Was ist die Lagebeziehung von Punkten und Kreisen?

Die Lagebeziehung von Punkten und Kreisen beschreibt, ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb eines Kreises bzw. einer Kugel liegt — oder wie zwei Kreise zueinander positioniert sind. Dafür wird der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt mit dem Radius verglichen. Bei zwei Kreisen vergleicht man den Abstand der Mittelpunkte mit Summe und Differenz der Radien. Dieses Konzept ist die mathematische Grundlage für Kollisionsabfragen in Videospielen und Standortbestimmungen per GPS.

Wie berechnest du, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb einer Kugel liegt?

Du berechnest den quadrierten Abstand d² des Punktes P zum Kugelmittelpunkt M mit der Formel d² = (p₁ − m₁)² + (p₂ − m₂)² + (p₃ − m₃)² und vergleichst diesen mit r² . Gilt d² < r² , liegt der Punkt innerhalb ; gilt d² = r² , liegt er auf der Oberfläche; gilt d² > r² , liegt er außerhalb . Das Quadrieren spart das Wurzelziehen und vereinfacht die Rechnung erheblich.

Wie bestimmst du die gegenseitige Lage zweier Kreise?

Berechne zuerst Mittelpunkte und Radien beider Kreise — bei allgemeiner Form mithilfe der quadratischen Ergänzung . Dann bestimme den Abstand d der Mittelpunkte sowie Summe r₁ + r₂ und Differenz |r₁ − r₂| der Radien. Ist d > r₁ + r₂ : getrennt. Ist d = r₁ + r₂ : Berührung außen. Ist |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ : Schnitt in zwei Punkten. Ist d = |r₁ − r₂| : Berührung innen. Ist d < |r₁ − r₂| : ein Kreis liegt im anderen.

Wann musst du die quadratische Ergänzung bei Kugel- oder Kreisgleichungen anwenden?

Die quadratische Ergänzung brauchst du immer dann, wenn eine Kugel- oder Kreisgleichung in der allgemeinen Form vorliegt, zum Beispiel x² + y² + ax + by + c = 0 . Nur in der Mittelpunktsform kannst du Mittelpunkt und Radius direkt ablesen. Ohne diesen Umformungsschritt lässt sich weder der Abstand zum Mittelpunkt noch der Radius korrekt bestimmen — er ist daher immer der erste Schritt bei solchen Aufgaben.

Was ist der Unterschied zwischen äußerer und innerer Berührung zweier Kreise?

Bei der äußeren Berührung gilt d = r₁ + r₂ : Die Kreise liegen nebeneinander und berühren sich an einem einzigen Punkt von außen. Bei der inneren Berührung gilt d = |r₁ − r₂| : Der kleinere Kreis liegt vollständig im größeren und berührt ihn von innen an genau einem Punkt. In beiden Fällen gibt es nur einen gemeinsamen Punkt — der Unterschied liegt in der relativen Position der Mittelpunkte zueinander.

Lagebeziehung Punkte und Kreise

Q: Wann musst du die quadratische Ergänzung bei Kugel- oder Kreisgleichungen anwenden?

Die quadratische Ergänzung brauchst du immer dann, wenn eine Kugel- oder Kreisgleichung in der allgemeinen Form vorliegt, zum Beispiel x² + y² + ax + by + c = 0 . Nur in der Mittelpunktsform kannst du Mittelpunkt und Radius direkt ablesen. Ohne diesen Umformungsschritt lässt sich weder der Abstand zum Mittelpunkt noch der Radius korrekt bestimmen — er ist daher immer der erste Schritt bei solchen Aufgaben.

Q: Was ist der Unterschied zwischen äußerer und innerer Berührung zweier Kreise?

Bei der äußeren Berührung gilt d = r₁ + r₂ : Die Kreise liegen nebeneinander und berühren sich an einem einzigen Punkt von außen. Bei der inneren Berührung gilt d = |r₁ − r₂| : Der kleinere Kreis liegt vollständig im größeren und berührt ihn von innen an genau einem Punkt. In beiden Fällen gibt es nur einen gemeinsamen Punkt — der Unterschied liegt in der relativen Position der Mittelpunkte zueinander.

