Untersuchen auf Ähnlichkeit in Figuren einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du schaust dir ein Foto auf deinem Smartphone an und zoomst mit zwei Fingern heran. Das Bild wird größer, aber die Gesichter und Gegenstände verzerren sich nicht. Sie behalten exakt ihre Form, nur ihre Größe ändert sich. In der Mathematik nennen wir genau das Ähnlichkeit. Zwei Figuren sind zueinander ähnlich, wenn die eine wie eine fehlerfreie Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen aussieht. In diesem Artikel lernst du, wie du beim Untersuchen auf Ähnlichkeit in Figuren mit einfachen Rechnungen wie ein Detektiv überprüfen kannst, ob zwei Dreiecke oder Vierecke wirklich mathematisch ähnlich sind oder ob sie heimlich verzerrt wurden!

Vorwissen

• Verhältnis (Bruch): Ein Verhältnis vergleicht zwei Zahlen miteinander, indem man sie teilt. Man schreibt es oft als Bruch. Beispiel: Das Verhältnis von $6$ zu $3$ ist $\frac{6}{3} = 2$.
• Zentrische Streckung: Wenn eine Figur gestreckt wird, ändern sich die Seitenlängen, aber alle Winkel bleiben exakt gleich groß. Beispiel: Ein Dreieck wird mit dem Faktor $2$ vergrößert. Die Form bleibt gleich, die Seiten sind nur doppelt so lang.

Aufgabentyp 1: Ähnlichkeit bei Dreiecken

Dreiecke sind in der Mathematik sehr stabile und besondere Figuren. Wenn wir prüfen wollen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, haben wir es leicht. Es reicht aus, wenn nur eine der folgenden zwei Bedingungen erfüllt ist:

• Bedingung 1 (Winkel): Alle drei Winkel sind in beiden Dreiecken gleich groß.
• Bedingung 2 (Seitenverhältnisse): Alle drei Paare von zugehörigen Seiten haben exakt dasselbe Verhältnis.

Meistens prüfen wir die Seitenverhältnisse. Das bedeutet: Wir teilen die Länge einer Seite des ersten Dreiecks durch die Länge der passenden Seite des zweiten Dreiecks. Wenn bei allen drei Rechnungen dieselbe Zahl herauskommt, sind die Dreiecke ähnlich.

Schauen wir uns die Dreiecke im Bild an. Wir teilen die großen Seiten durch die kleinen Seiten:

• Kürzeste Seiten: $\frac{\textcolor{#08BFFF}{6}}{\textcolor{#9570FF}{3}} = 2$
• Mittlere Seiten: $\frac{\textcolor{#08BFFF}{8}}{\textcolor{#9570FF}{4}} = 2$
• Längste Seiten: $\frac{\textcolor{#08BFFF}{10}}{\textcolor{#9570FF}{5}} = 2$

Da überall exakt $2$ herauskommt, sind die Dreiecke ähnlich! Der Faktor $2$ sagt uns einfach, dass die Seiten des großen Dreiecks doppelt so lang sind wie die des kleinen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Dieser Plan hilft dir, die Seitenverhältnisse von Dreiecken zu überprüfen:

1. Seiten richtig zuordnen: Sortiere die Seiten beider Dreiecke nach ihrer Länge. Die längste Seite der ersten Figur gehört zur längsten Seite der zweiten Figur, die kürzeste zur kürzesten.
2. Verhältnisse berechnen: Teile nun die Längen der zusammengehörigen Seiten durcheinander. Schreibe dafür Brüche auf und rechne sie aus.
3. Ergebnisse vergleichen: Sind alle Zahlen exakt gleich, stimmen die Seitenverhältnisse überein und die Dreiecke sind ähnlich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind zwei Dreiecke. Dreieck STU hat die Seitenlängen $6 \text{ cm}$, $6 \text{ cm}$ und $8 \text{ cm}$. Dreieck VWZ hat die Seitenlängen $3 \text{ cm}$, $3 \text{ cm}$ und $4 \text{ cm}$. Untersuche rechnerisch, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Seiten richtig zuordnen

   Da es sich um Dreiecke handelt, sortieren wir die Seiten beider Dreiecke nach ihrer Länge, um die passenden Paare zu finden:

   • Längste Seiten: $8 \text{ cm}$ und $4 \text{ cm}$
   • Kürzere Seiten: $6 \text{ cm}$ und $3 \text{ cm}$
   • Übrige Seiten: $6 \text{ cm}$ und $3 \text{ cm}$
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   Schritt 2
   Verhältnisse berechnen

   Wir teilen nun jeweils die Seite des großen Dreiecks durch die passende Seite des kleinen Dreiecks:

   • Längste Seiten: $\frac{8}{4} = 2$
   • Kürzere Seiten: $\frac{6}{3} = 2$
   • Übrige Seiten: $\frac{6}{3} = 2$
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Ergebnisse vergleichen

   Da bei allen drei Rechnungen exakt das gleiche Ergebnis ($2$) herauskommt, stimmen alle Seitenverhältnisse überein.

