Gleichwertige Brüche einfach erklärt: Erweitern & Kürzen

Stell dir vor, du hast eine Tafel Schokolade. Du kannst sie in $2$ große Stücke brechen und ein Stück essen. Oder du brichst sie in $4$ kleinere Stücke und isst zwei davon. In beiden Fällen hast du genau gleich viel Schokolade gegessen!

In der Mathematik nennen wir das gleichwertige Brüche. Obwohl die Zahlen anders aussehen, beschreiben $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ genau denselben Anteil.

Heute lernen wir, wie man Brüche so verändert, dass sie andere Zahlen bekommen, aber ihr Wert immer exakt gleich bleibt. Das ist wie ein mathematischer Zaubertrick, den du für viele Aufgaben brauchen wirst!

Vorwissen

• Zähler und Nenner: Bei einem Bruch steht der Zähler oben und der Nenner unten. Beispiel: Bei dem Bruch $\frac{3}{4}$ ist $3$ der Zähler und $4$ der Nenner.
• Multiplizieren und Dividieren: Du solltest das kleine Einmaleins sicher beherrschen.

Aufgabentyp 1: Die Erweiterungszahl finden

Manchmal hast du zwei Brüche, die gleichwertig sind, und du möchtest herausfinden, wie man vom ersten zum zweiten Bruch gekommen ist.

Wenn aus kleinen Zahlen größere Zahlen werden, wurde der Bruch erweitert. Das bedeutet, der Zähler und der Nenner wurden mit derselben geheimen Zahl multipliziert. Diese Zahl nennen wir die Erweiterungszahl.

Um diese Erweiterungszahl zu finden, machen wir einfach das Gegenteil: Wir teilen! Du nimmst den neuen Zähler und teilst ihn durch den alten Zähler.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an: $\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$

Wir vergleichen die Zähler (die oberen Zahlen):

$12 : 3 = \textcolor{#08BFFF}{4}$

Zur Sicherheit können wir auch die Nenner (die unteren Zahlen) vergleichen:

$28 : 7 = \textcolor{#08BFFF}{4}$

Beide Rechnungen ergeben $\textcolor{#08BFFF}{4}$. Der Bruch wurde also mit der Zahl $\textcolor{#08BFFF}{4}$ erweitert.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Einen Bruch mit einer Zahl erweitern

Jetzt drehen wir den Spieß um. Wenn du einen Bruch und eine Erweiterungszahl gegeben hast, kannst du den neuen Bruch ganz einfach selbst berechnen.

Die wichtigste Regel bei Brüchen lautet: Was du oben machst, musst du auch unten machen!

Um einen Bruch zu erweitern, multiplizierst du einfach den Zähler und den Nenner mit der vorgegebenen Erweiterungszahl. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, er wird nur in kleinere Stücke unterteilt.

Wenn wir zum Beispiel den Bruch $\frac{4}{7}$ mit der Zahl $\textcolor{#08BFFF}{5}$ erweitern sollen, rechnen wir:

$\frac{4 \cdot \textcolor{#08BFFF}{5}}{7 \cdot \textcolor{#08BFFF}{5}} = \frac{20}{35}$

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Einen Bruch mit einer Zahl kürzen

Das Gegenteil vom Erweitern ist das Kürzen. Beim Kürzen machen wir die Zahlen im Bruch kleiner, aber der Wert des Bruches bleibt wieder genau gleich. Stell dir vor, du klebst kleine Schokoladenstücke wieder zu größeren Stücken zusammen.

Anstatt zu multiplizieren, teilen wir beim Kürzen. Auch hier gilt die goldene Regel: Was du oben machst, musst du auch unten machen!

Um einen Bruch zu kürzen, teilst du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Kürzungszahl.

Wenn wir zum Beispiel den Bruch $\frac{24}{56}$ mit der Zahl $\textcolor{#08BFFF}{8}$ kürzen sollen, rechnen wir:

$\frac{24 : \textcolor{#08BFFF}{8}}{56 : \textcolor{#08BFFF}{8}} = \frac{3}{7}$

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 4: Einen fehlenden Wert berechnen

Oft begegnen dir Aufgaben, die wie ein kleines Puzzle aussehen. Du hast zwei gleichwertige Brüche, aber eine Zahl fehlt und wird durch einen Platzhalter (wie ein Kästchen $\square$) dargestellt.

Zum Beispiel: $\frac{2}{9} = \frac{\square}{45}$

Um dieses Puzzle zu lösen, kombinieren wir das, was wir gerade gelernt haben. Wir suchen zuerst die geheime Zahl, mit der erweitert oder gekürzt wurde, und wenden sie dann auf die fehlende Seite an.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Das vollständige Paar finden: Schau dir die Brüche an. Hast du beide Zähler (oben) oder beide Nenner (unten) gegeben? Konzentriere dich auf das Paar, bei dem beide Zahlen bekannt sind.
2. Die geheime Zahl berechnen: Teile die größere Zahl des Paares durch die kleinere Zahl. So findest du heraus, mit welcher Zahl erweitert oder gekürzt wurde.
3. Den fehlenden Wert berechnen: Nimm die Zahl auf der anderen Seite des Bruchs (wo das Kästchen ist). Wenn der Bruch erweitert wurde (die Zahlen werden größer), multipliziere sie mit deiner geheimen Zahl. Wenn der Bruch gekürzt wurde (die Zahlen werden kleiner), teile sie durch deine geheime Zahl.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.
• Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl geteilt.
• Die goldene Regel: Was du oben (beim Zähler) machst, musst du auch unten (beim Nenner) machen!
• Der Wert des Bruches ändert sich beim Erweitern und Kürzen nicht. Es ist immer noch derselbe Anteil.