Selbstinduktion und Induktivität einfach erklärt: Formeln

Hast du schon einmal den Stecker eines laufenden Staubsaugers gezogen und dabei einen kleinen Blitz an der Steckdose gesehen?

Dieser Funke entsteht nicht durch Magie, sondern durch ein Phänomen, das wir als Selbstinduktion und Induktivität bezeichnen. In dieser Lektion lernen wir, warum Spulen sich gegen jede Veränderung wehren, wie wir dieses Verhalten mathematisch berechnen können und warum das einfache Ausschalten eines Geräts plötzlich extrem hohe Spannungen erzeugen kann!

Vorwissen

• Lenzsche Regel: Eine induzierte Spannung ist immer so gepolt, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt. Beispiel: Bewegt man einen Magneten in eine Spule, entsteht ein Magnetfeld, das den Magneten abstößt.
• Induktionsgesetz: Ändert sich der magnetische Fluss durch eine Spule, wird eine Spannung induziert. Beispiel: Ein rotierender Magnet vor einer Spule erzeugt eine Wechselspannung.
• Ohmsches Gesetz: Beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung, Widerstand und Stromstärke ($U = R \cdot I$). Beispiel: An einem $10 \Omega$ Widerstand fallen bei $2 \text{ A}$ genau $20 \text{ V}$ ab.

Aufgabentyp 1: Grundlagen und mathematische Analyse von Schaltkreisen

Wenn wir die Selbstinduktion und Induktivität untersuchen, betrachten wir oft das Verhalten von Spulen im Stromkreis. Wenn eine elektrische Stromstärke $\textcolor{#08BFFF}{I}$ durch eine Spule fließt, baut sie ein Magnetfeld auf. Wenn wir nun die Stromstärke erhöhen, wird auch das Magnetfeld stärker. Der magnetische Fluss ändert sich.

Nach dem Induktionsgesetz erzeugt diese Änderung eine Spannung in der Spule selbst. Dieses Phänomen nennen wir Selbstinduktion.

Nach der Lenzschen Regel wehrt sich die Spule gegen die Veränderung: Die induzierte Selbstinduktionsspannung $\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}}$ ist so gepolt, dass sie dem Anstieg der Stromstärke entgegenwirkt. Sie bremst den Strom quasi aus.

Wie stark sich eine Spule wehrt, hängt von ihrer Bauform ab. Diese Eigenschaft nennen wir Induktivität $L$. Für eine lange Spule berechnet sie sich aus ihren geometrischen Eigenschaften:

$L = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N^2 \cdot A}{l}$

Hierbei ist $N$ die Windungszahl, $A$ die Querschnittsfläche, $l$ die Länge und $\mu_0$ sowie $\mu_r$ sind die magnetischen Feldkonstanten. Die Einheit der Induktivität ist das Henry (H):

$[L] = 1 \frac{\text{V} \cdot \text{s}}{\text{A}} = 1 \text{ H}$

Der Merksatz für die Selbstinduktion lautet: Die induzierte Spannung ist proportional zur Änderungsrate der Stromstärke $\textcolor{#08BFFF}{\dot{I}(t)}$:

$\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}(t)} = -L \cdot \textcolor{#08BFFF}{\dot{I}(t)}$

Das Minuszeichen zeigt mathematisch, dass die Spannung der Änderung entgegenwirkt.

Weil die Selbstinduktion jede Änderung ausbremst, springt die Stromstärke beim Einschalten nicht sofort auf ihren Maximalwert. Sie steigt verzögert an. Genauso fällt sie beim Ausschalten nicht sofort auf null.

Der Einschaltvorgang:

Wenn wir eine Spule an eine Quellenspannung $U_1$ anschließen, gilt folgende Differentialgleichung:

$\textcolor{#08BFFF}{I(t)} \cdot R = U_1 - L \cdot \textcolor{#08BFFF}{\dot{I}(t)}$

Diese Gleichung besagt: Die Spannung, die den Strom durch den Widerstand treibt, ist die Quellenspannung abzüglich der bremsenden Wirkung der Spule. Die Lösung dieser Gleichung ist eine Exponentialfunktion, die den langsamen Anstieg beschreibt:

$\textcolor{#08BFFF}{I(t)} = \frac{U_1}{R} \cdot \left(1 - e^{-\frac{R}{L} \cdot t}\right)$

Die dabei induzierte Spannung nimmt mit der Zeit ab, je konstanter der Strom wird:

$\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}(t)} = -U_1 \cdot e^{-\frac{R}{L} \cdot t}$

Der Ausschaltvorgang:

Trennen wir die Spannungsquelle, fließt der Strom durch einen Überbrückungswiderstand weiter. Der Gesamtwiderstand ist nun $R_{\text{ges}} = R_1 + R_2$ (Spulenwiderstand + Überbrückungswiderstand). Die Differentialgleichung lautet nun:

$R_{\text{ges}} \cdot \textcolor{#08BFFF}{I(t)} = -L \cdot \textcolor{#08BFFF}{\dot{I}(t)}$

Die Stromstärke fällt exponentiell ab:

$\textcolor{#08BFFF}{I(t)} = \frac{U_1}{R_1} \cdot e^{-\frac{R_{\text{ges}}}{L} \cdot t}$

Die induzierte Spannung beim Ausschalten berechnet sich so:

$\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}(t)} = U_1 \cdot \frac{R_{\text{ges}}}{R_1} \cdot e^{-\frac{R_{\text{ges}}}{L} \cdot t}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Identifiziere den Vorgang: Bestimme, ob es sich um einen Einschaltvorgang oder einen Ausschaltvorgang handelt.
2. Notiere gegebene Werte: Schreibe Quellenspannung, Induktivität, Zeit und Widerstände auf. Berechne beim Ausschalten den Gesamtwiderstand.
3. Wähle die passende Formel: Nutze die korrekte Exponentialfunktion für das Ein- oder Ausschalten der Spule.
4. Setze Werte ein und rechne: Berechne zuerst den Exponenten separat, um Vorzeichenfehler im Taschenrechner zu vermeiden.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Hohe Induktionsspannungen beim Ausschalten

Ein weiterer wichtiger Aspekt der Selbstinduktion und Induktivität ist das Verhalten beim Ausschalten. Warum funkt es manchmal beim Steckerziehen? Das liegt an der extrem hohen Spannung, die beim Ausschalten entsteht.

Wenn wir den Schalter öffnen, versucht die Spule aufgrund der Selbstinduktion, die Stromstärke exakt aufrechtzuerhalten. Unmittelbar nach dem Öffnen (bei $t = 0 \text{ s}$) ist die e-Funktion $e^0 = 1$. Die Formel für die induzierte Spannung vereinfacht sich zu:

$\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}(0 \text{ s})} = U_1 \cdot \frac{R_{\text{ges}}}{R_1} \cdot e^{0} = U_1 \cdot \frac{R_{\text{ges}}}{R_1}$

Der Gesamtwiderstand $R_{\text{ges}}$ (Spule plus der riesige Widerstand der Luftstrecke am Schalter oder eines parallelen Bauteils) ist plötzlich viel größer als der normale Spulenwiderstand $R_1$.

Weil der Bruch $\frac{R_{\text{ges}}}{R_1}$ sehr groß ist, wird die induzierte Spannung $\textcolor{#9570FF}{U_{\text{ind}}}$ um ein Vielfaches größer als die ursprüngliche Quellenspannung $U_1$. Diese gewaltige Spannung kann die Luft ionisieren und einen Funken überspringen lassen!

Das Glimmlampen-Experiment

Zweck: Wir weisen nach, dass beim Ausschalten einer Spule eine Spannung entsteht, die viel höher ist als die Quellenspannung.

Materialien: Spule mit hoher Windungszahl, Gleichspannungsquelle ($6 \text{ V}$), Schalter, Glimmlampe (Zündspannung ca. $100 \text{ V}$), Kabel.

⚠️ Sicherheitshinweis: Die beim Ausschalten entstehenden Spannungen können gefährlich sein. Berühre beim Öffnen des Schalters keine blanken Kontakte.

Durchführung:

1. Schließe die Spule und den Schalter in Reihe an die Spannungsquelle an.
2. Schalte die Glimmlampe parallel zur Spule.
3. Schließe den Schalter und warte einen Moment.
4. Öffne den Schalter abrupt.

Beobachtung: Beim Schließen des Schalters bleibt die Glimmlampe dunkel. Unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters blitzt die Glimmlampe für einen kurzen Moment hell auf.

Erklärung: Die Quellenspannung von $6 \text{ V}$ reicht nicht aus, um die Lampe zu zünden. Beim Ausschalten wehrt sich die Spule gegen den plötzlichen Abfall der Stromstärke. Sie induziert eine Spannung, die kurzzeitig über $100 \text{ V}$ ansteigt. Diese hohe Selbstinduktionsspannung bringt die Glimmlampe zum Aufblitzen.

Wichtige Erkenntnisse

• Selbstinduktion: Eine Spule wehrt sich gegen jede Änderung der Stromstärke, indem sie eine Gegenspannung induziert.
• Verzögerung: Beim Einschalten steigt der Strom langsam an, beim Ausschalten fällt er langsam ab. Beide Vorgänge folgen Exponentialfunktionen.
• Induktivität $L$: Gibt an, wie stark dieser Effekt ist. Sie hängt von der Bauform der Spule ab (Einheit: Henry).
• Gefahr beim Ausschalten: Wird ein Stromkreis mit einer Spule unterbrochen, können extrem hohe Induktionsspannungen entstehen, die Funken verursachen.