Erster und zweiter Strahlensatz einfach erklärt: Beispiele

Der erste und zweite Strahlensatz sind wichtige Werkzeuge in der Geometrie. Stell dir vor, du hältst deine Hand in den Lichtkegel einer Taschenlampe. An der Wand hinter deiner Hand entsteht ein Schatten. Wenn du deine Hand näher an die Taschenlampe bewegst, wird der Schatten an der Wand größer, obwohl deine Hand gleich groß bleibt.

Dieses Prinzip aus Lichtstrahlen und parallelen Flächen (Hand und Wand) bildet in der Mathematik eine bestimmte Figur. Mit den sogenannten Strahlensätzen können wir in solchen Figuren fehlende Längen ganz einfach berechnen, ohne sie mühsam abmessen zu müssen. Wir schauen uns nun an, wie diese mathematischen Werkzeuge funktionieren.

Vorwissen

• Bruchgleichungen lösen: Um eine Variable im Zähler eines Bruchs herauszufinden, multiplizieren wir beide Seiten mit dem Nenner. Beispiel: Bei $\frac{x}{4} = 3$ rechnen wir $\cdot 4$ und erhalten $x = 12$.
• Strahlen und Parallelen: Ein Strahl hat einen Startpunkt, aber kein Ende. Parallele Geraden verlaufen immer im exakt gleichen Abstand zueinander und schneiden sich nie. Beispiel: Die gegenüberliegenden Kanten eines Lineals sind parallel.

Aufgabentyp 1: Länge einer Strecke bestimmen - Erster Strahlensatz

Um die Strahlensätze anwenden zu können, brauchen wir immer ein bestimmtes Grundgerüst. Es müssen zwei Voraussetzungen erfüllt sein:

1. Zwei Strahlen (oder Geraden) schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Wir nennen diesen Punkt oft das Zentrum.
2. Zwei parallele Geraden schneiden diese beiden Strahlen.

Je nachdem, wo die parallelen Geraden liegen, entstehen zwei verschiedene Figuren:

• Die V-Figur: Beide Parallelen liegen auf der gleichen Seite vom Zentrum. Die Figur sieht aus wie ein liegendes "V".
• Die X-Figur: Die Parallelen liegen auf gegenüberliegenden Seiten vom Zentrum. Die Figur sieht aus wie ein "X".

Der Erste Strahlensatz vergleicht nur die Längen der Abschnitte, die direkt auf den Strahlen liegen. Die Längen der parallelen Linien selbst spielen hier keine Rolle!

Die Regel lautet: Das Verhältnis der Abschnitte auf dem ersten Strahl ist genauso groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem zweiten Strahl.

Für beide Figuren (V und X) gilt der Vergleich Stück für Stück:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{b}}{\textcolor{#08BFFF}{a}} = \frac{\textcolor{#9570FF}{d}}{\textcolor{#9570FF}{c}}$

Beispiel: Wenn $\textcolor{#08BFFF}{a=3}$ und $\textcolor{#08BFFF}{b=6}$ ist, dann ist der hintere Abschnitt doppelt so lang wie der vordere ($\frac{6}{3} = 2$). Dann muss auf dem anderen Strahl der hintere Abschnitt $\textcolor{#9570FF}{d}$ auch doppelt so lang sein wie $\textcolor{#9570FF}{c}$.

Speziell für die V-Figur gibt es noch eine zweite Formel. Hier vergleichen wir die Gesamtlänge (vom Zentrum bis zur hinteren Parallele) mit dem vorderen Stück:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{a+b}}{\textcolor{#08BFFF}{a}} = \frac{\textcolor{#9570FF}{c+d}}{\textcolor{#9570FF}{c}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Figur und Strahlensatz erkennen: Prüfe, ob eine V-Figur oder X-Figur vorliegt. Wenn Längen auf den Strahlen gesucht oder gegeben sind, nutzt du den Ersten Strahlensatz.
2. Werte zuordnen: Finde heraus, welche Zahlen zu welchem Strahl gehören. Schreibe dir auf, was $a, b, c$ und $d$ sind. Eine dieser Variablen ist dein gesuchtes $x$.
3. Gleichung aufstellen: Setze die Zahlen in die Formel $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ ein. Tipp: Es ist oft leichter zu rechnen, wenn das gesuchte $x$ oben im Bruch (im Zähler) steht.
4. Gleichung lösen: Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner, der unter dem $x$ steht, um $x$ alleine auf einer Seite stehen zu haben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Die beiden vertikalen Geraden in der Abbildung sind parallel zueinander. Berechne die fehlende Länge $x$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1 & 2
   Figur erkennen und Werte zuordnen

   Wir haben eine V-Figur. Es geht um Abschnitte auf den Strahlen, also brauchen wir den Ersten Strahlensatz.

   • Oberer Strahl: Vorne ist $x$, hinten ist $8$.
   • Unterer Strahl: Vorne ist $12$, hinten ist $16$.
2. 2
   Schritt 3
   Gleichung aufstellen

   Wir nutzen die Formel (Stück zu Stück) und setzen die Werte ein: $\frac{8}{x} = \frac{16}{12}$ Da das $x$ hier unten steht, können wir auf beiden Seiten einfach Zähler und Nenner tauschen (den Kehrwert bilden), damit es leichter wird: $\frac{x}{8} = \frac{12}{16}$

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir multiplizieren mit $8$, damit das $x$ alleine steht: $x = \frac{12}{16} \cdot 8$ $x = \frac{96}{16}$ $x = 6$

Ergebnis:

Die gesuchte Länge ist $6$.

Aufgabentyp 2: Parallelität zweier Geraden nachweisen

Bisher wussten wir immer, dass die beiden Geraden parallel sind. Aber was ist, wenn wir das nicht sicher wissen?

