Messgenauigkeit und Fehleranalyse einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du stoppst die Zeit deines Freundes bei einem 50-Meter-Sprint. Du misst $8{,}1 \text{ s}$, ein anderer Freund misst $7{,}9 \text{ s}$ und ein dritter misst $8{,}2 \text{ s}$. Wer hat recht?

In der Physik ist keine einzige Messung absolut perfekt! Es gibt immer winzige Abweichungen. In dieser Lektion zur Messgenauigkeit und Fehleranalyse lernen wir, wie wir mit diesen kleinen Fehlern umgehen, wie wir den besten Wert herausfinden und wie wir Ergebnisse so aufschreiben, wie es echte Wissenschaftler tun.

Vorwissen

• Durchschnitt (Mittelwert) berechnen: Man addiert alle Werte und teilt das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. Beispiel: Um den Mittelwert von $2$ und $4$ zu finden, rechnet man $(2 + 4) / 2 = 3$.
• Runden von Dezimalzahlen: Bei den Ziffern $0$ bis $4$ wird abgerundet, bei $5$ bis $9$ wird aufgerundet. Beispiel: Die Zahl $3{,}46$ wird auf eine Nachkommastelle gerundet zu $3{,}5$, da die $6$ aufrundet.

Aufgabentyp 1: Messfehler und der Mittelwert

Egal wie gut dein Lineal oder deine Stoppuhr ist, Messungen sind nie zu 100 % exakt. Es gibt immer zufällige Messfehler. Vielleicht hast du die Stoppuhr einen Sekundenbruchteil zu spät gedrückt oder schräg auf das Lineal geschaut.

Um trotzdem ein sehr genaues Ergebnis zu bekommen, messen Physiker einfach mehrmals! Dabei gehst du in zwei Schritten vor:

• Ausreißer aussortieren: Manchmal passiert ein grober Fehler (z. B. du hast dich komplett verlesen). Ein Wert, der extrem von allen anderen abweicht, ist ein Ausreißer. Diesen streichen wir einfach durch!
• Mittelwert berechnen: Aus den restlichen, guten Werten berechnen wir den Durchschnitt. Das ist unser bestes und genauestes Endergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Signifikante Stellen

Stell dir vor, du misst die Länge eines Stiftes mit einem normalen Lineal und schreibst auf: $12{,}34567 \text{ cm}$. Das ist unmöglich! Dein Lineal zeigt nur Millimeter an. So viele Nachkommastellen täuschen eine falsche Genauigkeit vor.

Deshalb nutzen wir signifikante Stellen (auch gültige Stellen genannt). Das sind alle Ziffern einer Zahl, bei denen wir uns durch das Ablesen wirklich sicher sind.

So zählst du sie (von links nach rechts):

• $F = 2 \text{ N}$ hat eine signifikante Stelle.
• $F = 2{,}1 \text{ N}$ hat zwei signifikante Stellen.
• $F = 2{,}10 \text{ N}$ hat drei signifikante Stellen (die Null am Ende zeigt, dass wir genau auf diese Stelle gemessen haben).

Aufgabentyp 3: Rechnen mit Messwerten

Wenn du mit Messwerten rechnest (zum Beispiel Länge mal Breite rechnest, um eine Fläche zu bekommen), spuckt dein Taschenrechner oft eine Zahl mit extrem vielen Nachkommastellen aus. Auch hier dürfen wir keine falsche Genauigkeit vortäuschen!

Die goldene Regel für das Multiplizieren: Das Endergebnis darf höchstens so viele signifikante Stellen haben wie der Messwert mit den wenigsten signifikanten Stellen in deiner Rechnung. Eine Kette ist nur so stark wie ihr schwächstes Glied!

Wenn du zum Beispiel einen Wert mit 2 Stellen und einen Wert mit 3 Stellen multiplizierst, darf dein Endergebnis nur 2 Stellen haben. Du musst das Taschenrechner-Ergebnis also runden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schau dir alle Messwerte an und zähle die signifikanten Stellen.
2. Finde den Messwert mit den wenigsten signifikanten Stellen und merke dir die Anzahl.
3. Rechne die Aufgabe mit dem Taschenrechner aus und notiere das genaue Ergebnis.
4. Runde das Ergebnis auf die gemerkte Anzahl der signifikanten Stellen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Du berechnest die Fläche eines kleinen Rechtecks. Die Länge beträgt $4{,}5 \text{ cm}$ und die Breite beträgt $2{,}12 \text{ cm}$. Berechne die Fläche und gib das Ergebnis mit der korrekten Anzahl an signifikanten Stellen an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Signifikante Stellen zählen

   Länge = $\textcolor{#08BFFF}{4{,}5 \text{ cm}}$ (2 signifikante Stellen)

   Breite = $\textcolor{#9570FF}{2{,}12 \text{ cm}}$ (3 signifikante Stellen)

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   Schritt 2
   Das schwächste Glied finden

   Der Wert mit den wenigsten Stellen ist die Länge (2 Stellen). Unser Endergebnis darf also auch nur 2 signifikante Stellen haben.

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   Schritt 3
   Ganz normal rechnen

   Fläche = Länge $\cdot$ Breite

   $A = \textcolor{#08BFFF}{4{,}5 \text{ cm}} \cdot \textcolor{#9570FF}{2{,}12 \text{ cm}}$

   $A = 9{,}54 \text{ cm}^{2}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Das Ergebnis runden

   Das Taschenrechner-Ergebnis $9{,}54$ hat 3 Stellen. Wir müssen es auf 2 Stellen runden.

   Die dritte Stelle ist eine 4, also runden wir ab.

   $A \approx 9{,}5 \text{ cm}^{2}$

Ergebnis:

Die Fläche beträgt $9{,}5 \text{ cm}^{2}$. (Realitätscheck: Die Einheit ist $\text{cm}^{2}$, was für eine Fläche korrekt ist. Überschlag im Kopf: $4{,}5 \cdot 2$ ist $9$. Das Ergebnis $9{,}5$ macht also absolut Sinn.)

Wichtige Erkenntnisse

• Messungen haben immer zufällige Fehler. Wiederhole Messungen und berechne den Mittelwert, um genauer zu werden.
• Streiche extreme Fehlmessungen (Ausreißer) vorher weg.
• Signifikante Stellen zeigen, wie genau dein Messgerät wirklich ist. Erfinde keine Nachkommastellen!
• Beim Multiplizieren darf das Endergebnis nur so viele signifikante Stellen haben wie der Messwert mit den wenigsten Stellen.