Entladen von Kondensatoren einfach erklärt: Formel & Beispiele

Hast du dich jemals gefragt, warum das kleine Licht an deinem Fernseher oder Ladekabel noch ein paar Sekunden weiterleuchtet, nachdem du den Stecker gezogen hast?

Das liegt an einem Bauteil im Inneren: dem Kondensator. Er funktioniert wie ein winziger Zwischenspeicher für elektrische Energie. Wenn der Strom ausfällt, gibt der Kondensator seine gespeicherte Energie ab – allerdings nicht auf einmal, sondern nach und nach. In diesem Artikel zum Thema Entladen von Kondensatoren lernen wir, wie diese Energie abfließt und wie wir genau berechnen können, wie viel Spannung nach einer bestimmten Zeit noch im Kondensator übrig ist!

Vorwissen

• Kapazität ($C$): Gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator speichern kann. Die Einheit ist Farad ($\text{F}$). Beispiel: Ein Kondensator mit $100 \text{ }\mu\text{ F}$ kann eine bestimmte Menge an Elektronen auf seinen Platten speichern.
• Elektrische Spannung ($U$): Der elektrische „Druck“, der die Elektronen durch den Stromkreis treibt. Die Einheit ist Volt ($\text{V}$). Beispiel: Eine Batterie liefert eine Spannung von $9 \text{ V}$.
• Elektrischer Widerstand ($R$): Ein Bauteil, das den Stromfluss bremst. Die Einheit ist Ohm ($\Omega$). Beispiel: Ein Widerstand von $1000 \text{ }\Omega$ lässt weniger Strom durch als ein Widerstand von $10 \text{ }\Omega$.

Aufgabentyp 1: Entladevorgang eines Kondensators berechnen

Um das Entladen von Kondensatoren zu verstehen, stell dir einen vollen Wasserbehälter mit einem Loch im Boden vor. Am Anfang ist der Wasserdruck hoch, und das Wasser spritzt in einem starken Strahl heraus. Je leerer der Behälter wird, desto geringer wird der Druck, und das Wasser fließt immer langsamer.

Genau so verhält sich ein Kondensator! Wenn ein geladener Kondensator über einen Widerstand entladen wird, fließen die Elektronen von der einen Platte zur anderen. Am Anfang ist die Spannung sehr hoch. Deshalb fließt viel Strom und die Spannung sinkt schnell. Je weiter die Spannung sinkt, desto schwächer wird der Strom. Dadurch sinkt die Spannung immer langsamer.

Dieser Vorgang wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben:

$\textcolor{#08BFFF}{U}(\textcolor{#9570FF}{t}) = U_0 \cdot e^{-\frac{\textcolor{#9570FF}{t}}{\textcolor{#53E5D6}{R \cdot C}}}$

• $\textcolor{#08BFFF}{U}(\textcolor{#9570FF}{t})$ ist die Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt.
• $U_0$ ist die Anfangsspannung (ganz zu Beginn).
• $e$ ist die Eulersche Zahl (ein fester mathematischer Wert, ca. $2,718$).
• $\textcolor{#9570FF}{t}$ ist die vergangene Zeit.
• $\textcolor{#53E5D6}{R \cdot C}$ ist das Produkt aus Widerstand und Kapazität.

Das Diagramm zeigt: Je größer der Widerstand $R$ (oder die Kapazität $C$) ist, desto langsamer entlädt sich der Kondensator. Die Kurve verläuft dann flacher.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene und gesuchte Werte notieren: Schreibe alle Werte aus der Aufgabe auf. Achte besonders auf die Einheiten! Wandle Präfixe um (z. B. $1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ }\Omega$ oder $1 \mu\text{F} = 10^{-6} \text{ F}$).
2. Die Entladegleichung aufstellen: Notiere die Grundformel: $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}$.
3. Das Produkt aus R und C berechnen: Berechne den Wert für $R \cdot C$ separat. Das macht die Formel übersichtlicher und verhindert Tippfehler im Taschenrechner.
4. Werte einsetzen und auflösen: Setze die bekannten Zahlen ein. Wenn du die Spannung suchst, kannst du den Ausdruck direkt in den Taschenrechner eintippen. Wenn du die Zeit suchst, musst du die Gleichung umstellen und den natürlichen Logarithmus ($\ln$) verwenden, um das $t$ aus dem Exponenten zu holen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Ein Kondensator mit einer Kapazität von $C = 470 \text{ }\mu\text{F}$ ist auf eine Anfangsspannung von $U_0 = 12 \text{ V}$ aufgeladen. Er wird über einen Widerstand von $R = 10 \text{ k}\Omega$ entladen. Berechne die Spannung nach $t = 5 \text{ s}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene und gesuchte Werte notieren

   Gegeben: $C = 470 \text{ \mu F} = 470 \cdot 10^{-6} \text{ F}$ $R = 10 \text{ k}\Omega = 10000 \text{ }\Omega$ $U_0 = 12 \text{ V}$ $t = 5 \text{ s}$ Gesucht: Spannung nach 5 Sekunden: $U(5) = ?$

2. 2
   Schritt 2
   Die Entladegleichung aufstellen

   $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}$

3. 3
   Schritt 3
   Das Produkt aus R und C berechnen

   $R \cdot C = 10000 \text{ }\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6} \text{ F}$ $R \cdot C = 4,7 \text{ s}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Werte einsetzen und auflösen

   Nun setzen wir alle Werte in die Formel ein: $U(5) = 12 \text{ V} \cdot e^{-\frac{5 \text{ s}}{4,7 \text{ s}}}$ $U(5) = 12 \text{ V} \cdot e^{-1,064}$ $U(5) \approx 12 \text{ V} \cdot 0,345$ $U(5) \approx 4,14 \text{ V}$

Ergebnis:

Nach $5 \text{ Sekunden}$ beträgt die Spannung am Kondensator noch etwa $4,14 \text{ V}$. Realitätscheck: Die Spannung ist von $12 \text{ V}$ auf ca. $4 \text{ V}$ gesunken. Das ergibt Sinn, da sich der Kondensator entlädt und die Spannung abnehmen muss.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Spannung an einem sich entladenden Kondensator nimmt exponentiell ab. Am Anfang sinkt sie schnell, später immer langsamer.
• Die Formel zur Berechnung lautet: $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}$.
• Je größer der Widerstand ($R$) oder die Kapazität ($C$) ist, desto langsamer entlädt sich der Kondensator.