Satz des Pythagoras: Figuren berechnen einfach erklärt

Stell dir vor, du bist Architekt und entwirfst ein modernes Haus. Das Dach hat die Form eines Trapezes und in der Mitte der Fassade planst du ein riesiges, rundes Fenster. Um die passenden Glasscheiben und Holzbalken zu bestellen, musst du die genauen Längen kennen. Aber wie berechnet man Längen in Figuren, die gar keine einfachen Rechtecke sind?

Genau hier kommt dein bestes Werkzeug zum Einsatz: Der Satz des Pythagoras an Figuren! Auch wenn ein Trapez oder ein Kreis auf den ersten Blick keine rechten Winkel haben, können wir mit ein paar cleveren Linien versteckte rechtwinklige Dreiecke erschaffen. Lass uns herausfinden, wie dieser Trick funktioniert.

Vorwissen

• Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$ (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) immer: $a^2 + b^2 = c^2$.

  Beispiel: Sind die Katheten $3 \text{ cm}$ und $4 \text{ cm}$ lang, gilt $3^2 + 4^2 = c^2$, also $9 + 16 = 25$. Die Hypotenuse ist somit $5 \text{ cm}$ lang.

• Gleichungen lösen (Wurzelziehen): Wenn du $x^2 = 25$ löst, gibt es mathematisch zwei Lösungen ($5$ und $-5$).

  Beispiel: Da es in der Geometrie keine negativen Längen gibt, ist die einzige sinnvolle Lösung immer die positive Zahl, also $x = 5$.

Aufgabentyp 1: Berechnungen im Trapez

Ein normales Trapez hat schräge Seiten und oft keine rechten Winkel. Um den Satz des Pythagoras nutzen zu können, müssen wir das Trapez in einfachere Formen zerlegen.

Das machen wir, indem wir die Höhe des Trapezes einzeichnen. Wenn wir von den beiden oberen Ecken gerade nach unten zeichnen, schneiden wir das Trapez in drei Teile: Ein Rechteck in der Mitte und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten.

In einem gleichschenkligen Trapez (wo die linke und rechte schräge Seite gleich lang sind) sind diese beiden Dreiecke exakt gleich groß. Nun können wir den Satz des Pythagoras in einem dieser Dreiecke anwenden, um fehlende Längen wie die $\textcolor{#08BFFF}{\text{Höhe } h}$ oder die schrägen Seiten zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Trapez zerlegen: Zeichne die Höhen von den oberen Ecken ein, um rechtwinklige Dreiecke an den Rändern zu erschaffen.
2. Grundseite des Dreiecks berechnen: Nutze die Längen der oberen und unteren Seite des Trapezes, um die kurze untere Seite des Dreiecks zu finden. Ziehe die obere Seite von der unteren Seite ab und teile das Ergebnis durch 2 (bei einem gleichschenkligen Trapez).
3. Pythagoras anwenden: Stelle die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ für das kleine Dreieck auf, setze die bekannten Werte ein und löse nach der gesuchten Seite auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein gleichschenkliges Trapez hat eine obere Seite von $10 \text{ cm}$ und eine untere Seite von $22 \text{ cm}$. Die schrägen Seiten sind jeweils $10 \text{ cm}$ lang. Berechne die Höhe $h$ des Trapezes.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Trapez zerlegen

   Wir zeichnen die beiden Höhen ein. Dadurch entsteht in der Mitte ein Rechteck und an den Seiten entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.

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   Schritt 2
   Grundseite des Dreiecks berechnen

   Das Rechteck in der Mitte ist unten genau so lang wie oben, also $10 \text{ cm}$. Die restliche Länge der unteren Seite verteilt sich gleichmäßig auf die beiden Dreiecke:

   $22 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$

   Da es zwei Dreiecke sind, teilen wir durch 2:

   $12 \text{ cm} \div 2 = 6 \text{ cm}$

   Die untere Seite unseres rechtwinkligen Dreiecks ist also $6 \text{ cm}$ lang.

   

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Pythagoras anwenden

   Wir betrachten das rechte Dreieck. Die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel) ist die schräge Seite mit $10 \text{ cm}$. Die Katheten sind $6 \text{ cm}$ und die gesuchte $\textcolor{#08BFFF}{\text{Höhe } h}$.

