Verkleinerungsmaßstab berechnen einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du möchtest einen echten Dinosaurier oder ein ganzes Haus auf ein normales Blatt Papier zeichnen. Das passt natürlich nicht!

Genau dafür gibt es Verkleinerungsmaßstäbe. Sie helfen uns, riesige Dinge so zu verkleinern, dass sie auf einen Plan passen oder zu einem coolen Modellauto werden. In diesem Thema lernst du, wie du aus einem kleinen Plan die echte Größe berechnest, wie du selbst Dinge im richtigen Maßstab zeichnest und wie du den Maßstab einer Landkarte herausfindest.

Vorwissen

• Längen umrechnen: $1 \text{ Meter (m)}$ entspricht genau $100 \text{ Zentimetern (cm)}$.

  Beispiel: $3 \text{ m} = 300 \text{ cm}$.

• Multiplizieren und Dividieren: Du solltest sicher mit Zehnerzahlen rechnen können.

  Beispiel: $400 : 50 = 8$.

Aufgabentyp 1: Die wirkliche Länge berechnen

Stell dir vor, du hast einen Bauplan mit dem Maßstab $\textcolor{#9570FF}{1:50}$. Das bedeutet: $\textcolor{#08BFFF}{1 \text{ cm}}$ auf dem Plan entspricht in der Wirklichkeit genau $\textcolor{#53E5D6}{50 \text{ cm}}$.

Wenn eine Linie auf dem Plan also $\textcolor{#08BFFF}{2 \text{ cm}}$ lang ist, rechnest du einfach $\textcolor{#08BFFF}{2 \text{ cm}} \cdot \textcolor{#9570FF}{50} = \textcolor{#53E5D6}{100 \text{ cm}}$.

Um die wirkliche Länge eines Gegenstandes zu berechnen, messen wir zuerst die Länge auf dem Bild. Dann multiplizieren wir diese Zahl mit der zweiten Zahl des Maßstabs. Oft ist das Ergebnis eine sehr große Zahl in Zentimetern, weshalb wir sie am Ende in Meter umrechnen, damit wir uns die Länge besser vorstellen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Maßstab verstehen: Finde heraus, mit welcher Zahl du multiplizieren musst. Bei einem Maßstab von $1:n$ ist das die Zahl $n$.
2. Wirkliche Länge berechnen: Multipliziere die Länge auf dem Bild mit der Zahl aus dem Maßstab. Das Ergebnis ist die wirkliche Länge in derselben Einheit (meistens Zentimeter).
3. Einheit umrechnen: Rechne das Ergebnis von Zentimetern (cm) in Meter (m) um, indem du den Zahlenwert durch $100$ teilst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Zimmer wird im Maßstab $\textcolor{#9570FF}{1:50}$ gezeichnet. Eine Wand ist auf dem Plan $\textcolor{#08BFFF}{8 \text{ cm}}$ lang. Berechne die tatsächliche Länge der Wand in Metern.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Maßstab verstehen

   Der Maßstab ist $\textcolor{#9570FF}{1:50}$. Wir müssen also mit $\textcolor{#9570FF}{50}$ multiplizieren.

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   Schritt 2
   Wirkliche Länge berechnen

   Wir multiplizieren die Länge auf dem Plan mit $50$:

   $\textcolor{#08BFFF}{8 \text{ cm}} \cdot \textcolor{#9570FF}{50} = \textcolor{#53E5D6}{400 \text{ cm}}$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Einheit umrechnen

   Wir rechnen die Zentimeter in Meter um:

   $\textcolor{#53E5D6}{400 \text{ cm}} = \textcolor{#53E5D6}{4 \text{ m}}$

Ergebnis:

Die tatsächliche Länge der Wand beträgt $\textcolor{#53E5D6}{4 \text{ m}}$.

Aufgabentyp 2: Die Länge auf dem Bild berechnen

Manchmal kennen wir die wirkliche Länge eines großen Gegenstandes und wollen wissen, wie groß wir ihn auf einem Plan zeichnen müssen.

Dazu machen wir genau das Gegenteil von vorhin: Wir teilen! Wenn ein Tisch in Wirklichkeit $\textcolor{#53E5D6}{200 \text{ cm}}$ lang ist und der Maßstab $\textcolor{#9570FF}{1:50}$ beträgt, rechnen wir $\textcolor{#53E5D6}{200 \text{ cm}} : \textcolor{#9570FF}{50} = \textcolor{#08BFFF}{4 \text{ cm}}$.

