Flächeninhalte vergleichen und konstruieren einfach erklärt

Stell dir vor, du hast ein rechteckiges Stück Schokolade. Wenn du eine Ecke abschneidest und sie an die andere Seite klebst, hast du immer noch genau gleich viel Schokolade zum Essen! Die Form hat sich verändert, aber die Menge bleibt gleich. Genau dieses Prinzip nutzen wir in der Geometrie, wenn wir Flächeninhalte vergleichen und konstruieren. Wir lernen, wie wir schräge Figuren wie Parallelogramme in einfache Rechtecke verwandeln können. So können wir ganz leicht verstehen, wie groß ihre Fläche ist, und lernen, wie wir Dreiecke und Parallelogramme mit einer bestimmten Größe selbst zeichnen können.

Vorwissen

• Flächeninhalt eines Rechtecks: Man berechnet ihn, indem man die Länge mit der Breite multipliziert ($A = a \cdot b$). Beispiel: Ein Rechteck, das $4$ Kästchen lang und $3$ Kästchen breit ist, hat einen Flächeninhalt von $12$ Kästchen.
• Grundseite und Höhe: Die Grundseite ist die Linie, auf der eine Figur steht. Die Höhe steht immer in einem $\textcolor{#9570FF}{90^\circ}$-Winkel (senkrecht) zur Grundseite. Beispiel: Wenn die Grundseite waagerecht verläuft, geht die Höhe genau senkrecht nach oben.

Aufgabentyp 1: Warum Parallelogramm und Rechteck flächengleich sind

Wenn wir Flächeninhalte vergleichen und konstruieren, ist das Parallelogramm ein perfekter Startpunkt. Ein Parallelogramm sieht aus wie ein Rechteck, das von der Seite angestupst wurde. Es ist schief. Aber wie groß ist seine Fläche?

Wir können einen Trick anwenden: Wir zerschneiden das Parallelogramm und setzen es neu zusammen! Wenn wir bei einem Parallelogramm an einer Seite senkrecht nach unten schneiden, trennen wir ein kleines rechtwinkliges Dreieck ab.

Dieses Dreieck schieben wir nun in Gedanken auf die andere Seite der Figur und kleben es dort an.

Plötzlich entsteht ein ganz normales Rechteck! Weil wir nichts weggeworfen, sondern nur ein Stück verschoben haben, bleibt der Flächeninhalt genau gleich. Ein Parallelogramm hat also denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit der gleichen Grundseite und der gleichen Höhe.

Wenn ein Parallelogramm zum Beispiel eine Grundseite von $5 \text{ cm}$ und eine Höhe von $3 \text{ cm}$ hat, ist seine Fläche genau wie beim Rechteck: $5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Ein Dreieck mit einer bestimmten Fläche zeichnen

Beim Thema Flächeninhalte vergleichen und konstruieren spielt auch das Dreieck eine wichtige Rolle. Wie zeichnen wir ein Dreieck, das genau aus $6$ Kästchen besteht?

Hier hilft uns wieder das Rechteck. Jedes Dreieck ist genau halb so groß wie ein Rechteck mit der gleichen Grundseite und Höhe.

Wenn unser Dreieck also $6$ Kästchen groß sein soll, stellen wir uns ein Rechteck vor, das doppelt so groß ist: $6 \cdot 2 = 12$ Kästchen.

Jetzt suchen wir zwei Zahlen, die malgenommen $12$ ergeben. Zum Beispiel $4 \cdot 3 = 12$. Das bedeutet: Wir zeichnen eine Grundseite von $4$ Kästchen und eine Höhe von $3$ Kästchen. Wenn wir die Eckpunkte verbinden, hat unser Dreieck genau die gewünschte Fläche von $6$ Kästchen!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Fläche verdoppeln: Nimm die gewünschte Anzahl der Kästchen mal zwei. Das ist die Fläche des gedachten Hilfsrechtecks.
2. Seitenlängen finden: Finde zwei Zahlen, die miteinander multipliziert das Ergebnis aus Schritt 1 ergeben. Das sind deine Grundseite und deine Höhe.
3. Grundseite zeichnen: Zeichne die Grundseite waagerecht auf die Gitterlinien deines Karopapiers.
4. Höhe und Spitze einzeichnen: Gehe von der Grundseite aus um die Anzahl der Kästchen für die Höhe senkrecht nach oben. Markiere dort die Spitze und verbinde sie mit den Enden der Grundseite.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Ein Parallelogramm mit einer bestimmten Fläche zeichnen

Nun wollen wir das Wissen nutzen, um selbst Parallelogramme zu zeichnen. Bei einem Parallelogramm ist es noch einfacher als beim Dreieck. Wir wissen bereits: Ein Parallelogramm ist genauso groß wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe.

Wenn wir ein Parallelogramm mit einer Fläche von $10$ Kästchen zeichnen sollen, suchen wir einfach zwei Zahlen, die malgenommen $10$ ergeben. Zum Beispiel $5 \cdot 2 = 10$.

Wir zeichnen eine Grundseite von $5$ Kästchen. Die gegenüberliegende Seite zeichnen wir in einer Höhe von $2$ Kästchen, aber wir verschieben sie ein wenig zur Seite, damit die Figur schief wird.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Seitenlängen finden: Finde zwei Zahlen, die miteinander multipliziert die gewünschte Kästchenanzahl ergeben. Das sind deine Grundseite und deine Höhe.
2. Grundseite zeichnen: Zeichne die Grundseite waagerecht auf die Gitterlinien.
3. Gegenüberliegende Seite zeichnen: Gehe um die Anzahl der Kästchen für die Höhe senkrecht nach oben. Zeichne dort eine waagerechte Linie, die genauso lang ist wie die Grundseite, aber verschiebe sie waagerecht um ein paar Kästchen.
4. Eckpunkte verbinden: Verbinde die Enden der beiden waagerechten Linien miteinander.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe.
• Ein Dreieck ist immer genau halb so groß wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe.
• Um Figuren mit einer bestimmten Fläche zu zeichnen, suchst du passende Zahlen für die Grundseite und die Höhe, die multipliziert die gewünschte Fläche (beim Dreieck die doppelte Fläche) ergeben.