Potenzen sind in der Mathematik eine abkürzende Schreibweise für das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl. Sie bestehen aus einer Basis (der Grundzahl) und einem Exponenten (der Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. So wird aus 2 · 2 · 2 ganz einfach 2³ .

Wie rechnet man mit negativen Exponenten?

Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ wird. Stattdessen ist es der mathematische Befehl, den Kehrwert zu bilden. Die Potenz wandert in den Nenner eines Bruchs, und das Vorzeichen der Hochzahl wird positiv. Aus 5⁻² wird also 1 / 5² , was 1/25 ergibt.

Was macht man, wenn die Basis ein Bruch ist und der Exponent negativ?

Wenn du einen Bruch mit einem negativen Exponenten hast, gibt es einen einfachen Trick: Du vertauschst Zähler und Nenner (bildest also den Kehrwert des Bruchs) und machst den Exponenten dadurch positiv. Aus (3/4)⁻² wird so direkt (4/3)² . Danach quadrierst du Zähler und Nenner einzeln.

Was sind Zehnerpotenzen?

Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10. Sie sind besonders nützlich, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen. Ein positiver Exponent wie bei 10³ bedeutet eine 1 mit drei Nullen (1000). Ein negativer Exponent wie bei 10⁻² steht für kleine Dezimalzahlen (0,01).

Mit Potenzen rechnen: Regeln & Beispiele

Wenn du mit Potenzen rechnen möchtest, geht es im Grunde darum, dir viel Schreibarbeit zu sparen. Stell dir vor, du müsstest die Zahl $2$ zehnmal mit sich selbst multiplizieren. Du müsstest $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ schreiben. Das dauert lange und ist unübersichtlich!

Genau wie die Multiplikation eine Abkürzung für das ständige Addieren ist, sind Potenzen die Abkürzung für das ständige Multiplizieren. In diesem Kapitel lernst du, wie du diese Abkürzungen richtig liest, wie du sie auch ohne Taschenrechner berechnest und was passiert, wenn plötzlich ein Minuszeichen in der Hochzahl auftaucht.

Vorwissen

Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
Vorrangregeln (Klammer vor Punkt vor Strich): Klammern werden zuerst berechnet, dann Multiplikation/Division, zuletzt Addition/Subtraktion. Beispiel: $5 + 3 \cdot 2 = 5 + 6 = 11$

Aufgabentyp 1: Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen

Eine Potenz besteht immer aus zwei Teilen: der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl).

Der Exponent sagt dir, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizieren musst.

$\textcolor{#1E90FF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{n}} = \underbrace{\textcolor{#1E90FF}{a} \cdot \textcolor{#1E90FF}{a} \cdot \dots \cdot \textcolor{#1E90FF}{a}}_{\textcolor{#9570FF}{n}\text{-mal}}$

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an:

$\textcolor{#1E90FF}{3}^{\textcolor{#9570FF}{4}} = \textcolor{#1E90FF}{3} \cdot \textcolor{#1E90FF}{3} \cdot \textcolor{#1E90FF}{3} \cdot \textcolor{#1E90FF}{3} = 81$

Das funktioniert nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern auch mit Kommazahlen oder Brüchen. Wichtig ist: Wenn die Basis ein Bruch ist, muss sie in Klammern stehen, damit sich der Exponent auf den Zähler und den Nenner bezieht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne ohne Taschenrechner: a) $7^3$ b) $0{,}4^2$ c) $\left(\frac{5}{6}\right)^3$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Berechnung von $7^3$
Wir multiplizieren die Basis $7$ dreimal mit sich selbst: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ $= 49 \cdot 7$ $= 343$
Schritt 2
Berechnung von $0{,}4^2$
Wir multiplizieren die Basis $0{,}4$ zweimal mit sich selbst: $0{,}4^2 = 0{,}4 \cdot 0{,}4$ $= 0{,}16$
Schritt 3 · Ergebnis
Berechnung von $\left(\frac{5}{6}\right)^3$
Wir schreiben den Bruch dreimal auf und multiplizieren Zähler mit Zähler sowie Nenner mit Nenner: $\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}$ $= \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot 6}$ $= \frac{125}{216}$

Ergebnis:

a) $7^3 = 343$ b) $0{,}4^2 = 0{,}16$ c) $\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$

Quiz zu Mit Potenzen rechnen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Mit Potenzen rechnen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Mit Potenzen rechnen

Wie berechnet man den Wert der Potenz $3^4$ ?