Die Lagebeziehung von Punkten und Kreisen ist ein zentrales Thema in der analytischen Geometrie — und steckt hinter vielen Alltagsphänomenen: Dein Handy beim Geocaching, Kollisionsabfragen in Videospielen, Standortbestimmung per GPS. Das ist keine Magie, sondern pure Geometrie. Die Mathematik, die wir hier lernen, ist der „Motor" hinter solchen Berechnungen. Du lernst das Regelwerk, das entscheidet: Drin, drauf oder daneben? Mit diesem Wissen knackst du nicht nur deine Mathe-Aufgaben, sondern verstehst auch, wie die digitale Welt um dich herum funktioniert.

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Abstand zweier Punkte im Raum: Um den Abstand zwischen zwei Punkten $A(x_A|y_A|z_A)$ und $B(x_B|y_B|z_B)$ zu berechnen, nutzt man den räumlichen Satz des Pythagoras.
- Formel: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$
- Beispiel: Der Abstand zwischen $A(1|2|3)$ und $B(4|6|3)$ ist $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .
Quadratische Ergänzung: Eine Methode, um allgemeine quadratische Terme in eine Scheitelpunkt- oder Mittelpunktsform umzuwandeln.
- Ziel: Aus $x^2 + px$ wird $(x + \frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2$ .
- Beispiel: $x^2 + 6x$ wird zu $(x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$ .
Kugelgleichung (Mittelpunktsform): Beschreibt alle Punkte, die von einem Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ den gleichen Abstand (Radius $r$ ) haben.
- Formel: $(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2$
- Beispiel: Eine Kugel mit Mittelpunkt $M(2|-1|0)$ und Radius $r=3$ hat die Gleichung $(x_1 - 2)^2 + (x_2 + 1)^2 + x_3^2 = 9$ .

Aufgabentyp 1: Punkt-Kugel-Lage: Rechnerische Prüfung

Bei der Lagebeziehung von Punkten und Kreisen (bzw. Kugeln) ist die grundlegende Frage: Wo liegt ein gegebener Punkt $P$ relativ zur Kugel? Um herauszufinden, ob ein Punkt $P$ innerhalb, auf oder außerhalb einer Kugel liegt, vergleichen wir den Abstand $d$ des Punktes vom Kugelmittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$ der Kugel.

Es gibt drei Möglichkeiten:

$d < r$ : Der Punkt liegt innerhalb der Kugel.
$d = r$ : Der Punkt liegt genau auf der Kugeloberfläche.
$d > r$ : Der Punkt liegt außerhalb der Kugel.

Profi-Tipp: Statt die Wurzel zu ziehen, ist es oft einfacher, die quadrierten Werte zu vergleichen: Vergleiche $d^2$ mit $r^2$ . Das Ergebnis ist dasselbe und spart Rechenarbeit!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Werte identifizieren: Notiere die Koordinaten des Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ , des Kugelmittelpunkts $M(m_1|m_2|m_3)$ und den Radius $r$ .
Quadrierten Abstand berechnen: Berechne $d^2 = (p_1 - m_1)^2 + (p_2 - m_2)^2 + (p_3 - m_3)^2$ .
Radius quadrieren: Berechne das Quadrat des Radius, $r^2$ .
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen: Ist $d^2 < r^2$ → innerhalb; $d^2 = r^2$ → auf der Kugel; $d^2 > r^2$ → außerhalb.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M(1|2|3)$ und Radius $r=5$ . Bestimme die Lage des Punktes $P(4|6|3)$ zur Kugel.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- Punkt: $P(4|6|3)$
- Mittelpunkt: $M(1|2|3)$
- Radius: $r=5$
Schritt 2
Quadrierten Abstand berechnen
Wir setzen die Koordinaten in die Abstandsformel (quadriert) ein: $d^2 = (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 3)^2$

$d^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2$

$d^2 = 9 + 16 + 0$

$d^2 = 25$
Schritt 3
Radius quadrieren
$r^2 = 5^2 = 25$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $d^2=25$ und $r^2=25$ . Da $d^2 = r^2$ ist, liegt der Punkt $P$ auf der Kugeloberfläche.

