Quantitative Analyse des Alkoholgehalts: Widmark-Formel

Hast du dich schon einmal gefragt, was die Aufschrift „5 % Vol.“ auf einer Getränkeflasche eigentlich bedeutet? Das ist pure Mathematik und Chemie! Bei der quantitativen Analyse des Alkoholgehalts verrät uns diese Zahl genau, wie viel reiner Alkohol in dem Getränk versteckt ist. In dieser Lektion lernst du, wie man diese Menge berechnet, sie in Gramm umwandelt und sogar vorhersagt, wie sich dieser Alkohol im menschlichen Körper verteilt. Mit ein paar einfachen Formeln wirst du zum Experten für die Berechnung der Blutalkoholkonzentration!

Vorwissen

• Prozentrechnung: Prozent bedeutet „von Hundert“. Um mit Prozenten zu rechnen, wandeln wir sie in Kommazahlen um.

  Beispiel: $5\% = \frac{5}{100} = 0{,}05$.

• Dichte ($\rho$): Die Dichte verbindet das Volumen ($V$) mit der Masse ($m$). Die Formel lautet: $m = \rho \cdot V$.

  Beispiel: Wenn $1 \text{ ml}$ einer Flüssigkeit $2 \text{ g}$ wiegt, dann wiegen $10 \text{ ml}$ genau $20 \text{ g}$.

• Wichtige Einheitenumrechnungen:

  Volumen: $1 \text{ Liter (L)} = 1000 \text{ Milliliter (ml)}$.

  Masse: $1 \text{ Kilogramm (kg)} = 1000 \text{ Gramm (g)}$.

Aufgabentyp 1: Blutalkoholkonzentration berechnen

Alkoholische Getränke sind Mischungen aus Wasser, Geschmacksstoffen und reinem Alkohol. Der Alkoholgehalt wird als Volumenkonzentration ($\sigma$) in Prozent angegeben.

Um herauszufinden, wie viel reines Alkoholvolumen in einem Getränk steckt, multiplizieren wir die Prozentzahl (als Kommazahl) mit dem gesamten Volumen des Getränks:

$\textcolor{#08BFFF}{V(\text{Alkohol})} = \sigma \cdot V(\text{Getränk})$

Wenn wir zum Beispiel $0{,}3 \text{ L}$ ($300 \text{ ml}$) eines Getränks mit $5\%$ Alkohol haben, rechnen wir: $0{,}05 \cdot 300 \text{ ml} = \textcolor{#08BFFF}{15 \text{ ml}}$. Es sind also $15 \text{ ml}$ reiner Alkohol enthalten.

Unser Körper reagiert aber nicht auf das Volumen, sondern auf die Masse des Alkohols (in Gramm). Alkohol ist leichter als Wasser. Seine Dichte ($\rho$) beträgt etwa $0{,}785 \text{ g/ml}$. Das bedeutet, $1 \text{ ml}$ Alkohol wiegt nur $0{,}785 \text{ g}$. Um die Masse zu berechnen, nutzen wir die Dichte-Formel:

$\textcolor{#53E5D6}{m(\text{Alkohol})} = \rho(\text{Alkohol}) \cdot \textcolor{#08BFFF}{V(\text{Alkohol})}$

Für unser Beispiel: $\textcolor{#53E5D6}{m(\text{Alkohol})} = 0{,}785 \text{ g/ml} \cdot \textcolor{#08BFFF}{15 \text{ ml}} = \textcolor{#53E5D6}{11{,}8 \text{ g}}$. In dem Getränk stecken also $11{,}8 \text{ g}$ reiner Alkohol.

Wenn wir die Masse des getrunkenen Alkohols kennen, können wir abschätzen, wie stark er sich im Blut anreichert. Dafür nutzen wir die Widmark-Formel.

Alkohol verteilt sich im Körper nur in den wasserhaltigen Bereichen (wie Blut und Muskeln), aber nicht in Knochen oder Fettgewebe. Da der Körperbau von Männern und Frauen im Durchschnitt unterschiedlich ist, gibt es einen sogenannten Reduktionsfaktor ($r$):

• Für Männer: $r = 0{,}7$ (ca. $70\%$ des Körpers nehmen Alkohol auf)

• Für Frauen: $r = 0{,}6$ (ca. $60\%$ des Körpers nehmen Alkohol auf)

Die Widmark-Formel teilt die Masse des Alkohols durch die Masse der Person (angepasst durch den Faktor $r$):

$w = \frac{\textcolor{#53E5D6}{m(\text{Alkohol})}}{m(\text{Person}) \cdot r}$

Wichtig: Wenn wir die Masse des Alkohols in Gramm (g) und das Körpergewicht der Person ebenfalls in Gramm (g) einsetzen, erhalten wir eine sehr kleine Kommazahl. Um den bekannten Promille-Wert (‰) zu erhalten, multiplizieren wir dieses Ergebnis einfach mit $1000$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Volumen des reinen Alkohols berechnen: Wandle das Getränkevolumen in Milliliter (ml) um ($1 \text{ L} = 1000 \text{ ml}$). Multipliziere es mit der Volumenkonzentration (als Kommazahl): $\textcolor{#08BFFF}{V} = \sigma \cdot V(\text{Getränk})$.
2. Masse des Alkohols berechnen: Multipliziere das Volumen mit der Dichte ($\rho = 0{,}785 \text{ g/ml}$): $\textcolor{#53E5D6}{m} = 0{,}785 \cdot \textcolor{#08BFFF}{V}$.
3. Körpergewicht anpassen: Wandle das Körpergewicht der Person in Gramm um ($1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$). Wähle den passenden Faktor ($r = 0{,}7$ für Männer, $r = 0{,}6$ für Frauen).
4. Widmark-Formel anwenden: Teile die Alkoholmasse durch (Körpergewicht in Gramm $\cdot$ Faktor $r$). Multipliziere das Ergebnis mit $1000$, um den Wert in Promille (‰) zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Volumenkonzentration gibt an, wie viel reiner Alkohol in einem Getränk ist ($V = \sigma \cdot V_{\text{Getränk}}$).
• Um das Volumen in Masse umzurechnen, multipliziert man es mit der Dichte von Alkohol ($\rho = 0{,}785 \text{ g/ml}$).
• Die Widmark-Formel berechnet den Blutalkohol: $w = \frac{m(\text{Alkohol})}{m(\text{Person}) \cdot r}$.
• Der Reduktionsfaktor ($r$) beträgt $0{,}7$ für Männer und $0{,}6$ für Frauen.