Quizfrage 2 zu Mit Potenzen rechnen

Nur mit Account

Welchen Wert hat die Potenz $0{,}4^2$ ?

Übungsaufgabe zu Mit Potenzen rechnen

Nur mit Account

Kostenlos freischalten

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten berechnen

Manchmal hat eine Potenz ein Minuszeichen im Exponenten, wie zum Beispiel $5^{-2}$ .

Wichtig: Ein negativer Exponent macht das Ergebnis nicht negativ! Das Minuszeichen im Exponenten ist lediglich ein mathematischer Befehl für: „Bilde den Kehrwert!“

Um eine Potenz mit einem negativen Exponenten zu berechnen, schreibst du sie als Bruch um. Die Potenz rutscht in den Nenner (nach unten) und der Exponent wird dadurch positiv:

$\textcolor{#1E90FF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{-n}} = \frac{1}{\textcolor{#1E90FF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{n}}}$

Ein Beispiel:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Sonderfall bei Brüchen: Wenn die Basis bereits ein Bruch ist, ist es noch einfacher. Du drehst den Bruch einfach um (Zähler und Nenner tauschen die Plätze) und machst den Exponenten positiv:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den genauen Wert der folgenden Ausdrücke ohne Taschenrechner: a) $8^{-2}$ b) $\left(\frac{9}{8}\right)^{-1}$ c) $\left(1\frac{2}{6}\right)^{-2}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Berechnung von $8^{-2}$
Wir wenden die Regel für negative Exponenten an und schreiben die Potenz in den Nenner: $8^{-2} = \frac{1}{8^2}$ $= \frac{1}{64}$
Schritt 2
Berechnung von $\left(\frac{9}{8}\right)^{-1}$
Da die Basis ein Bruch ist, bilden wir den Kehrwert des Bruchs und machen den Exponenten positiv: $\left(\frac{9}{8}\right)^{-1} = \left(\frac{8}{9}\right)^1$ $= \frac{8}{9}$
Schritt 3 · Ergebnis
Berechnung von $\left(1\frac{2}{6}\right)^{-2}$
Bevor wir die Potenzregel anwenden können, müssen wir die gemischte Zahl in einen reinen Bruch umwandeln. $1$ Ganzes sind $\frac{6}{6}$ . Zusammen mit den $\frac{2}{6}$ ergibt das $\frac{8}{6}$ . $\left(1\frac{2}{6}\right)^{-2} = \left(\frac{8}{6}\right)^{-2}$ Nun bilden wir den Kehrwert des Bruchs, um das Minus im Exponenten zu entfernen: $= \left(\frac{6}{8}\right)^2$ Jetzt quadrieren wir Zähler und Nenner: $= \frac{6^2}{8^2}$ $= \frac{36}{64}$ Diesen Bruch können wir noch mit $4$ kürzen: $= \frac{9}{16}$

Ergebnis:

a) $8^{-2} = \frac{1}{64}$ b) $\left(\frac{9}{8}\right)^{-1} = \frac{8}{9}$ c) $\left(1\frac{2}{6}\right)^{-2} = \frac{9}{16}$

Aufgabentyp 3: Fehlende Exponenten oder Faktoren finden

Manchmal ist das Ergebnis einer Rechnung bereits gegeben, aber ein Teil der Aufgabe fehlt – zum Beispiel der Exponent oder ein Faktor vor der Potenz. Das ist wie ein kleines Rätsel in Form einer Gleichung.

Um solche Rätsel zu lösen, musst du die Gleichung so umstellen, dass der unbekannte Teil (die Lücke) alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht.

Besonders oft begegnen dir hierbei Zehnerpotenzen (wie $10^2$ oder $10^{-2}$ ). Zur Erinnerung:

$10^2 = 100$
$10^1 = 10$
$10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1$
$10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lücke isolieren: Bringe alle bekannten Zahlen auf eine Seite der Gleichung, sodass der unbekannte Wert alleine steht.
Wert berechnen oder umschreiben: Führe die Rechnung aus und schreibe das Ergebnis bei gesuchtem Exponenten auf die gleiche Basis um.
Vergleichen und ablesen: Steht auf beiden Seiten die gleiche Basis, kannst du den fehlenden Wert direkt ablesen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 3

Aufgabe

Ergänze die fehlende Zahl (dargestellt als $x$ ), sodass die Gleichung wahr ist: a) $0{,}075 = 7{,}5 \cdot 10^x$ b) $5400 = x \cdot 10^2$ c) $x = 4{,}2 \cdot 10^1$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fehlenden Exponenten finden (Aufgabe a)
Wir wollen, dass $10^x$ alleine steht. Dafür teilen wir beide Seiten durch $7{,}5$ : $0{,}075 = 7{,}5 \cdot 10^x \quad | : 7{,}5$ $0{,}01 = 10^x$ Nun schreiben wir $0{,}01$ als Bruch und dann als Potenz mit der Basis $10$ : $\frac{1}{100} = 10^x$ $\frac{1}{10^2} = 10^x$ $10^{-2} = 10^x$ Da die Basis nun auf beiden Seiten gleich ist, können wir ablesen: $x = -2$ .
Schritt 2
Fehlenden Faktor finden (Aufgabe b)
Wir wollen, dass $x$ alleine steht. Dafür teilen wir beide Seiten durch $10^2$ : $5400 = x \cdot 10^2 \quad | : 10^2$ $5400 : 100 = x$ $54 = x$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen (Aufgabe c)
Hier steht das $x$ bereits alleine. Wir müssen die rechte Seite nur ausrechnen: $x = 4{,}2 \cdot 10^1$ $x = 4{,}2 \cdot 10$ $x = 42$

Ergebnis:

a) Die fehlende Zahl ist $-2$ . b) Die fehlende Zahl ist $54$ . c) Die fehlende Zahl ist $42$ .

Wichtige Erkenntnisse

Natürliche Exponenten: Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird ( $a^3 = a \cdot a \cdot a$ ).
Negative Exponenten: Ein Minus im Exponenten bedeutet, dass du den Kehrwert bilden musst ( $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ). Das Ergebnis wird dadurch nicht negativ!
Brüche mit negativem Exponenten: Drehe den Bruch einfach um (Zähler und Nenner tauschen) und mache das Vorzeichen des Exponenten positiv.
Gleichungen lösen: Bringe den unbekannten Teil immer zuerst alleine auf eine Seite des Gleichheitszeichens.

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Quiz zu Mit Potenzen rechnen: Teste dein Wissen

Quizfrage 1 zu Mit Potenzen rechnen

Quizfrage 2 zu Mit Potenzen rechnen

Übungsaufgabe zu Mit Potenzen rechnen

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten berechnen

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabentyp 3: Fehlende Exponenten oder Faktoren finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Verwandte Themen

Als Nächstes lernen

Weiter lernen

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Quiz zu Mit Potenzen rechnen: Teste dein Wissen

Quizfrage 1 zu Mit Potenzen rechnen

Quizfrage 2 zu Mit Potenzen rechnen

✏️ Übungsaufgabe zu Mit Potenzen rechnen

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten berechnen

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabentyp 3: Fehlende Exponenten oder Faktoren finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

🧭 Verwandte Themen

📚 Als Nächstes lernen

Weiter lernen

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.

Übungsaufgabe zu Mit Potenzen rechnen

Verwandte Themen

Als Nächstes lernen