Ergebnis:

$P$ liegt auf der Kugeloberfläche, da $d^2 = r^2 = 25$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M(0|-1|5)$ und Radius $r=7$ . Bestimme die Lage des Punktes $P(3|3|3)$ zur Kugel.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- Punkt: $P(3|3|3)$
- Mittelpunkt: $M(0|-1|5)$
- Radius: $r=7$
Schritt 2
Quadrierten Abstand berechnen
$d^2 = (3 - 0)^2 + (3 - (-1))^2 + (3 - 5)^2$

$d^2 = 3^2 + 4^2 + (-2)^2$

$d^2 = 9 + 16 + 4$

$d^2 = 29$
Schritt 3
Radius quadrieren
$r^2 = 7^2 = 49$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $d^2=29$ und $r^2=49$ . Da $d^2 < r^2$ ist ( $29 < 49$ ), liegt der Punkt $P$ innerhalb der Kugel.

Ergebnis:

$P$ liegt innerhalb der Kugel, da $d^2 = 29 < r^2 = 49$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M(2|2|0)$ und Radius $r=3$ . Bestimme die Lage des Punktes $P(5|5|5)$ zur Kugel.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- Punkt: $P(5|5|5)$
- Mittelpunkt: $M(2|2|0)$
- Radius: $r=3$
Schritt 2
Quadrierten Abstand berechnen
$d^2 = (5 - 2)^2 + (5 - 2)^2 + (5 - 0)^2$

$d^2 = 3^2 + 3^2 + 5^2$

$d^2 = 9 + 9 + 25$

$d^2 = 43$
Schritt 3
Radius quadrieren
$r^2 = 3^2 = 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $d^2=43$ und $r^2=9$ . Da $d^2 > r^2$ ist ( $43 > 9$ ), liegt der Punkt $P$ außerhalb der Kugel.

Ergebnis:

$P$ liegt außerhalb der Kugel, da $d^2 = 43 > r^2 = 9$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M(-3|-4|-5)$ und Radius $r=10$ . Bestimme die Lage des Punktes $P(3|4|5)$ zur Kugel.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- Punkt: $P(3|4|5)$
- Mittelpunkt: $M(-3|-4|-5)$
- Radius: $r=10$
Schritt 2
Quadrierten Abstand berechnen
$d^2 = (3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2 + (5 - (-5))^2$

$d^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2$

$d^2 = 36 + 64 + 100$

$d^2 = 200$
Schritt 3
Radius quadrieren
$r^2 = 10^2 = 100$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $d^2=200$ und $r^2=100$ . Da $d^2 > r^2$ ist ( $200 > 100$ ), liegt der Punkt $P$ außerhalb der Kugel.

Ergebnis:

$P$ liegt außerhalb der Kugel, da $d^2 = 200 > r^2 = 100$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M(10|0|0)$ und Radius $r=\sqrt{10}$ . Bestimme die Lage des Punktes $P(9|1|2)$ zur Kugel.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- Punkt: $P(9|1|2)$
- Mittelpunkt: $M(10|0|0)$
- Radius: $r=\sqrt{10}$
Schritt 2
Quadrierten Abstand berechnen
$d^2 = (9 - 10)^2 + (1 - 0)^2 + (2 - 0)^2$

$d^2 = (-1)^2 + 1^2 + 2^2$

$d^2 = 1 + 1 + 4$

$d^2 = 6$
Schritt 3
Radius quadrieren
$r^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $d^2=6$ und $r^2=10$ . Da $d^2 < r^2$ ist ( $6 < 10$ ), liegt der Punkt $P$ innerhalb der Kugel.

Ergebnis:

$P$ liegt innerhalb der Kugel, da $d^2 = 6 < r^2 = 10$ .

Aufgabentyp 2: Parameter für Punktlage bestimmen

Manchmal ist eine Koordinate eines Punktes unbekannt und wird durch einen Parameter (z. B. $c$ ) ersetzt. Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, für welche Werte von $c$ der Punkt innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel liegt.

