Was sind Potenzen mit gleichem Exponenten?

Potenzen mit gleichem Exponenten sind Ausdrücke, bei denen die Hochzahl (der Exponent) identisch ist, während die Grundzahlen (die Basen) unterschiedlich sein können. Ein Beispiel ist 2⁴ · 5⁴ . Für diese Fälle gibt es spezielle Potenzgesetze, die das Rechnen stark vereinfachen.

Wie multipliziert man Potenzen mit gleichem Exponenten?

Um zwei Potenzen mit gleichem Exponenten zu multiplizieren, behältst du den Exponenten bei und multiplizierst die Basen miteinander. Die Regel lautet: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ . So wird aus 2³ · 5³ ganz einfach (2 · 5)³ = 10³ .

Wie dividiert man Potenzen mit gleichem Exponenten?

Beim Dividieren gehst du ähnlich vor: Du dividierst die Basen und behältst den gemeinsamen Exponenten bei. Als Formel geschrieben heißt das: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ . Das funktioniert auch bei Brüchen, indem du den Zähler und Nenner zusammenfasst.

Potenzen mit gleichem Exponenten

Stell dir vor, du sollst in einer Prüfung die Aufgabe $2^4 \cdot 5^4$ im Kopf lösen. Du könntest zuerst $2^4 = 16$ und $5^4 = 625$ berechnen und dann mühsam $16 \cdot 625$ rechnen. Das dauert lange und man verrechnet sich leicht! Bei den Grundrechenoperationen mit Potenzen mit gleichem Exponenten gibt es zum Glück clevere Abkürzungen.

Was wäre, wenn es eine Abkürzung gäbe, mit der du in einer Sekunde auf das Ergebnis $10^4 = 10.000$ kommst? In der Mathematik suchen wir immer nach solchen cleveren Abkürzungen. In diesem Thema lernst du genau diese Tricks kennen: die Potenzgesetze für gleiche Exponenten.

Vorwissen

Aufbau einer Potenz: Eine Potenz besteht aus einer Basis (Grundzahl) und einem Exponenten (Hochzahl).

Beispiel: Bei $3^4$ ist $3$ die Basis und $4$ der Exponent.
Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
Brüche dividieren: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Beispiel: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12}$

Aufgabentyp 1: Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten kannst du dir viel Rechenarbeit sparen. Wenn wir zwei Potenzen multiplizieren, die den gleichen Exponenten haben, dürfen wir die Basen zusammenfassen.

Schauen wir uns an, warum das so ist, indem wir die Aufgabe $2^3 \cdot 5^3$ einmal komplett ausschreiben:

$2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5)$

Da bei der Multiplikation die Reihenfolge egal ist, können wir die Zahlen umsortieren und Paare bilden:

$= (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$

Jedes dieser Paare ergibt $10$ :

$= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$

Daraus ergibt sich eine einfache und schnelle Regel: Multipliziere die Basen und behalte den gemeinsamen Exponenten bei.

Als Formel sieht das so aus:

$\textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#08BFFF}{n}} \cdot \textcolor{#9570FF}{b}^{\textcolor{#08BFFF}{n}} = (\textcolor{#9570FF}{a} \cdot \textcolor{#9570FF}{b})^{\textcolor{#08BFFF}{n}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Prüfe die Exponenten: Kontrolliere zuerst, ob beide Potenzen wirklich exakt denselben Exponenten haben. Nur dann darfst du diese Regel anwenden.
Fasse die Basen zusammen: Schreibe die beiden Basen mit einem Malzeichen in eine Klammer. Den gemeinsamen Exponenten schreibst du nur noch einmal außen an die Klammer: $(a \cdot b)^n$ .
Rechne die Basis aus: Berechne das Ergebnis in der Klammer, um die neue, vereinfachte Basis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Multipliziere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an:

$4^3 \cdot 2{,}5^3$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basen zusammenfassen
Beide Potenzen haben den Exponenten $3$ . Wir schreiben die Basen in eine Klammer und behalten den Exponenten bei:

$4^3 \cdot 2{,}5^3 = (4 \cdot 2{,}5)^3$
Schritt 3 · Ergebnis
Basis ausrechnen
Wir rechnen die Klammer aus ( $4 \cdot 2{,}5 = 10$ ):

$= 10^3$

Ergebnis:

Das Ergebnis als einzige Potenz ist $10^3$ .

Quiz zu Potenzen mit gleichem Exponenten: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Potenzen mit gleichem Exponenten

Aus welchen beiden Teilen ist eine Potenz wie $3^4$ aufgebaut?