Ergebnis:

Die beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich.

Aufgabentyp 2: Ähnlichkeit bei Figuren mit mehr als drei Ecken

Sobald eine Figur vier oder mehr Ecken hat (wie ein Rechteck), werden die Regeln strenger. Bei diesen Figuren reicht es nicht mehr aus, nur eine Sache zu prüfen!

Schau dir das Quadrat und das lange Rechteck im Bild an. Beide Figuren haben in allen Ecken exakt $90^\circ$ Winkel. Aber sind sie ähnlich? Nein! Das Rechteck sieht völlig verzerrt aus und ist keine gleichmäßige Vergrößerung des Quadrats.

Deshalb gilt für alle Figuren mit mehr als drei Ecken: Zwei Figuren sind nur dann ähnlich, wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

1. Alle entsprechenden Winkel müssen gleich groß sein UND
2. Alle entsprechenden Seitenverhältnisse müssen exakt gleich sein.

Wenn auch nur ein einziges Seitenverhältnis ein anderes Ergebnis liefert, ist die Figur verzerrt und somit nicht ähnlich.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Dieser Plan hilft dir, die Ähnlichkeit bei Vierecken und anderen Vielecken zu überprüfen:

1. Winkel prüfen: Stelle sicher, dass alle entsprechenden Winkel in beiden Figuren gleich groß sind.
2. Seiten richtig zuordnen: Ordne die Seiten anhand ihrer Position und Reihenfolge entlang des Umfangs zu (z. B. Länge zu Länge, Breite zu Breite).
3. Verhältnisse berechnen: Teile die Längen der zusammengehörigen Seiten durcheinander und berechne die Ergebnisse.
4. Ergebnisse vergleichen: Gibt es auch nur einen Unterschied bei den Verhältnissen, sind die Figuren nicht ähnlich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Untersuche die beiden Rechtecke auf Ähnlichkeit. Rechteck 1 hat eine Länge von $4 \text{ cm}$ und eine Breite von $2 \text{ cm}$. Rechteck 2 hat eine Länge von $5 \text{ cm}$ und eine Breite von $2 \text{ cm}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Winkel prüfen

   Da es sich um Rechtecke handelt, wissen wir, dass alle Winkel $90^\circ$ groß sind. Die erste Bedingung (gleiche Winkel) ist also erfüllt. Bei Vierecken müssen wir nun aber zwingend auch die Seiten prüfen!

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   Schritt 2
   Verhältnisse berechnen

   Wir ordnen die Seiten zu (Länge zu Länge, Breite zu Breite) und berechnen die Verhältnisse:

   • Verhältnis der Längen: $\frac{5}{4} = 1{,}25$
   • Verhältnis der Breiten: $\frac{2}{2} = 1$
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Ergebnisse vergleichen

   Wir vergleichen die Ergebnisse: $1{,}25$ ist nicht das Gleiche wie $1$. Die Seitenverhältnisse stimmen also nicht überein.

Ergebnis:

Daher sind die beiden Rechtecke nicht ähnlich zueinander.

Wichtige Erkenntnisse

• Ähnlichkeit bedeutet: Gleiche Form, aber unterschiedliche Größe (wie herangezoomt).
• Bei Dreiecken: Es reicht, wenn entweder alle Winkel gleich sind oder alle Seitenverhältnisse übereinstimmen.
• Bei Figuren ab 4 Ecken (z.B. Rechtecke): Hier müssen zwingend beide Bedingungen erfüllt sein! Gleiche Winkel allein reichen nicht aus.
• Der Rechen-Trick für Dreiecke: Teile immer die zusammengehörigen Seiten durcheinander (längste durch längste, kürzeste durch kürzeste). Bei anderen Vielecken musst du die Seiten in der korrekten Reihenfolge entlang des Umfangs zuordnen. Kommt überall dieselbe Zahl heraus, stimmen die Verhältnisse.