Fluiddruck und Auftrieb einfach erklärt: Formeln & Beispiele

Stell dir vor, du tauchst auf den Grund eines tiefen Schwimmbeckens. Hast du schon einmal den unangenehmen Druck auf deinen Ohren gespürt? Oder hast du dich jemals gefragt, wie ein riesiges Kreuzfahrtschiff aus schwerem Stahl mühelos auf dem Wasser schwimmen kann, während ein winziger Kieselstein sofort untergeht?

Beide Phänomene haben mit der Schwerkraft zu tun, die auf Flüssigkeiten und Gase wirkt. In dieser Lektion werden wir das Geheimnis von Fluiddruck und Auftrieb lüften und herausfinden, warum manche Dinge schwimmen und andere sinken!

Vorwissen

• Dichte ($\rho$): Gibt an, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Formel: $\rho = \frac{m}{V}$ Beispiel: Wasser hat eine Dichte von $1000 \text{ kg/m}^{3}$.
• Druck ($p$): Beschreibt, wie stark eine Kraft auf eine bestimmte Fläche wirkt. Formel: $p = \frac{F}{A}$ Beispiel: Wenn du mit dem Daumen auf eine Reißzwecke drückst, verteilst du die Kraft auf eine winzige Fläche, was einen hohen Druck erzeugt.
• Gewichtskraft ($F_{G}$): Die Kraft, mit der die Erde einen Körper anzieht. Formel: $F_{G} = m \cdot g$ Beispiel: Ein $10 \text{ kg}$ schwerer Stein wird mit etwa $98.1 \text{ N}$ nach unten gezogen.

Aufgabentyp 1: Hydrostatischer Druck

Wasser ist schwer. Wenn du tauchst, befindet sich eine Menge Wasser direkt über dir. Die Schwerkraft zieht dieses Wasser nach unten, und dieses Gewicht drückt auf dich. Diesen Druck nennt man hydrostatischen Druck (oder Schweredruck).

Je tiefer du tauchst, desto mehr Wasser lastet auf dir und desto höher wird der Druck. Er hängt also direkt von der Tiefe ab. Außerdem spielt die Dichte der Flüssigkeit eine Rolle: Salzwasser ist dichter als Süßwasser und erzeugt daher bei gleicher Tiefe einen etwas höheren Druck.

Wir können den hydrostatischen Druck mit dieser Formel berechnen:

$\textcolor{#9570FF}{p} = \rho \cdot g \cdot \textcolor{#08BFFF}{h}$

Dabei ist $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit, $g$ die Erdbeschleunigung ($9.81 \text{ m/s}^{2}$) und $\textcolor{#08BFFF}{h}$ die Tiefe in Metern.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene Werte identifizieren: Finde die Dichte ($\rho$), die Erdbeschleunigung ($g$) und die Tiefe ($\textcolor{#08BFFF}{h}$) heraus.
2. Einheiten überprüfen: Stelle sicher, dass die Tiefe in Metern ($\text{m}$) und die Dichte in $\text{kg/m}^{3}$ angegeben ist.
3. Formel anwenden: Setze die Werte in die Formel $\textcolor{#9570FF}{p} = \rho \cdot g \cdot \textcolor{#08BFFF}{h}$ ein.
4. Ergebnis berechnen: Multipliziere die Werte. Das Ergebnis ist der Druck in Pascal ($\text{Pa}$).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Taucher befindet sich in einem Süßwassersee in einer Tiefe von $8 \text{ m}$. Berechne den hydrostatischen Druck, der in dieser Tiefe auf ihn wirkt. Die Dichte von Süßwasser beträgt $1000 \text{ kg/m}^{3}$ und die Erdbeschleunigung ist $g = 9.81 \text{ m/s}^{2}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren

   $\rho = 1000 \text{ kg/m}^{3}$ $g = 9.81 \text{ m/s}^{2}$ $\textcolor{#08BFFF}{h} = \textcolor{#08BFFF}{8 \text{ m}}$

2. 2
   Schritt 2
   Einheiten überprüfen

   Alle Einheiten sind bereits korrekt ($\text{m}$ und $\text{kg/m}^{3}$).

3. 3
   Schritt 3
   Formel anwenden

   $\textcolor{#9570FF}{p} = \rho \cdot g \cdot \textcolor{#08BFFF}{h}$ $\textcolor{#9570FF}{p} = 1000 \text{ kg/m}^{3} \cdot 9.81 \text{ m/s}^{2} \cdot \textcolor{#08BFFF}{8 \text{ m}}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\textcolor{#9570FF}{p} = 78480 \text{ Pa}$

Ergebnis:

Der hydrostatische Druck in $8 \text{ m}$ Tiefe beträgt $\textcolor{#9570FF}{78480 \text{ Pa}}$ (oder $78.48 \text{ kPa}$). Realitätscheck: Der Druck nimmt pro $10 \text{ m}$ Wassertiefe um etwa $100000 \text{ Pa}$ ($1 \text{ bar}$) zu. Ein Wert von knapp $80000 \text{ Pa}$ für $8 \text{ m}$ ist also absolut sinnvoll.

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Aufgabentyp 2: Auftrieb und das Archimedische Prinzip

Warum fühlt man sich im Wasser so leicht? Das liegt daran, dass der Wasserdruck an der Unterseite eines Körpers (der tiefer im Wasser ist) größer ist als an der Oberseite. Dieser Druckunterschied drückt den Körper nach oben. Diese nach oben gerichtete Kraft nennen wir Auftriebskraft ($\textcolor{#08BFFF}{F_{A}}$).

Das Archimedische Prinzip besagt: Die Auftriebskraft, die ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt, ist genau so groß wie die Gewichtskraft der Flüssigkeit, die er verdrängt.

