Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen umfassen alle natürlichen Zahlen, die Null und die negativen Zahlen. Sie haben keine Nachkommastellen. Du erkennst sie an einem Vorzeichen, also einem Plus oder Minus. Sie werden oft genutzt, um Schulden, Temperaturen unter null oder Punkte in einem Spiel darzustellen.

Wie löst man Doppelvorzeichen auf?

Wenn zwei Vorzeichen direkt aufeinandertreffen, kannst du sie zu einem einzigen Zeichen zusammenfassen. Die Regel lautet: Gleiche Zeichen (wie Plus und Plus oder Minus und Minus) werden zu einem Plus . Verschiedene Zeichen (wie Plus und Minus) werden zu einem Minus .

Warum darf man Zahlen beim Rechnen umstellen?

Dank dem Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) darfst du bei reinen Additions- und Subtraktionsaufgaben die Reihenfolge der Zahlen ändern. Das hilft dir, sogenannte Zahlenfreunde zu finden, die sich leicht im Kopf zusammenrechnen lassen. Wichtig ist nur, dass das Vorzeichen immer fest an der jeweiligen Zahl kleben bleibt.

Rechnen mit ganzen Zahlen

Stell dir vor, du spielst ein Videospiel. Für gute Aktionen bekommst du Pluspunkte, für Fehler bekommst du Minuspunkte (Strafpunkte). Wenn du $50$ Punkte hast und $30$ Strafpunkte bekommst, landest du bei $20$ Punkten.

Aber was passiert, wenn dir das Spiel plötzlich einen Strafpunkt erlässt? Wenn dir etwas Schlechtes weggenommen wird, ist das eigentlich etwas Gutes für deinen Punktestand! Genau dieses Prinzip hilft uns in der Mathematik beim Rechnen mit ganzen Zahlen, wenn viele Plus- und Minuszeichen direkt aufeinandertreffen. Lass uns lernen, wie wir solche Rechnungen ganz einfach aufräumen und schlau lösen können.

Vorwissen

Ganze Zahlen addieren und subtrahieren: Du weißt bereits, wie man mit positiven und negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl rechnet. Beispiel: $-10 + 3 = -7$
Klammern: Klammern fassen Zahlen zusammen und trennen Vorzeichen voneinander, damit sie nicht direkt nebeneinander stehen. Beispiel: Man schreibt $5 + (-3)$ anstatt $5 + - 3$ .

Aufgabentyp 1: Doppelvorzeichen auflösen

Oft stehen in einer Rechnung zwei Rechenzeichen direkt nebeneinander, nur getrennt durch eine Klammer. Zum Beispiel bei der Rechnung $10 - (-5)$ .

Um das leichter auszurechnen, räumen wir die Zeichen zuerst auf. Aus zwei Zeichen wird ein einziges Zeichen. Dafür gibt es eine einfache Regel:

Gleiche Zeichen werden zu einem Plus: Wenn du etwas Gutes bekommst, ist das gut. Wenn dir eine Strafe weggenommen wird, ist das auch gut!

$+(+) \to \textcolor{#08BFFF}{+}$
$-(-) \to \textcolor{#08BFFF}{+}$

Verschiedene Zeichen werden zu einem Minus: Wenn du eine Strafe bekommst, ist das schlecht. Wenn dir etwas Gutes weggenommen wird, ist das auch schlecht.

$+(-) \to \textcolor{#FF7D57}{-}$
$-(+) \to \textcolor{#FF7D57}{-}$

Sobald du die Zeichen ersetzt hast, kannst du die Klammern einfach weglassen und die Rechnung wie gewohnt lösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zeichen aufräumen: Suche nach Stellen, wo zwei Zeichen direkt an einer Klammer aufeinandertreffen. Ersetze sie durch ein einziges Zeichen.
Von links nach rechts rechnen: Schreibe die Rechnung ohne Klammern neu auf und rechne das Ergebnis aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Löse die Klammern auf und berechne den Wert des Terms:

$(-450) - (-870)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Zeichen aufräumen
Wir schauen uns die Zeichen in der Mitte an. Dort steht ein Minus vor der Klammer und ein Minus in der Klammer: $-(-870)$ .