   Wir stellen den Satz des Pythagoras auf:

   $(6 \text{ cm})^2 + \textcolor{#08BFFF}{h}^2 = (10 \text{ cm})^2$

   $36 \text{ cm}^2 + \textcolor{#08BFFF}{h}^2 = 100 \text{ cm}^2$

   Wir ziehen auf beiden Seiten $36 \text{ cm}^2$ ab:

   $\textcolor{#08BFFF}{h}^2 = 64 \text{ cm}^2$

   Nun ziehen wir die Wurzel. Da Längen immer positiv sind, erhalten wir:

   $\textcolor{#08BFFF}{h} = 8 \text{ cm}$

Ergebnis:

Die Höhe $h$ des Trapezes beträgt $8 \text{ cm}$.

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Aufgabentyp 2: Berechnungen im Kreis

Ein Kreis hat gar keine Ecken. Wie sollen wir hier ein rechtwinkliges Dreieck finden? Der Trick liegt in den Eigenschaften des Kreises.

Wenn wir eine gerade Linie durch den Kreis ziehen, die nicht durch den Mittelpunkt geht, nennt man das eine Sehne. Wenn wir nun den kürzesten Abstand vom Mittelpunkt zu dieser Sehne messen, trifft diese Abstandslinie immer in einem perfekten $90^\circ$-Winkel auf die Sehne und teilt sie genau in der Mitte.

Wenn wir jetzt noch den Mittelpunkt mit dem Ende der Sehne verbinden, haben wir den Radius eingezeichnet. Und schon ist unser rechtwinkliges Dreieck fertig! Es besteht immer aus:

1. Dem Radius (das ist immer die Hypotenuse).
2. Dem Abstand zum Mittelpunkt (eine Kathete).
3. Der halben Sehne (die andere Kathete).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Dreieck identifizieren: Skizziere den Kreis. Zeichne den Radius, die Sehne und den Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne ein.
2. Halbe Sehne berechnen: Achtung, Stolperfalle! Für das Dreieck brauchst du nur die Hälfte der Sehne. Teile die Länge der Sehne also durch 2.
3. Pythagoras anwenden: Stelle die Gleichung auf. Denke daran: Der Radius ist immer die längste Seite (Hypotenuse) und steht alleine auf einer Seite der Gleichung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Kreis hat einen Radius von $13 \text{ cm}$. In diesem Kreis liegt eine Sehne mit einer Länge von $24 \text{ cm}$. Berechne den Abstand $d$ vom Mittelpunkt zur Sehne.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Dreieck identifizieren und Sehne halbieren

   Wir konstruieren unser rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist der Radius ($13 \text{ cm}$). Die eine Kathete ist der gesuchte Abstand $\textcolor{#9570FF}{d}$. Die andere Kathete ist genau die Hälfte der Sehne:

   $24 \text{ cm} \div 2 = 12 \text{ cm}$

   

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Pythagoras anwenden

   Wir stellen die Gleichung auf. Der Radius ($13 \text{ cm}$) ist die Hypotenuse und steht alleine:

   $\textcolor{#9570FF}{d}^2 + (12 \text{ cm})^2 = (13 \text{ cm})^2$

   $\textcolor{#9570FF}{d}^2 + 144 \text{ cm}^2 = 169 \text{ cm}^2$

   Wir ziehen auf beiden Seiten $144 \text{ cm}^2$ ab:

   $\textcolor{#9570FF}{d}^2 = 25 \text{ cm}^2$

   Wir ziehen die Wurzel (und nehmen das positive Ergebnis):

   $\textcolor{#9570FF}{d} = 5 \text{ cm}$

Ergebnis:

Der Abstand $d$ vom Mittelpunkt zur Sehne beträgt $5 \text{ cm}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Trapez: Zeichne die Höhen ein, um das Trapez in ein Rechteck und rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen.
• Kreis: Der Radius, der Abstand zum Mittelpunkt und die halbe Sehne bilden immer ein rechtwinkliges Dreieck.
• Hypotenuse finden: Die längste Seite (Hypotenuse) liegt immer genau gegenüber vom rechten Winkel. Im Kreis ist das immer der Radius.