Anwendung des Satzes von Pythagoras einfach erklärt

Stell dir vor, du spielst ein Videospiel und schaust auf die Karte. Dein Charakter steht an Punkt A und der Schatz liegt an Punkt B. Wenn du genau nach rechts oder genau nach oben läufst, kannst du die Schritte einfach zählen. Aber was ist, wenn der Schatz schräg gegenüber liegt? Wie lang ist der direkte Weg in der Luftlinie? Genau hier hilft uns eine wichtige Anwendung des Satzes von Pythagoras! Auch wenn wir schräge Linien im Koordinatensystem nicht einfach abzählen können, können wir uns unsichtbare Hilfslinien zeichnen. So bauen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck und können den direkten Weg ganz einfach mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Vorwissen

• Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die beiden kurzen Seiten (Katheten $a$ und $b$) und die längste Seite (Hypotenuse $c$): $a^2 + b^2 = c^2$. Beispiel: Wenn $a = 3$ und $b = 4$ ist, dann ist $3^2 + 4^2 = c^2$, also $9 + 16 = 25$. Die Wurzel aus $25$ ist $5$, also ist $c = 5$.
• Das Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer mit einem x-Wert (links/rechts) und einem y-Wert (unten/oben) angegeben: $P(x|y)$. Beispiel: Der Punkt $P(2|5)$ liegt auf der x-Achse bei $2$ und auf der y-Achse bei $5$.

Aufgabentyp 1: Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

Die häufigste Anwendung des Satzes von Pythagoras ist die Abstandsberechnung. Wenn wir zwei Punkte in einem Koordinatensystem haben, ist die direkte Verbindungslinie oft schräg. Schräge Linien können wir auf den Kästchen nicht einfach abzählen. Aber wir können einen Trick anwenden: Wir zeichnen uns ein rechtwinkliges Dreieck!

Dazu zeichnen wir von einem Punkt eine waagerechte Linie und vom anderen Punkt eine senkrechte Linie. Dort, wo sie sich treffen, entsteht automatisch ein rechter Winkel.

Jetzt haben wir ein Dreieck, bei dem wir den Satz des Pythagoras anwenden können:

• Die waagerechte und die senkrechte Linie sind unsere Katheten ($a$ und $b$). Ihre Länge können wir ganz einfach berechnen, indem wir die Koordinaten voneinander abziehen.
• Der schräge Abstand zwischen den Punkten ist unsere Hypotenuse ($c$). Das ist die Seite, die wir berechnen wollen!

Um die Länge der waagerechten Seite zu finden, berechnen wir den Unterschied der x-Werte: $\textcolor{#08BFFF}{|x_2 - x_1|}$.

Um die Länge der senkrechten Seite zu finden, berechnen wir den Unterschied der y-Werte: $\textcolor{#08BFFF}{|y_2 - y_1|}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Dreieck konstruieren – Stelle dir die Punkte vor. Bilde ein rechtwinkliges Dreieck durch eine waagerechte und senkrechte Hilfslinie. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse $c$.
2. Schritt 2: Längen der Katheten berechnen – Berechne die Längen der beiden Hilfslinien (Katheten $a$ und $b$): Ziehe dafür die x-Werte und die y-Werte der Punkte jeweils voneinander ab.
3. Schritt 3: Pythagoras aufstellen – Setze die beiden berechneten Längen für $a$ und $b$ in die Formel ein: $a^2 + b^2 = c^2$.
4. Schritt 4: Gleichung lösen – Rechne die linke Seite aus und ziehe am Ende die Wurzel, um die Länge der Hypotenuse $c$ (den Abstand) zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Berechne den Abstand zwischen dem Punkt $P(1|2)$ und dem Punkt $Q(6|14)$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Dreieck konstruieren

   Wir stellen uns ein rechtwinkliges Dreieck vor. Die schräge Verbindungslinie zwischen $P$ und $Q$ ist unsere gesuchte Hypotenuse $c$.

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   Schritt 2
   Längen der Katheten berechnen

   Wir berechnen die Längen der waagerechten Seite $a$ und der senkrechten Seite $b$ durch den Unterschied der Koordinaten:

   • Waagerechte Seite $a$ (x-Werte): $6 - 1 = 5$
   • Senkrechte Seite $b$ (y-Werte): $14 - 2 = 12$

   Unsere beiden Katheten sind also $5$ und $12$ lang.

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   Schritt 3
   Pythagoras aufstellen

   Wir setzen die Werte in den Satz des Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) ein:

   $5^2 + 12^2 = c^2$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir rechnen die Quadrate aus:

   $25 + 144 = c^2$

   $169 = c^2$

   Nun ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten:

   $\sqrt{169} = c$

   $13 = c$

Ergebnis:

Der Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q$ beträgt $13$ Längeneinheiten.

Wichtige Erkenntnisse

• Um den schrägen Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, baust du dir immer ein rechtwinkliges Dreieck.
• Der gesuchte Abstand ist immer die Hypotenuse ($c$).
• Die Längen der Katheten ($a$ und $b$) findest du heraus, indem du die x-Werte und die y-Werte der beiden Punkte voneinander abziehst.