Wenn du einen Ball unter Wasser drückst, verdrängt er Wasser. Das verdrängte Wasser möchte quasi an seinen Platz zurück und drückt den Ball nach oben. Die Formel lautet:

$\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} = m_{\text{Wasser}} \cdot g = \rho \cdot V \cdot g$

Dabei ist $V$ das Volumen des verdrängten Wassers.

Ob ein Gegenstand sinkt oder schwimmt, hängt von einem Kräftemessen ab:

• Sinken: Die Gewichtskraft des Körpers ist größer als der Auftrieb ($\textcolor{#9570FF}{F_{G}} > \textcolor{#08BFFF}{F_{A}}$). Ein Stein geht unter.
• Schweben: Beide Kräfte sind genau gleich groß ($\textcolor{#9570FF}{F_{G}} = \textcolor{#08BFFF}{F_{A}}$). U-Boote nutzen dies, um unter Wasser auf einer Tiefe zu bleiben.
• Steigen / Schwimmen: Der Auftrieb ist größer als die Gewichtskraft ($\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} > \textcolor{#9570FF}{F_{G}}$). Der Körper steigt auf, bis er an der Oberfläche schwimmt.

Anwendungsbezug: Ein Schiff aus schwerem Stahl sinkt nur so weit ein, bis der Auftrieb des verdrängten Wassers genau seinem riesigen Gewicht entspricht. (Hinweis: Flugzeuge fliegen nicht durch diesen statischen Auftrieb, sondern durch eine andere Art von Auftrieb, der durch die schnelle Bewegung der Luft an ihren Tragflächen entsteht.)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Volumen der verdrängten Flüssigkeit bestimmen: Finde das Volumen ($V$) des Körpers heraus, das sich unter Wasser befindet.
2. Auftriebskraft berechnen: Nutze die Formel $\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} = \rho \cdot V \cdot g$, wobei $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit ist.
3. Gewichtskraft des Körpers berechnen: Berechne die Gewichtskraft des Gegenstands mit $\textcolor{#9570FF}{F_{G}} = m \cdot g$.
4. Kräfte vergleichen: Vergleiche $\textcolor{#08BFFF}{F_{A}}$ und $\textcolor{#9570FF}{F_{G}}$. Ist die Gewichtskraft größer, sinkt der Körper. Ist der Auftrieb größer, steigt er.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Ein massiver Eisenblock mit einem Volumen von $0.002 \text{ m}^{3}$ und einer Masse von $15.7 \text{ kg}$ wird komplett in Wasser ($\rho = 1000 \text{ kg/m}^{3}$) getaucht. Berechne die Auftriebskraft und die Gewichtskraft. Entscheide, ob der Block sinkt oder aufsteigt. ($g = 9.81 \text{ m/s}^{2}$)

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Volumen der verdrängten Flüssigkeit bestimmen

   Da der Block komplett untergetaucht ist, entspricht das verdrängte Volumen dem Volumen des Blocks: $V = 0.002 \text{ m}^{3}$.

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   Schritt 2
   Auftriebskraft berechnen

   $\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} = \rho \cdot V \cdot g$ $\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} = 1000 \text{ kg/m}^{3} \cdot 0.002 \text{ m}^{3} \cdot 9.81 \text{ m/s}^{2}$ $\textcolor{#08BFFF}{F_{A}} = \textcolor{#08BFFF}{19.62 \text{ N}}$

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   Schritt 3
   Gewichtskraft des Körpers berechnen

   $\textcolor{#9570FF}{F_{G}} = m \cdot g$ $\textcolor{#9570FF}{F_{G}} = 15.7 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^{2}$ $\textcolor{#9570FF}{F_{G}} = \textcolor{#9570FF}{154.017 \text{ N}}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Kräfte vergleichen

   Die Gewichtskraft ($\textcolor{#9570FF}{154.017 \text{ N}}$) ist deutlich größer als die Auftriebskraft ($\textcolor{#08BFFF}{19.62 \text{ N}}$).

Ergebnis:

Daher sinkt der Eisenblock zu Boden. Realitätscheck: Eisen ist viel dichter als Wasser. Es ist logisch und physikalisch korrekt, dass ein massiver Eisenblock im Wasser sinkt.

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Aufgabentyp 3: Atmosphärendruck

Genau wie Wasser hat auch die Luft um uns herum eine Masse und wird von der Erde angezogen. Wir leben quasi am Grund eines riesigen „Ozeans aus Luft“.

Das Gewicht all dieser Luftschichten über uns drückt nach unten und erzeugt den Atmosphärendruck (auch Luftdruck genannt). Obwohl wir ihn im Alltag nicht spüren, weil unser Körper von innen mit dem gleichen Druck dagegenhält, ist er enorm stark.

Auf Meereshöhe beträgt der durchschnittliche Atmosphärendruck etwa $1013 \text{ hPa}$ (Hektopascal), was ungefähr $1 \text{ bar}$ entspricht. Je höher man auf einen Berg steigt, desto weniger Luft befindet sich über einem, und desto geringer wird der Luftdruck.

Wichtige Erkenntnisse

• Der hydrostatische Druck entsteht durch das Gewicht einer Flüssigkeit und nimmt mit der Tiefe zu ($p = \rho \cdot g \cdot h$).
• Das Archimedische Prinzip besagt: Die Auftriebskraft ist so groß wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ($F_{A} = \rho \cdot V \cdot g$).
• Ein Körper sinkt, wenn seine Gewichtskraft größer ist als der Auftrieb. Er schwebt oder schwimmt, wenn beide Kräfte im Gleichgewicht sind.
• Der Atmosphärendruck entsteht durch das Gewicht der Luftschichten über uns und beträgt auf Meereshöhe im Durchschnitt $1013 \text{ hPa}$.