Mathematische Modellierung des radioaktiven Zerfalls erklärt

Stell dir vor, du findest auf dem Dachboden eine alte Armbanduhr. Wenn du das Licht ausschaltest, stellst du fest: Die Zeiger leuchten im Dunkeln! Bei der mathematischen Modellierung des radioaktiven Zerfalls geht es genau um solche Phänomene.

Früher wurde oft das radioaktive Gas Tritium verwendet, um Uhren zum Leuchten zu bringen. Doch je älter die Uhr wird, desto schwächer wird das Leuchten, weil das Tritium zerfällt. In dieser Lektion lernst du, wie man mit einer einfachen mathematischen Formel ganz genau berechnen kann, wie stark die Uhr nach 10, 20 oder 50 Jahren noch leuchtet!

Vorwissen

• Halbwertszeit ($T_{1/2}$): Die Zeitspanne, in der genau die Hälfte der ursprünglichen radioaktiven Atomkerne zerfallen ist.

  Beispiel: Wenn du mit $1000$ Kernen startest, sind nach einer Halbwertszeit noch $500$ Kerne übrig.

• Prozente als Dezimalzahl: In der Mathematik rechnet man oft mit Dezimalzahlen statt mit Prozentzeichen.

  Regel: Teile die Prozentzahl durch $100$.

  Beispiel: $50\,\% = 0{,}5$ oder $32\,\% = 0{,}32$.

Aufgabentyp 1: Berechnung der Restaktivität mithilfe des Zerfallsgesetzes

Wenn genau eine Halbwertszeit vergeht, halbiert sich die Strahlung. Das ist einfach zu rechnen. Aber was passiert, wenn $20$ Jahre vergehen und die Halbwertszeit $12{,}32$ Jahre beträgt? Dafür nutzen wir das Zerfallsgesetz.

Die Strahlungsintensität (wie stark etwas strahlt oder leuchtet) hängt direkt davon ab, wie viel von dem radioaktiven Stoff noch übrig ist. Die Formel lautet:

$\textcolor{#9570FF}{I_t} = \textcolor{#08BFFF}{I_0} \cdot 0{,}5^{\frac{\textcolor{#53E5D6}{t}}{\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}}}$

Lass uns die Formel in ihre Einzelteile zerlegen:

• $\textcolor{#08BFFF}{I_0}$ ist die Anfangsintensität (Der Startwert, oft $100\,\%$ oder ein bestimmter Messwert).

• $\textcolor{#53E5D6}{t}$ ist die verstrichene Zeit (Wie lange haben wir gewartet?).

• $\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}$ ist die Halbwertszeit des Stoffes.

• $\textcolor{#9570FF}{I_t}$ ist die Intensität zum Zeitpunkt t (Unser gesuchter Endwert).

Warum steht da ein Bruch im Exponenten?

Der Teil $\frac{\textcolor{#53E5D6}{t}}{\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}}$ rechnet einfach nur aus, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Wenn die Halbwertszeit $10$ Jahre ist und $20$ Jahre vergehen, rechnest du $20 / 10 = 2$. Es sind also genau $2$ Halbwertszeiten vergangen. Die Formel rechnet dann automatisch $0{,}5^{2}$ (also zweimal die Hälfte).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene Werte notieren: Lies den Text genau und schreibe auf, was $\textcolor{#08BFFF}{I_0}$, $\textcolor{#53E5D6}{t}$ und $\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}$ sind. Wenn kein Startwert gegeben ist, aber nach einem Prozentsatz gefragt wird, setze $\textcolor{#08BFFF}{I_0} = 100\,\%$.
2. Formel aufstellen: Schreibe die Grundformel auf: $\textcolor{#9570FF}{I_t} = \textcolor{#08BFFF}{I_0} \cdot 0{,}5^{\frac{\textcolor{#53E5D6}{t}}{\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}}}$
3. Werte einsetzen: Ersetze die Buchstaben durch deine Zahlen aus Schritt 1.
4. Ausrechnen und Antwortsatz: Tippe die Rechnung in den Taschenrechner ein. Achte darauf, den Bruch im Exponenten in Klammern zu setzen, falls dein Taschenrechner keine echten Brüche anzeigen kann. Formuliere am Ende einen klaren Antwortsatz.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Das Zerfallsgesetz hilft uns, die Restmenge oder Reststrahlung zu jedem beliebigen Zeitpunkt zu berechnen.
• Die Formel lautet: $\textcolor{#9570FF}{I_t} = \textcolor{#08BFFF}{I_0} \cdot 0{,}5^{\frac{\textcolor{#53E5D6}{t}}{\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}}}$
• Der Bruch im Exponenten ($\frac{\textcolor{#53E5D6}{t}}{\textcolor{#FF7D57}{T_{1/2}}}$) gibt einfach an, wie viele Halbwertszeiten in der vergangenen Zeit abgelaufen sind.
• Wenn in einer Aufgabe nach Prozenten gefragt wird und kein Startwert gegeben ist, rechne einfach mit $\textcolor{#08BFFF}{I_0} = 100\,\%$.