Extremwertprobleme bei quadratischen Funktionen einfach erklärt

Stell dir vor, du hast genau $20 \text{ m}$ Zaun gekauft, um ein rechteckiges Gehege für dein Kaninchen zu bauen. Du möchtest natürlich, dass dein Kaninchen so viel Platz wie möglich hat.

Man könnte ein langes, schmales Gehege bauen (z. B. $9 \text{ m}$ lang und $1 \text{ m}$ breit). Oder man baut ein quadratisches Gehege (z. B. $5 \text{ m}$ lang und $5 \text{ m}$ breit). Obwohl du in beiden Fällen genau $20 \text{ m}$ Zaun verbrauchst, ist die Fläche im Quadrat viel größer!

Aber woher wissen wir, ob das wirklich die allergrößte Fläche ist? In der Mathematik nennen wir die Suche nach dem absolut Größten (Maximum) oder Kleinsten (Minimum) ein Extremwertproblem. Mit Hilfe von quadratischen Funktionen können wir den perfekten Wert exakt berechnen, ohne raten zu müssen!

Schnellantwort

Ein Extremwertproblem ist die mathematische Suche nach dem absolut größten (Maximum) oder kleinsten (Minimum) Wert einer Situation. Bei quadratischen Funktionen entspricht dieser Extremwert immer dem Scheitelpunkt der Parabel. Du nutzt eine Zielfunktion und eine Nebenbedingung, um diesen optimalen Wert exakt zu berechnen.

Vorwissen

• Die Mitternachtsformel: Mit dieser Formel berechnest du die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$. Beispiel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• Scheitelpunkt und Nullstellen: Die x-Koordinate des höchsten oder tiefsten Punktes einer Parabel (des Scheitelpunkts) liegt immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Beispiel: Wenn eine Parabel die x-Achse bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 10$ schneidet, dann liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte bei $x_S = 5$.

Aufgabentyp 1: Extremwertprobleme lösen

Bei einem Extremwertproblem suchen wir immer nach einem Maximum (dem größten Wert) oder einem Minimum (dem kleinsten Wert). Um das mathematisch zu lösen, müssen wir den Text in zwei wichtige Bausteine übersetzen:

1. Die Zielfunktion (Das Ziel) Das ist die Formel für das, was am größten oder kleinsten werden soll. Bei unserem Kaninchengehege wollen wir die Fläche maximieren. Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus Länge mal Breite. Unser Ziel ist also:

$\textcolor{#08BFFF}{A(x, y) = x \cdot y}$

2. Die Nebenbedingung (Die Regel) Das ist unsere Einschränkung. Wir können das Gehege nicht unendlich groß bauen, weil wir nur $20 \text{ m}$ Zaun haben. Der Umfang (alle vier Seiten zusammen) darf also nur $20$ sein. Unsere Regel ist:

$\textcolor{#9570FF}{2x + 2y = 20}$

Das Problem: Unsere Zielfunktion hat zwei verschiedene Variablen ($x$ und $y$). So können wir sie nicht berechnen.

Die Lösung: Wir formen die Nebenbedingung so um, dass eine Variable alleine steht (z. B. $y = ...$). Dann setzen wir dieses $y$ in unsere Zielfunktion ein. Plötzlich verschwindet das $y$ und wir erhalten eine ganz normale quadratische Funktion mit nur einer Variablen!

Wenn wir diese quadratische Funktion zeichnen würden, ergäbe sie eine Parabel. Der höchste Punkt dieser Parabel (der Scheitelpunkt) ist genau das Maximum, das wir suchen!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Hinweis: Bei manchen Aufgaben ist die quadratische Funktion bereits fertig vorgegeben. In diesem Fall kannst du direkt zu Schritt 4 springen!