Oft ist die Kugelgleichung in der allgemeinen Form gegeben, z. B. $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0$ . Der erste und wichtigste Schritt ist immer, diese Gleichung durch quadratische Ergänzung in die bekannte Mittelpunktsform $(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2$ umzuwandeln. Nur so findest du den Mittelpunkt und den Radius, die du für die Berechnung brauchst.

Danach stellst du, genau wie bei Aufgabentyp 1, die Abstandsbedingung auf. Dies führt zu einer quadratischen Gleichung oder Ungleichung für den Parameter $c$ , die du dann lösen musst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kugelgleichung in Mittelpunktsform umwandeln: Falls die Kugel in allgemeiner Form gegeben ist, nutze die quadratische Ergänzung für jede Koordinate, um die Mittelpunktsform zu erhalten.
Mittelpunkt und Radius ablesen: Notiere den Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ und das Radiusquadrat $r^2$ .
Abstandsbedingung aufstellen: Setze die Koordinaten des Punktes $P$ (mit dem Parameter) und des Mittelpunkts $M$ in die quadrierte Abstandsformel $d^2$ ein.
Gleichung oder Ungleichung lösen: Setze die Bedingung für die Lage an (auf: $d^2 = r^2$ ; innerhalb: $d^2 < r^2$ ; außerhalb: $d^2 > r^2$ ) und löse nach dem Parameter auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für welche Werte von $c$ liegt der Punkt $P(c|5|2)$ auf der Kugel $K: (x_1-2)^2 + (x_2-1)^2 + (x_3-2)^2 = 25$ ?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkt und Radius ablesen
Die Kugelgleichung ist bereits in Mittelpunktsform gegeben.
- Mittelpunkt: $M(2|1|2)$
- Radiusquadrat: $r^2 = 25$
Schritt 3
Abstandsbedingung aufstellen
Wir berechnen den quadrierten Abstand $d^2$ von $P(c|5|2)$ zu $M(2|1|2)$ : $d^2 = (c - 2)^2 + (5 - 1)^2 + (2 - 2)^2$

$d^2 = (c - 2)^2 + 4^2 + 0^2$

$d^2 = (c - 2)^2 + 16$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung lösen
Für einen Punkt auf der Kugel muss $d^2 = r^2$ gelten. $(c - 2)^2 + 16 = 25$

$(c - 2)^2 = 9$

Wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten: $c - 2 = 3$ oder $c - 2 = -3$

$c_1 = 5$

$c_2 = -1$

Ergebnis:

Für $c=5$ und $c=-1$ liegt der Punkt $P$ auf der Kugel.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme alle Werte von $c$ , für die der Punkt $P(1|c|4)$ innerhalb der Kugel $K: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1 - 6x_2 - 8x_3 + 1 = 0$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kugelgleichung umwandeln
Wir formen die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung um: $(x_1^2 - 2x_1) + (x_2^2 - 6x_2) + (x_3^2 - 8x_3) = -1$

$(x_1^2 - 2x_1 + 1) + (x_2^2 - 6x_2 + 9) + (x_3^2 - 8x_3 + 16) = -1 + 1 + 9 + 16$

$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25$
2
Schritt 2
Mittelpunkt und Radius ablesen
- Mittelpunkt: $M(1|3|4)$
- Radiusquadrat: $r^2 = 25$
Schritt 3
Abstandsbedingung aufstellen
$d^2 = (1 - 1)^2 + (c - 3)^2 + (4 - 4)^2$

$d^2 = 0^2 + (c - 3)^2 + 0^2$

$d^2 = (c - 3)^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ungleichung lösen
Für einen Punkt innerhalb der Kugel muss $d^2 < r^2$ gelten. $(c - 3)^2 < 25$

Wir ziehen die Wurzel: $|c - 3| < 5$

Das bedeutet: $-5 < c - 3 < 5$

Wir addieren 3: $-2 < c < 8$

Ergebnis:

Für alle Werte von $c$ im Intervall $(-2, 8)$ liegt der Punkt $P$ innerhalb der Kugel.

Beispiel 3

Aufgabe

Für welche Werte von $c$ liegt der Punkt $P(0|0|c)$ außerhalb der Kugel mit Mittelpunkt $M(0|3|0)$ und Radius $r=4$ ?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkt und Radius ablesen
- Mittelpunkt: $M(0|3|0)$
- Radiusquadrat: $r^2 = 4^2 = 16$
Schritt 3
Abstandsbedingung aufstellen
$d^2 = (0 - 0)^2 + (0 - 3)^2 + (c - 0)^2$

$d^2 = 0^2 + (-3)^2 + c^2$

$d^2 = 9 + c^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ungleichung lösen
Für einen Punkt außerhalb der Kugel muss $d^2 > r^2$ gelten. $9 + c^2 > 16$

$c^2 > 7$

Wir ziehen die Wurzel: $|c| > \sqrt{7}$

Das bedeutet: $c > \sqrt{7}$ oder $c < -\sqrt{7}$

Ergebnis:

Für $c > \sqrt{7}$ oder $c < -\sqrt{7}$ liegt der Punkt $P$ außerhalb der Kugel.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Kugel $K: (x_1-6)^2 + x_2^2 + (x_3+1)^2 = 10$ . Untersuche, ob es ein $c$ gibt, sodass der Punkt $P(6|c|-1)$ innerhalb der Kugel liegt.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkt und Radius ablesen
- Mittelpunkt: $M(6|0|-1)$
- Radiusquadrat: $r^2 = 10$
Schritt 3
Abstandsbedingung aufstellen
$d^2 = (6 - 6)^2 + (c - 0)^2 + (-1 - (-1))^2$

$d^2 = 0^2 + c^2 + 0^2$

$d^2 = c^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ungleichung lösen
Die Bedingung für innerhalb ist $d^2 < r^2$ . $c^2 < 10$

Wir ziehen die Wurzel: $|c| < \sqrt{10}$

$-\sqrt{10} < c < \sqrt{10}$

Ergebnis:

Ja, es gibt solche Werte. Für alle $c$ zwischen $-\sqrt{10}$ und $\sqrt{10}$ liegt der Punkt innerhalb der Kugel.

Beispiel 5

Aufgabe

Für welche Werte von $c$ liegt der Punkt $P(1|1|c)$ auf der Kugel $K: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1 - 2x_2 - 2x_3 - 3 = 0$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kugelgleichung umwandeln
$(x_1^2 - 2x_1) + (x_2^2 - 2x_2) + (x_3^2 - 2x_3) = 3$

$(x_1^2 - 2x_1 + 1) + (x_2^2 - 2x_2 + 1) + (x_3^2 - 2x_3 + 1) = 3 + 1 + 1 + 1$

$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + (x_3 - 1)^2 = 6$
2
Schritt 2
Mittelpunkt und Radius ablesen
- Mittelpunkt: $M(1|1|1)$
- Radiusquadrat: $r^2 = 6$
Schritt 3
Abstandsbedingung aufstellen
$d^2 = (1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (c - 1)^2$

$d^2 = (c - 1)^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung lösen
Für einen Punkt auf der Kugel gilt $d^2 = r^2$ . $(c - 1)^2 = 6$

$c - 1 = \pm\sqrt{6}$

$c_1 = 1 + \sqrt{6}$

$c_2 = 1 - \sqrt{6}$

Ergebnis:

Für $c = 1 + \sqrt{6}$ und $c = 1 - \sqrt{6}$ liegt der Punkt auf der Kugel.

Aufgabentyp 3: Lagebeziehung zweier Kreise bestimmen

Zwei Kreise in einer Ebene können sich auf verschiedene Weisen zueinander verhalten: Sie können sich schneiden, berühren, oder gar keinen gemeinsamen Punkt haben. Um ihre genaue Lage zu bestimmen, vergleichen wir den Abstand $d$ ihrer Mittelpunkte mit der Summe ihrer Radien ( $r_1 + r_2$ ) und der Differenz ihrer Radien ( $|r_1 - r_2|$ ).

Es gibt folgende Fälle:

$d > r_1 + r_2$ : Die Kreise liegen getrennt voneinander.
$d = r_1 + r_2$ : Die Kreise berühren sich von außen.
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ : Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten.
$d = |r_1 - r_2|$ : Die Kreise berühren sich von innen.
$d < |r_1 - r_2|$ : Ein Kreis liegt vollständig im anderen, ohne Berührung.

Wie bei den Kugeln musst du oft zuerst die Mittelpunkte und Radien durch quadratische Ergänzung aus den allgemeinen Kreisgleichungen bestimmen.

Fünf Lagebeziehungen zweier Kreise im Überblick

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Mittelpunkt und Radius von Kreis 1 bestimmen: Wandle die Gleichung von Kreis $k_1$ durch quadratische Ergänzung in die Mittelpunktsform um und lies Mittelpunkt $M_1$ und Radius $r_1$ ab.
Mittelpunkt und Radius von Kreis 2 bestimmen: Wiederhole Schritt 1 für den zweiten Kreis $k_2$ , um $M_2$ und $r_2$ zu erhalten.
Abstand der Mittelpunkte berechnen: Berechne den Abstand $d$ zwischen $M_1$ und $M_2$ mit der Abstandsformel (im 2D-Raum).
Radien-Summe und -Differenz berechnen: Berechne die Summe $r_1 + r_2$ und den Betrag der Differenz $|r_1 - r_2|$ .
Werte vergleichen und Lage bestimmen: Vergleiche den Abstand $d$ mit den Werten aus Schritt 4, um die gegenseitige Lage der Kreise zu bestimmen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die gegenseitige Lage der Kreise $k_1: (x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ und $k_2: (x-7)^2 + (y-13)^2 = 16$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkte und Radien bestimmen
- Für $k_1$ : Mittelpunkt $M_1(2|1)$ , Radius $r_1 = \sqrt{9} = 3$ .
- Für $k_2$ : Mittelpunkt $M_2(7|13)$ , Radius $r_2 = \sqrt{16} = 4$ .
Schritt 3
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d = \sqrt{(7-2)^2 + (13-1)^2}$

$d = \sqrt{5^2 + 12^2}$

$d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$

$d = 13$
3
Schritt 4
Radien-Summe und -Differenz berechnen
- Summe: $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$
- Differenz: $|r_1 - r_2| = |3 - 4| = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Werte vergleichen und Lage bestimmen
Wir vergleichen $d=13$ mit $r_1+r_2=7$ . Da $13 > 7$ ist, also $d > r_1 + r_2$ , liegen die Kreise getrennt voneinander.

Ergebnis:

Die Kreise liegen getrennt voneinander, da $d = 13 > r_1 + r_2 = 7$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die gegenseitige Lage der Kreise $k_1: x^2 + y^2 = 4$ und $k_2: (x-3)^2 + y^2 = 1$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkte und Radien bestimmen
- Für $k_1$ : Mittelpunkt $M_1(0|0)$ , Radius $r_1 = \sqrt{4} = 2$ .
- Für $k_2$ : Mittelpunkt $M_2(3|0)$ , Radius $r_2 = \sqrt{1} = 1$ .
Schritt 3
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2}$

$d = 3$
3
Schritt 4
Radien-Summe und -Differenz berechnen
- Summe: $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$
- Differenz: $|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Werte vergleichen und Lage bestimmen
Wir vergleichen $d=3$ mit $r_1+r_2=3$ . Da $d = r_1 + r_2$ ist, berühren sich die Kreise von außen.

Ergebnis:

Die Kreise berühren sich von außen, da $d = r_1 + r_2 = 3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die gegenseitige Lage der Kreise $k_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 18$ und $k_2: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 2$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkte und Radien bestimmen
- Für $k_1$ : Mittelpunkt $M_1(1|1)$ , Radius $r_1 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .
- Für $k_2$ : Mittelpunkt $M_2(4|4)$ , Radius $r_2 = \sqrt{2}$ .
Schritt 3
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$

$d = 3\sqrt{2}$
3
Schritt 4
Radien-Summe und -Differenz berechnen
- Summe: $r_1 + r_2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
- Differenz: $|r_1 - r_2| = |3\sqrt{2} - \sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Werte vergleichen und Lage bestimmen
Wir vergleichen $d=3\sqrt{2}$ mit den anderen Werten. Es gilt $2\sqrt{2} < 3\sqrt{2} < 4\sqrt{2}$ . Da $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ ist, schneiden sich die Kreise in zwei Punkten.

Ergebnis:

Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten, da $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die gegenseitige Lage der Kreise $k_1: x^2+y^2-10y+9=0$ und $k_2: x^2+y^2-2y-3=0$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt und Radius von Kreis 1 bestimmen
$x^2 + (y^2 - 10y) = -9$

$x^2 + (y^2 - 10y + 25) = -9 + 25$

$x^2 + (y-5)^2 = 16$

$M_1(0|5)$ , $r_1 = 4$ .
Schritt 2
Mittelpunkt und Radius von Kreis 2 bestimmen
$x^2 + (y^2 - 2y) = 3$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 3 + 1$

$x^2 + (y-1)^2 = 4$

$M_2(0|1)$ , $r_2 = 2$ .
Schritt 3
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d = \sqrt{(0-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4^2}$

$d = 4$
4
Schritt 4
Radien-Summe und -Differenz berechnen
- Summe: $r_1 + r_2 = 4 + 2 = 6$
- Differenz: $|r_1 - r_2| = |4 - 2| = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Werte vergleichen und Lage bestimmen
Es gilt $2 < 4 < 6$ . Da $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ ist, schneiden sich die Kreise in zwei Punkten.

Ergebnis:

Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten, da $|r_1 - r_2| = 2 < d = 4 < r_1 + r_2 = 6$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die gegenseitige Lage der Kreise $k_1: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 64$ und $k_2: (x-6)^2 + (y-6)^2 = 9$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Mittelpunkte und Radien bestimmen
- Für $k_1$ : Mittelpunkt $M_1(3|2)$ , Radius $r_1 = \sqrt{64} = 8$ .
- Für $k_2$ : Mittelpunkt $M_2(6|6)$ , Radius $r_2 = \sqrt{9} = 3$ .
Schritt 3
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d = \sqrt{(6-3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$

$d = 5$
3
Schritt 4
Radien-Summe und -Differenz berechnen
- Summe: $r_1 + r_2 = 8 + 3 = 11$
- Differenz: $|r_1 - r_2| = |8 - 3| = 5$
Schritt 5 · Ergebnis
Werte vergleichen und Lage bestimmen
Wir vergleichen $d=5$ mit $|r_1-r_2|=5$ . Da $d = |r_1 - r_2|$ ist, berühren sich die Kreise von innen.

Ergebnis:

Die Kreise berühren sich von innen, da $d = |r_1 - r_2| = 5$ .

Wichtige Erkenntnisse

Punkt vs. Kugel/Kreis: Vergleiche den quadrierten Abstand $d^2$ des Punktes zum Mittelpunkt mit dem quadrierten Radius $r^2$ .
- $d^2 < r^2 \to$ innerhalb
- $d^2 = r^2 \to$ auf
- $d^2 > r^2 \to$ außerhalb
Kreis vs. Kreis: Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte $d$ mit der Summe $r_1+r_2$ und der Differenz $|r_1-r_2|$ der Radien.
- $d > r_1+r_2 \to$ getrennt
- $d = r_1+r_2 \to$ Berührung außen
- $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2 \to$ Schnitt in 2 Punkten
- $d = |r_1-r_2| \to$ Berührung innen
- $d < |r_1-r_2| \to$ ineinanderliegend
Allgemeine Form: Ist eine Kugel- oder Kreisgleichung in allgemeiner Form gegeben, ist dein erster Schritt immer die quadratische Ergänzung, um Mittelpunkt und Radius zu finden.

Lagebeziehung von Punkten und Kreisen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Punkt-Kugel-Lage: Rechnerische Prüfung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Parameter für Punktlage bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Lagebeziehung zweier Kreise bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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