Modellieren von quadratischen Gleichungen einfach erklärt

Beim Modellieren von quadratischen Gleichungen geht es darum, reale Kurven mathematisch zu beschreiben. Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in den Korb. Die Flugbahn des Balls ist eine perfekte Kurve – eine Parabel! Wenn Programmierer ein realistisches Videospiel entwickeln wollen, müssen sie dem Computer genau sagen, wie diese Kurve aussieht.

Dafür brauchen sie die exakte mathematische Gleichung der Flugbahn. In diesem Artikel lernst du, wie du aus nur wenigen bekannten Punkten die genaue Funktionsgleichung einer Parabel aufstellst. So wirst du quasi zum Architekten von Parabeln!

Schnellantwort

Beim Modellieren von quadratischen Gleichungen stellst du aus wenigen bekannten Punkten die genaue Funktionsgleichung einer Parabel auf. Du nutzt dafür entweder die Scheitelpunktform oder die allgemeine Form und berechnest durch das Einsetzen von Punkten die fehlenden Variablen.

Vorwissen

• Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2 + e$ Beispiel: Die Funktion $f(x) = 2(x-3)^2 + 4$ hat den Scheitelpunkt $S(3|4)$ und den Streckfaktor $a=2$.
• Allgemeine Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Beispiel: $f(x) = 2x^2 - x + 3$
• Punkte einsetzen (Punktprobe): Wenn ein Punkt $P(x|y)$ auf der Parabel liegt, darf man seine Koordinaten in die Gleichung einsetzen. Beispiel: Für den Punkt $P(1|5)$ und die Funktion $f(x) = 2x + 3$ rechnet man $2 \cdot 1 + 3 = 5$.

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichung aus Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt

Wenn wir den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel (den Scheitelpunkt) kennen, ist das schon die halbe Miete. Wir nutzt dafür die Scheitelpunktform $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{a}(x-\textcolor{#9570FF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$.

Wir können die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(\textcolor{#9570FF}{d}|\textcolor{#9570FF}{e})$ direkt in die Formel einsetzen. Das Einzige, was dann noch fehlt, ist der Streckfaktor $\textcolor{#08BFFF}{a}$.

Um diesen herauszufinden, nehmen wir einen zweiten bekannten Punkt $P(\textcolor{#53E5D6}{x}|\textcolor{#53E5D6}{y})$ auf der Parabel und setzen seine Koordinaten für $x$ und $f(x)$ ein. Dadurch entsteht eine einfache Gleichung, die wir nach $\textcolor{#08BFFF}{a}$ auflösen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Scheitelpunkt einsetzen: Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(\textcolor{#9570FF}{d}|\textcolor{#9570FF}{e})$ in die Formel $f(x) = a(x-\textcolor{#9570FF}{d})^2 + \textcolor{#9570FF}{e}$ ein.
2. Zweiten Punkt einsetzen: Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $P(\textcolor{#53E5D6}{x}|\textcolor{#53E5D6}{y})$ in die Gleichung ein. Ersetze dabei $f(x)$ durch den $y$-Wert und $x$ durch den $x$-Wert.
3. Nach dem Streckfaktor auflösen: Löse die entstandene Gleichung Schritt für Schritt nach der Unbekannten $a$ auf.
4. Funktionsgleichung notieren: Setze den berechneten Wert für $a$ sowie den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Funktionsgleichung aus Streckfaktor und zwei Punkten

Manchmal kennen wir den Scheitelpunkt nicht. Stattdessen wissen wir, wie gestaucht oder gestreckt die Parabel ist (wir kennen also den Streckfaktor $\textcolor{#08BFFF}{a}$) und wir kennen zwei beliebige Punkte auf der Kurve.

In diesem Fall nutzen wir die allgemeine Form $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{a}x^2 + bx + c$.

Wenn wir $\textcolor{#08BFFF}{a}$ einsetzen, fehlen uns noch die Zahlen für $b$ und $c$. Um diese zwei Unbekannten zu finden, setzen wir unsere beiden Punkte nacheinander in die Gleichung ein. So erhalten wir zwei verschiedene Gleichungen. Diese bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem (LGS), das wir lösen können!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Streckfaktor einsetzen: Setze den bekannten Streckfaktor $\textcolor{#08BFFF}{a}$ in die allgemeine Form $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{a}x^2 + bx + c$ ein.
2. Beide Punkte einsetzen: Setze den ersten Punkt für $x$ und $f(x)$ ein, um Gleichung (I) zu erhalten. Setze danach den zweiten Punkt ein, um Gleichung (II) zu erhalten.
3. LGS lösen: Löse das Gleichungssystem. Ein guter Weg ist das Einsetzungsverfahren: Forme eine Gleichung nach $c$ um und setze das Ergebnis in die andere Gleichung ein. So kannst du $b$ berechnen. Setze danach $b$ ein, um $c$ zu finden.
4. Funktionsgleichung notieren: Setze die gefundenen Werte für $a$, $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, starte immer mit der Scheitelpunktform.
• Wenn der Streckfaktor und zwei Punkte gegeben sind, nutze die allgemeine Form und stelle ein Gleichungssystem auf.
• Das Einsetzen von Punkten (die Punktprobe) ist dein wichtigstes Werkzeug, um fehlende Variablen wie $a$, $b$ oder $c$ zu berechnen!