunigt $3 \text{ s}$ lang mit $2 \text{ m/s}^2$ und legt dabei $9 \text{ m}$ zurück.

• Einheitenumrechnung: Regel: Um von $\text{km/h}$ in $\text{m/s}$ umzurechnen, teilt man durch $3{,}6$. Beispiel: $72 \text{ km/h} / 3{,}6 = 20 \text{ m/s}$.

Aufgabentyp 1: Analyse und grafische Darstellung eindimensionaler Bewegungsabläufe

Oft bewegen sich zwei Objekte gleichzeitig, aber auf völlig unterschiedliche Weise. Nehmen wir unser Beispiel: Ein Raser (Auto) fährt mit konstanter Geschwindigkeit, während die Polizei aus dem Stand beschleunigt.

Um herauszufinden, wann und wo sie sich treffen, müssen wir ihre Bewegungen mathematisch modellieren. Das bedeutet, wir stellen für jedes Fahrzeug eine eigene Gleichung auf, die beschreibt, wo es sich zu einer bestimmten Zeit $t$ befindet (die sogenannte Ortsfunktion $s(t)$).

• Das Auto hat keine Beschleunigung ($a=0$). Seine Geschwindigkeit bleibt gleich. Sein Weg wächst gleichmäßig an.
• Die Polizei startet bei $v=0$, wird aber pro Sekunde immer schneller. Ihr Weg wächst anfangs langsam, dann immer rasanter (quadratisch).

Ein Treffpunkt bedeutet physikalisch: Beide Objekte sind zur exakt selben Zeit am exakt selben Ort. Mathematisch finden wir diesen Punkt, indem wir die beiden Ortsfunktionen einfach gleichsetzen: $\textcolor{#08BFFF}{s_{Auto}} = \textcolor{#9570FF}{s_{Polizei}}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Einheiten anpassen Prüfe, ob alle Geschwindigkeiten in $\text{m/s}$ und Beschleunigungen in $\text{m/s}^2$ angegeben sind. Rechne $\text{km/h}$ in $\text{m/s}$ um (geteilt durch $3{,}6$).
2. Schritt 2: Ortsfunktionen aufstellen Schreibe die Formel für Objekt 1 (z.B. $s_1 = v \cdot t$) und Objekt 2 (z.B. $s_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$) auf.
3. Schritt 3: Gleichsetzen und nach t auflösen Setze $s_1 = s_2$. Setze die Zahlenwerte ein und löse die Gleichung nach der Zeit $t$ auf. Dies ist der Zeitpunkt des Treffens.
4. Schritt 4: Den Ort berechnen Setze die berechnete Zeit $t$ in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (aus Schritt 2) ein, um die Strecke $s$ zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Freier Fall und senkrechter Wurf

Der freie Fall ist im Grunde nichts anderes als ein Auto, das aus dem Stand beschleunigt – nur eben senkrecht nach unten! Die Beschleunigung $a$ wird hier durch die Schwerkraft (Gravitation) verursacht. Wir nennen sie Fallbeschleunigung und kürzen sie mit $g$ ab.

Auf der Erde beträgt diese Beschleunigung $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$. Auf dem Mond ist die Schwerkraft viel schwächer, dort gilt $g_M = 1{,}62 \text{ m/s}^2$. Die Formeln bleiben aber exakt dieselben:

• Fallstrecke: $s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$
• Fallgeschwindigkeit: $v = g \cdot t$

Beim senkrechten Wurf werfen wir ein Objekt mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ nach oben. Die Schwerkraft zieht es nach unten, bremst es also ab, bis es an seinem höchsten Punkt für einen winzigen Moment stehen bleibt ($v = 0$). Danach fällt es wieder nach unten.