1. Schritt 1: Zielfunktion aufstellen – Finde heraus, was maximiert oder minimiert werden soll (z. B. Fläche, Volumen, Produkt). Stelle dafür eine Formel auf. Diese Formel hat meistens zwei Variablen.
2. Schritt 2: Nebenbedingung aufstellen und umstellen – Finde die Einschränkung im Text (z. B. eine vorgegebene Länge oder Summe). Stelle die Gleichung auf und löse sie nach einer der beiden Variablen auf.
3. Schritt 3: Einsetzen – Setze die umgestellte Nebenbedingung aus Schritt 2 in die Zielfunktion aus Schritt 1 ein. Multipliziere alles aus. Du erhältst nun eine quadratische Funktion, die nur noch eine einzige Variable hat.
4. Schritt 4: Extremwert (Scheitelpunkt) berechnen – Setze die neue quadratische Funktion gleich $0$ und berechne die Nullstellen (z. B. mit der Mitternachtsformel). Berechne genau die Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Das ist der x-Wert deines Scheitelpunkts. (Wichtig: Dieses Verfahren funktioniert nur, wenn die Funktion überhaupt Nullstellen besitzt. Ansonsten musst du ein allgemeingültiges Verfahren wie die Scheitelpunktform nutzen). Setze diesen x-Wert in die Funktion ein, um das endgültige Maximum oder Minimum zu finden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

[Real-World Context] Die Flugbahn eines Balls, der aus einem Fenster geworfen wird, kann annähernd als nach unten geöffnete Parabel mit der Funktion $f(x) = -0{,}005x^2 + 0{,}2x + 3$ beschrieben werden. Dabei entspricht $x$ (in $\text{m}$) der horizontalen Entfernung des Balls und $f(x)$ (in $\text{m}$) der Höhe des Balls.

Bestimme die maximale Höhe des Balls.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Entfällt

   Die Zielfunktion ist bereits fertig als $f(x) = -0{,}005x^2 + 0{,}2x + 3$ gegeben. Es gibt keine Nebenbedingung, die wir einsetzen müssen. Die Schritte 1 bis 3 entfallen daher und wir können direkt den Scheitelpunkt berechnen.

2. 2
   Schritt 4 · Ergebnis
   Extremwert (Scheitelpunkt) berechnen

   Um den Scheitelpunkt zu finden, berechnen wir zuerst die Nullstellen. Wir setzen die Funktion gleich $0$:

   $-0{,}005x^2 + 0{,}2x + 3 = 0$

   Wir nutzen die Mitternachtsformel mit $a = -0{,}005$, $b = 0{,}2$ und $c = 3$:

   $x_{1,2} = \frac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}2^2 - 4 \cdot (-0{,}005) \cdot 3}}{2 \cdot (-0{,}005)}$

   $x_{1,2} = \frac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}04 + 0{,}06}}{-0{,}01}$

   $x_{1,2} = \frac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}1}}{-0{,}01}$

   Nun berechnen wir die beiden Lösungen (wir runden auf zwei Nachkommastellen):

   $x_1 = \frac{-0{,}2 - \sqrt{0{,}1}}{-0{,}01} \approx 51{,}62$

   $x_2 = \frac{-0{,}2 + \sqrt{0{,}1}}{-0{,}01} \approx -11{,}62$

   Der x-Wert des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen:

   $x_S = \frac{51{,}62 + (-11{,}62)}{2} = \frac{40}{2} = 20$

   Der Ball erreicht seine höchste Stelle also nach $20 \text{ m}$ horizontaler Entfernung. Um die tatsächliche Höhe zu finden, setzen wir diese $20$ in unsere ursprüngliche Funktion ein:

   $f(20) = -0{,}005 \cdot (20)^2 + 0{,}2 \cdot 20 + 3$

   $f(20) = -0{,}005 \cdot 400 + 4 + 3$

   $f(20) = -2 + 4 + 3 = 5$

Ergebnis:

Die maximale Höhe des Balls beträgt $5 \text{ m}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Extremwertproblem sucht nach dem größtmöglichen (Maximum) oder kleinstmöglichen (Minimum) Wert.
• Die Zielfunktion beschreibt, was maximiert oder minimiert werden soll. Die Nebenbedingung ist die Einschränkung oder Regel aus dem Text.
• Bei quadratischen Funktionen ist der Extremwert immer der Scheitelpunkt der Parabel.
• Hat eine Parabel Nullstellen, so liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts immer genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen.