Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen einfach erklärt: So geht's

Wenn du Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen möchtest, ist das oft wie ein spannendes Rätsel. Stell dir vor, du spielst dein Lieblings-Videospiel. Du besiegst einen Boss, verlierst dann ein paar Punkte durch eine Falle und hast am Ende genau $500$ Punkte. Aber wie viele Punkte hattest du ganz am Anfang? Oft kennen wir das Endergebnis, müssen aber herausfinden, wo wir gestartet sind oder was dazwischen passiert ist.

Genau das nennt man das Lösen von Gleichungen! Wir werden lernen, wie man solche mathematischen Rätsel löst, indem man einfach rückwärts rechnet.

Vorwissen

Bevor wir Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen, solltest du diese beiden Grundlagen kennen:

• Rechnen mit negativen Zahlen: Wenn du von einer negativen Zahl eine weitere Zahl abziehst, gehst du auf dem Zahlenstrahl weiter nach links. Beispiel: $-10 - 5 = -15$
• Umkehroperationen: Jede Rechenart hat ein Gegenteil, das sie wieder rückgängig macht. Beispiel: Wenn $5 + 3 = 8$ ist, dann ist die Umkehrung $8 - 3 = 5$.

Aufgabentyp 1: Einfache Gleichungen lösen

Eine Gleichung ist wie eine Waage, die im perfekten Gleichgewicht ist. Die linke Seite ist genauso schwer wie die rechte Seite. Manchmal fehlt in einer Rechnung eine Zahl. In der Mathematik benutzen wir oft einen Buchstaben, wie das $x$, als Platzhalter für diese unbekannte Zahl.

Um herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem $x$ versteckt, müssen wir das $x$ auf einer Seite der Waage alleine stehen lassen. Das schaffen wir, indem wir die Rechnung „rückgängig“ machen. Wir benutzen die Umkehroperation.

Wenn bei dem $x$ eine Zahl addiert wird (Plus), subtrahieren wir diese Zahl (Minus) auf der anderen Seite, um das Gleichgewicht zu halten.

Hier ist ein einfaches Beispiel:

$x \textcolor{#08BFFF}{+ 7} = 10$

Um das $x$ alleine zu lassen, machen wir das Gegenteil von $\textcolor{#08BFFF}{+ 7}$, nämlich $\textcolor{#08BFFF}{- 7}$:

$x = 10 \textcolor{#08BFFF}{- 7}$

$x = 3$

Wenn eine Zahl subtrahiert wird (Minus), addieren wir sie (Plus).

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Mehrschrittige Probleme und Rückwärts rechnen

Oft passieren im echten Leben mehrere Dinge nacheinander. Ein Bankkonto wird gefüllt, dann wird Geld abgebucht, und am Ende sehen wir den finalen Kontostand. Wenn wir wissen wollen, wie viel Geld ganz am Anfang auf dem Konto war, müssen wir die Geschichte wie einen Film rückwärts abspielen.

Das bedeutet: Wir starten mit dem Endergebnis und gehen die Schritte von hinten nach vorne durch. Bei jedem Schritt benutzen wir wieder die Umkehroperation. Aus einer Einzahlung (Plus) wird beim Rückwärtsrechnen eine Abhebung (Minus).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Endergebnis notieren: Schreibe den Wert auf, den du ganz am Ende erreicht hast.
2. Den letzten Schritt umkehren: Finde heraus, was als Letztes passiert ist. Mache genau das Gegenteil davon mit deinem Endergebnis (die Umkehroperation).
3. Den ersten Schritt umkehren: Nimm dein neues Zwischenergebnis und mache das Gegenteil von dem, was als Erstes passiert ist. Das Ergebnis ist dein gesuchter Startwert!

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Gleichung ist wie eine Waage. Was du auf der einen Seite veränderst, musst du auf der anderen Seite ausgleichen.
• Die Umkehroperation hilft dir, unbekannte Zahlen zu finden: Aus Plus wird Minus, aus Minus wird Plus.
• Wenn du den Startwert einer Geschichte suchst, spiele sie rückwärts ab und kehre alle Rechenzeichen um.