Real-World Context: Wir gehen bei diesen Berechnungen von einem idealen System ohne Luftwiderstand aus. Auf dem Mond ist das sogar die Realität, da es dort keine Atmosphäre gibt!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Gegebene Werte notieren Notiere die Höhe ($s$ oder $h$), die Fallbeschleunigung ($g$) und überlege, ob es eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) gibt.
2. Schritt 2: Die richtige Formel wählen Wenn es um die Zeit geht, nutze: $s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$. Wenn die Zeit egal ist und es um Geschwindigkeit und Strecke geht, nutze die zeitunabhängige Gleichung: $v^2 = 2 \cdot g \cdot s$.
3. Schritt 3: Umstellen und Ausrechnen Stelle die Formel nach der gesuchten Größe um (z.B. Wurzel ziehen) und setze die Zahlen ein.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Galileis Gesetz der ungeraden Zahlen

Der berühmte Physiker Galileo Galilei hatte vor über 400 Jahren ein Problem: Er hatte keine Stoppuhr. Um die Beschleunigung zu untersuchen, ließ er Kugeln schiefe Ebenen hinabrollen und nutzte seinen eigenen Puls als Taktgeber für gleiche Zeitintervalle.

Dabei machte er eine faszinierende Entdeckung: Die Strecken, die die Kugel in jedem einzelnen Zeitintervall zurücklegt, verhalten sich wie die ungeraden Zahlen: $1, 3, 5, 7$ usw.

Wir wollen nun mathematisch beweisen, dass daraus unsere bekannte Formel für die Gesamtstrecke folgt, nämlich dass die Gesamtstrecke $s$ proportional zum Quadrat der Zeit $t$ ist ($s \sim t^2$).

Schauen wir uns die Gesamtstrecke nach jedem Zeitintervall an, indem wir die Einzelstrecken aufaddieren:

• Nach $1$ Zeitintervall ($t=1$): Gesamtstrecke = $\textcolor{#08BFFF}{1}$
• Nach $2$ Zeitintervallen ($t=2$): Gesamtstrecke = $1 + 3 = \textcolor{#08BFFF}{4}$
• Nach $3$ Zeitintervallen ($t=3$): Gesamtstrecke = $1 + 3 + 5 = \textcolor{#08BFFF}{9}$
• Nach $4$ Zeitintervallen ($t=4$): Gesamtstrecke = $1 + 3 + 5 + 7 = \textcolor{#08BFFF}{16}$

Fällt dir an den Ergebnissen $\textcolor{#08BFFF}{1, 4, 9, 16}$ etwas auf? Es sind genau die Quadratzahlen der Zeitintervalle!

• $1 = 1^2$
• $4 = 2^2$
• $9 = 3^2$
• $16 = 4^2$

Der Beweis: Wenn wir $n$ gleiche Zeitintervalle haben, entspricht die Zeit $t$ genau diesem $n$ ($t \sim n$). Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ergibt mathematisch immer exakt $n^2$. Da die Gesamtstrecke $s$ dieser Summe entspricht ($s \sim n^2$), können wir $n$ durch $t$ ersetzen. Daraus folgt zwingend:

$s \sim t^2$

Galilei hatte also durch einfaches Zählen von ungeraden Zahlen bewiesen, dass die Strecke bei konstanter Beschleunigung quadratisch mit der Zeit wächst. Genau das sagt auch unsere moderne Formel $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ aus!

Wichtige Erkenntnisse

• Treffpunkte berechnen: Setze immer die beiden Ortsfunktionen gleich ($s_1 = s_2$) und löse nach der Zeit $t$ auf.
• Einheiten-Falle: Rechne $\text{km/h}$ immer in $\text{m/s}$ um (geteilt durch $3{,}6$), bevor du rechnest.
• Freier Fall: Ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Nutze $s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$. Achte darauf, ob du den Wert für die Erde ($9{,}81$) oder den Mond ($1{,}62$) brauchst.
• Galileis Gesetz: Die Summe der ungeraden Zahlen ergibt Quadratzahlen. Dies beweist, dass bei konstanter Beschleunigung die Strecke quadratisch zur Zeit wächst ($s \sim t^2$).