Quizfrage 2 zu Potenzen mit gleichem Exponenten

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Wie dividiert man durch einen Bruch?

Übungsaufgabe zu Potenzen mit gleichem Exponenten

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Beispiel 2

Aufgabe

Multipliziere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an:

$\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^4$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basen zusammenfassen
Beide Potenzen haben den Exponenten $4$ . Wir schreiben die Brüche gemeinsam in eine große Klammer:

$\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}\right)^4$
Schritt 3 · Ergebnis
Basis ausrechnen
Wir multiplizieren die Brüche (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner):

$= \left(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5}\right)^4 = \left(\frac{6}{15}\right)^4$

Wenn wir den Bruch mit $3$ kürzen, erhalten wir das Endergebnis:

$= \left(\frac{2}{5}\right)^4$

Ergebnis:

Das Ergebnis als einzige Potenz ist $\left(\frac{2}{5}\right)^4$ .

Aufgabentyp 2: Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten

Genau wie bei der Multiplikation gibt es auch für die Division eine Abkürzung, wenn die Exponenten gleich sind.

Schauen wir uns den Bruch $\frac{6^2}{2^2}$ an und schreiben ihn aus:

$\frac{6^2}{2^2} = \frac{6 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Wir können diesen großen Bruch in zwei kleine Brüche aufteilen:

$= \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

Das ist das Gleiche wie:

$= \left(\frac{6}{2}\right)^2$

Da $6 : 2 = 3$ ist, ist das Ergebnis einfach $3^2$ .

Die Regel lautet also: Dividiere die Basen und behalte den gemeinsamen Exponenten bei.

Als Formel sieht das so aus:

$\frac{\textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#08BFFF}{n}}}{\textcolor{#9570FF}{b}^{\textcolor{#08BFFF}{n}}} = \left(\frac{\textcolor{#9570FF}{a}}{\textcolor{#9570FF}{b}}\right)^{\textcolor{#08BFFF}{n}}$

Oder als normale Geteilt-Rechnung geschrieben:

$\textcolor{#9570FF}{a}^{\textcolor{#08BFFF}{n}} : \textcolor{#9570FF}{b}^{\textcolor{#08BFFF}{n}} = (\textcolor{#9570FF}{a} : \textcolor{#9570FF}{b})^{\textcolor{#08BFFF}{n}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Prüfe die Exponenten: Kontrolliere, ob beide Potenzen denselben Exponenten haben.
Fasse die Basen zusammen: Schreibe die beiden Basen mit einem Geteilt-Zeichen (oder als Bruch) in eine Klammer. Den gemeinsamen Exponenten schreibst du außen an die Klammer: $(a : b)^n$ .
Rechne die Basis aus: Berechne das Ergebnis in der Klammer, um die neue Basis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Dividiere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an:

$\frac{12^4}{4^4}$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basen zusammenfassen
Beide Potenzen haben den Exponenten $4$ . Wir ziehen den Bruch zusammen und schreiben den Exponenten außen an die Klammer:

$\frac{12^4}{4^4} = \left(\frac{12}{4}\right)^4$
Schritt 3 · Ergebnis
Basis ausrechnen
Wir rechnen den Bruch aus ( $12 : 4 = 3$ ):

$= 3^4$

Ergebnis:

Das Ergebnis als einzige Potenz ist $3^4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Dividiere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an:

$\left(\frac{5}{7}\right)^2 : \left(\frac{2}{7}\right)^2$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basen zusammenfassen
Beide Potenzen haben den Exponenten $2$ . Wir schreiben die Rechnung in eine große Klammer:

$\left(\frac{5}{7}\right)^2 : \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \left(\frac{5}{7} : \frac{2}{7}\right)^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Basis ausrechnen
Wir dividieren die Brüche in der Klammer, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren:

$= \left(\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2}\right)^2$

$= \left(\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 2}\right)^2 = \left(\frac{35}{14}\right)^2$

Wenn wir den Bruch mit $7$ kürzen, erhalten wir das Endergebnis:

$= \left(\frac{5}{2}\right)^2$

Ergebnis:

Das Ergebnis als einzige Potenz ist $\left(\frac{5}{2}\right)^2$ .

Wichtige Erkenntnisse

Multiplikation: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ (Basen multiplizieren, Exponent bleibt gleich).
Division: $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ (Basen dividieren, Exponent bleibt gleich).
Wichtig: Diese Regeln funktionieren nur, wenn die Exponenten exakt gleich sind!

Potenzen mit gleichem Exponenten einfach erklärt: Regeln