Zuerst rechnen wir die wirkliche Länge in eine kleinere Einheit (Zentimeter) um, damit wir besser rechnen können. Dann teilen wir diese Zahl durch die zweite Zahl des Maßstabs, um die Länge auf dem Bild zu erhalten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Wirkliche Länge in Zentimeter umrechnen: Wandle die Länge von Metern in Zentimeter (cm) um.
2. Länge auf dem Bild berechnen: Teile die wirkliche Länge in Zentimetern durch die zweite Zahl des Maßstabs. Das Ergebnis ist die Länge, die du zeichnen musst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Zimmerplan wird im Maßstab $\textcolor{#9570FF}{1:50}$ gezeichnet. Die Tür zu diesem Zimmer ist in Wirklichkeit $\textcolor{#53E5D6}{1 \text{ m}}$ breit. Wie breit muss die Tür auf dem Plan in Zentimetern gezeichnet werden?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Wirkliche Länge in Zentimeter umrechnen

   Wir wandeln die wirkliche Breite von Metern in Zentimeter um:

   $\textcolor{#53E5D6}{1 \text{ m}} = \textcolor{#53E5D6}{100 \text{ cm}}$

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Länge auf dem Bild berechnen

   Wir teilen die wirkliche Breite durch die Zahl des Maßstabs ($\textcolor{#9570FF}{50}$):

   $\textcolor{#53E5D6}{100 \text{ cm}} : \textcolor{#9570FF}{50} = \textcolor{#08BFFF}{2 \text{ cm}}$

Ergebnis:

Die Tür muss auf dem Plan $\textcolor{#08BFFF}{2 \text{ cm}}$ breit gezeichnet werden.

Aufgabentyp 3: Den Maßstab bestimmen

Was ist, wenn wir ein Modell und das echte Objekt haben, aber den Maßstab nicht kennen? Wir können ihn selbst herausfinden!

Ein Maßstab vergleicht immer die Länge auf dem Bild mit der wirklichen Länge. Wenn ein Spielzeugauto $\textcolor{#08BFFF}{5 \text{ cm}}$ lang ist und das echte Auto $\textcolor{#53E5D6}{500 \text{ cm}}$, ist das Verhältnis $5 : 500$. Wenn wir beides durch $5$ teilen, erhalten wir den Maßstab $\textcolor{#9570FF}{1:100}$.

Damit wir die Längen fair vergleichen können, müssen beide immer in derselben Einheit (Zentimeter) stehen. Dann schreiben wir sie als Verhältnis auf und vereinfachen es, bis vorne eine $1$ steht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Längen in die gleiche Einheit umrechnen: Wandle die wirkliche Länge in Zentimeter (cm) um, damit beide Längen dieselbe Einheit haben.
2. Verhältnis aufstellen: Schreibe das Verhältnis auf: Länge auf dem Bild : wirkliche Länge.
3. Zum Maßstab vereinfachen: Teile beide Seiten des Verhältnisses durch die vordere Zahl (die Länge auf dem Bild). So erhältst du einen Maßstab in der Form $1:n$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Auf dem Plan eines Spielplatzes ist eine Rutsche $\textcolor{#08BFFF}{12 \text{ cm}}$ lang. In der Realität misst die Rutsche $\textcolor{#53E5D6}{6 \text{ m}}$. Bestimme den Maßstab des Plans.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Längen in die gleiche Einheit umrechnen

   Wir rechnen die wirkliche Länge der Rutsche in Zentimeter um:

   $\textcolor{#53E5D6}{6 \text{ m}} = \textcolor{#53E5D6}{600 \text{ cm}}$

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   Schritt 2
   Verhältnis aufstellen

   Wir schreiben die Länge auf dem Plan und die wirkliche Länge als Verhältnis auf:

   $\textcolor{#08BFFF}{12 \text{ cm}} : \textcolor{#53E5D6}{600 \text{ cm}}$

   Da die Einheiten gleich sind, können wir sie weglassen:

   $12 : 600$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Zum Maßstab vereinfachen

   Wir wollen, dass vorne eine $1$ steht. Deshalb teilen wir beide Seiten durch $12$:

   Linke Seite: $12 : 12 = 1$

   Rechte Seite: $600 : 12 = 50$

Ergebnis:

Der Maßstab des Plans beträgt $\textcolor{#9570FF}{1:50}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Maßstab von $1:n$ bedeutet, dass $1 \text{ cm}$ auf dem Bild in Wirklichkeit $n \text{ cm}$ sind.
• Wirkliche Länge berechnen: Länge auf dem Bild $\cdot$ Maßstabszahl.
• Länge auf dem Bild berechnen: Wirkliche Länge $:$ Maßstabszahl.
• Maßstab bestimmen: Beide Längen in dieselbe Einheit umrechnen und das Verhältnis auf $1:n$ vereinfachen.