Rechnen mit Bruchteilen und Ganzen einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, deine Klasse gewinnt bei einem Wettbewerb $120 \text{ €}$ für die Klassenkasse. Ihr beschließt, $\frac{2}{3}$ des Geldes für einen Ausflug auszugeben. Aber wie viel Geld ist das genau in Euro? Das Rechnen mit Bruchteilen und Ganzen begegnet uns oft im Alltag, zum Beispiel zusammen mit Einheiten wie Euro, Metern oder Kilogramm. In diesem Artikel lernst du, wie du ganz einfach berechnen kannst, wie groß ein bestimmter Bruchteil von einer Menge ist und wie du das Ganze herausfindest, wenn du nur einen Teil kennst.

Vorwissen

• Zähler und Nenner: Bei einem Bruch steht der Zähler oben und der Nenner unten.

  Beispiel: Bei $\frac{3}{4}$ ist $3$ der Zähler und $4$ der Nenner.

• Bedeutung des Bruchs: Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile wir nehmen.

  Beispiel: $\frac{3}{4}$ einer Pizza bedeutet, die Pizza wird in $4$ Stücke geschnitten und wir nehmen $3$ davon.

Aufgabentyp 1: Einen Bruchteil von einem Ganzen berechnen

Beim Rechnen mit Bruchteilen und Ganzen wollen wir oft einen bestimmten Anteil ermitteln. Wenn wir einen Bruchteil von einer bestimmten Menge berechnen wollen, gehen wir in zwei logischen Schritten vor. Nehmen wir an, wir wollen $\frac{\textcolor{#9570FF}{2}}{\textcolor{#08BFFF}{3}}$ von $12 \text{ €}$ berechnen.

Zuerst müssen wir herausfinden, wie viel ein einzelner Teil wert ist. Dafür teilen wir die gesamte Menge durch den Nenner (die untere Zahl). Der Nenner sagt uns schließlich, in wie viele gleich große Stücke wir das Ganze aufteilen.

$12 \text{ €} : \textcolor{#08BFFF}{3} = 4 \text{ €}$

Jetzt wissen wir, dass ein Drittel ($\frac{1}{3}$) genau $4 \text{ €}$ entspricht.

Da unser Bruch aber $\frac{\textcolor{#9570FF}{2}}{3}$ ist, wollen wir nicht nur einen, sondern zwei Teile haben. Deshalb multiplizieren wir unser Zwischenergebnis nun mit dem Zähler (der oberen Zahl).

$4 \text{ €} \cdot \textcolor{#9570FF}{2} = 8 \text{ €}$

Der Wert von $\frac{2}{3}$ von $12 \text{ €}$ ist also $8 \text{ €}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Durch den Nenner teilen: Teile die Gesamtmenge durch den Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich). So berechnest du den Wert für genau einen Teil.
2. Mit dem Zähler multiplizieren: Multipliziere das Ergebnis aus Schritt 1 mit dem Zähler (der Zahl über dem Bruchstrich). Das liefert dir den endgültigen Wert für den gesuchten Bruchteil.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Das Ganze aus einem Stammbruch berechnen

Manchmal kennen wir nicht das Ganze, sondern nur einen kleinen Teil davon. Ein Stammbruch ist ein Bruch, der eine $1$ im Zähler hat (wie $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ oder $\frac{1}{10}$).

Stell dir vor, du weißt: $\frac{1}{\textcolor{#08BFFF}{4}}$ einer Strecke sind $5 \text{ km}$. Wie lang ist die gesamte Strecke?

Das Ganze besteht immer aus allen Teilen zusammen. Wenn die Strecke in $4$ Teile geteilt wurde (das sagt uns der Nenner), dann besteht die gesamte Strecke aus $4$ solchen Teilen.

Um das Ganze zu berechnen, müssen wir also nur den Wert des einen Teils nehmen und ihn mit dem Nenner multiplizieren:

$5 \text{ km} \cdot \textcolor{#08BFFF}{4} = 20 \text{ km}$

Die gesamte Strecke ist also $20 \text{ km}$ lang.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Den Wert des Teils ablesen: Finde heraus, welchen Wert der eine Teil (der Stammbruch) hat.
2. Mit dem Nenner multiplizieren: Multipliziere diesen Wert mit dem Nenner des Bruchs. Da der Nenner angibt, aus wie vielen Teilen das Ganze besteht, erhältst du so die Gesamtmenge.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Bruchteil berechnen: Teile die Gesamtmenge durch den Nenner und multipliziere das Ergebnis mit dem Zähler.
• Ganzes berechnen: Wenn du den Wert für einen Teil (Stammbruch) kennst, multipliziere diesen Wert einfach mit dem Nenner, um das Ganze zu erhalten.
• Einheiten nicht vergessen: Schreibe Einheiten wie $\text{€}$, $\text{kg}$ oder $\text{m}$ bei jedem Rechenschritt immer mit auf!