Zwei gleiche Zeichen werden zu einem Plus.

$-(-) \to \textcolor{#08BFFF}{+}$
Schritt 2 · Ergebnis
Von links nach rechts rechnen
Wir schreiben den Term ohne die inneren Klammern neu auf. Die erste Zahl bleibt einfach so stehen, wie sie ist:

$-450 \textcolor{#08BFFF}{+} 870$

Jetzt berechnen wir das Ergebnis. Wir starten bei $-450$ und gehen $870$ Schritte ins Plus.

$-450 + 870 = 420$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist $420$ .

Quiz zu Rechnen mit ganzen Zahlen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Rechnen mit ganzen Zahlen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Rechnen mit ganzen Zahlen

Warum werden in der Mathematik bei bestimmten Rechnungen Klammern gesetzt?

Quizfrage 2 zu Rechnen mit ganzen Zahlen

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Welches einzige Rechenzeichen ersetzt die Kombination aus einem Plus und einem Minus direkt nebeneinander?

Übungsaufgabe zu Rechnen mit ganzen Zahlen

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Aufgabentyp 2: Clever rechnen durch Umstellen

Manchmal sind Rechnungen sehr lang und ungemütlich. Zum Glück gibt es einen Trick: Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz). Bei einer reinen Addition und Subtraktion darfst du die Reihenfolge der Zahlen verändern, um dir das Rechnen leichter zu machen.

Das Ziel ist es, Zahlenfreunde zu finden. Das sind Zahlen, die gut zusammenpassen, weil sie zum Beispiel eine runde Zahl ergeben oder sich gegenseitig aufheben.

Die goldene Regel beim Umstellen: Das Vorzeichen (Plus oder Minus) gehört immer fest zu der Zahl, die direkt dahinter steht. Stell dir vor, das Zeichen und die Zahl sind ein fester Block, den du nur zusammen verschieben darfst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Doppelvorzeichen auflösen: Bevor du etwas verschiebst, musst du alle Klammern und Doppelvorzeichen auflösen, genau wie wir es vorher gelernt haben.
Zahlenfreunde finden und umsortieren: Suche nach Zahlen, die gut zusammenpassen. Verschiebe sie so, dass sie nebeneinander stehen. Nimm das Vorzeichen immer mit!
Schrittweise ausrechnen: Rechne nun die passenden Zahlen zusammen und löse den Rest der Aufgabe.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den folgenden Term. Nutze Rechenvorteile, indem du die Reihenfolge der Zahlen geschickt veränderst.

$-158 + 620 - (-148)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Doppelvorzeichen auflösen
Am Ende des Terms steht $- (-148)$ . Zwei gleiche Zeichen werden zu einem Plus.

Der Term lautet nun:

$-158 + 620 \textcolor{#08BFFF}{+} 148$
Schritt 2
Zahlenfreunde finden und umsortieren
Wir suchen nach Zahlen, die gut zusammenpassen. Die Zahlen $-158$ und $+148$ sehen sich sehr ähnlich. Wir schieben die $\textcolor{#9570FF}{+148}$ nach vorne, direkt hinter die $-158$ .

$-158 \textcolor{#9570FF}{+ 148} + 620$
Schritt 3 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
Jetzt rechnen wir zuerst die beiden vorderen Zahlen zusammen. Wenn wir bei $-158$ starten und $148$ addieren, landen wir bei $-10$ .

$-10 + 620$

Nun addieren wir das Ergebnis zur restlichen Zahl:

$-10 + 620 = 610$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $610$ .

Wichtige Erkenntnisse

Zeichen aufräumen: Gleiche Zeichen nebeneinander werden zu Plus ( $+$ ). Verschiedene Zeichen nebeneinander werden zu Minus ( $-$ ).
Clever umstellen: Du darfst Zahlen in einer Rechnung verschieben, um leichter zu rechnen. Das Vorzeichen vor der Zahl wandert dabei immer mit der Zahl mit!

Rechnen mit ganzen Zahlen einfach erklärt: Regeln & Beispiele