Hier hilft uns die Umkehrung des Ersten Strahlensatzes. Sie besagt: Wenn die Längenverhältnisse auf beiden Strahlen exakt gleich sind, dann müssen die beiden Geraden parallel zueinander sein.

Wir drehen den Spieß also einfach um. Wir berechnen keine fehlende Länge, sondern wir überprüfen, ob die linke Seite unserer Formel das gleiche Ergebnis liefert wie die rechte Seite.

• Wir rechnen den Bruch für den ersten Strahl aus: $\frac{b}{a}$
• Wir rechnen den Bruch für den zweiten Strahl aus: $\frac{d}{c}$

Wenn bei beiden Rechnungen exakt dieselbe Zahl (oder derselbe gekürzte Bruch) herauskommt, sind die Geraden parallel. Wenn nicht, sind sie schief zueinander.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Verhältnisse aufstellen: Schreibe den Bruch für die Abschnitte auf dem ersten Strahl auf (z.B. hinteres Stück geteilt durch vorderes Stück).
2. Brüche ausrechnen oder kürzen: Rechne den Bruch aus (als Kommazahl) oder kürze ihn so weit wie möglich.
3. Zweiten Strahl prüfen: Mache genau das Gleiche für die Abschnitte auf dem zweiten Strahl.
4. Ergebnisse vergleichen: Vergleiche die beiden Ergebnisse. Sind sie identisch, sind die Geraden parallel.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, ob die Geraden $h$ und $i$ parallel zueinander sind.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1 & 2
   Ersten Strahl prüfen

   Wir betrachten den oberen Strahl. Das hintere Stück ist $6$, das vordere ist $12$. Wir stellen das Verhältnis auf und kürzen den Bruch mit $6$: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

2. 2
   Schritt 3
   Zweiten Strahl prüfen

   Nun betrachten wir den unteren Strahl. Das hintere Stück ist $8$, das vordere ist $16$. Wir stellen das Verhältnis auf und kürzen den Bruch mit $8$: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnisse vergleichen

   Da $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ gilt, ist das Verhältnis auf beiden Strahlen exakt gleich.

Ergebnis:

Ja, nach der Umkehrung des Ersten Strahlensatzes sind die Geraden $h$ und $i$ parallel zueinander.

Aufgabentyp 3: Länge einer Strecke bestimmen - Zweiter Strahlensatz

Der Erste Strahlensatz hilft uns nur auf den Strahlen. Wenn wir aber die Länge der parallelen Geraden selbst berechnen wollen, brauchen wir den Zweiten Strahlensatz.

Der Zweite Strahlensatz vergleicht die Längen der Parallelen mit den Längen auf den Strahlen.

⚠️ Achtung, häufiger Fehler bei der V-Figur! Wenn du die lange Parallele ($\textcolor{#53E5D6}{y}$) berechnen willst, darfst du auf dem Strahl nicht nur das hintere Stück ($b$) nehmen. Du musst immer am Zentrum starten! Du brauchst also die Gesamtlänge ($a+b$).

Die Formel für die V-Figur lautet:

$\frac{\textcolor{#53E5D6}{x}}{\textcolor{#53E5D6}{y}} = \frac{a}{a+b}$

(Kurze Parallele durch lange Parallele = Kurzer Strahl durch langen Strahl)

Für die X-Figur ist es etwas einfacher, da hier die Abschnitte klar durch das Zentrum getrennt sind. Hier gilt:

$\frac{\textcolor{#53E5D6}{y}}{\textcolor{#53E5D6}{x}} = \frac{b}{a}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Strahlensatz wählen: Sobald eine Länge auf einer der parallelen Linien gesucht oder gegeben ist, musst du den Zweiten Strahlensatz verwenden.
2. Gesamtlänge berechnen (Nur bei V-Figur): Wenn du eine V-Figur hast, addiere sofort das vordere und das hintere Stück auf dem Strahl zusammen, um die Gesamtlänge vom Zentrum aus zu erhalten (Rechne also $a+b$).
3. Gleichung aufstellen: Setze die Werte in die Formel ein (z.B. $\frac{x}{y} = \frac{a}{a+b}$). Achte darauf, dass die kurze Parallele oben steht, wenn auch der kurze Strahl oben steht.
4. Gleichung lösen: Löse die Gleichung nach der gesuchten Variable auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Die beiden vertikalen Geraden sind parallel zueinander. Berechne die fehlende Länge $y$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1 & 2
   Strahlensatz wählen und Gesamtlänge berechnen

   Da die Länge $y$ auf einer Parallelen liegt, brauchen wir den Zweiten Strahlensatz. Wir haben eine V-Figur. Wir betrachten den unteren Strahl. Das vordere Stück ist $4$. Das hintere Stück ist $3$. Die Gesamtlänge vom Zentrum bis zur hinteren Parallele ist also $4 + 3 = 7$.

2. 2
   Schritt 3
   Gleichung aufstellen

   Wir setzen in die Formel (Kurz durch Lang = Kurz durch Lang) ein: $\frac{6}{y} = \frac{4}{7}$ Um das $y$ leichter berechnen zu können, drehen wir auf beiden Seiten die Brüche um (Kehrwert): $\frac{y}{6} = \frac{7}{4}$

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir multiplizieren mit $6$: $y = \frac{7}{4} \cdot 6$ $y = \frac{42}{4}$ Wir rechnen den Bruch aus (oder kürzen mit $2$ und erhalten $\frac{21}{2}$): $y = 10{,}5$

Ergebnis:

Die gesuchte Länge ist $y = 10{,}5$.

Wichtige Erkenntnisse

• Erster Strahlensatz: Wird benutzt, wenn es nur um Längen auf den Strahlen geht.
• Zweiter Strahlensatz: Wird benutzt, sobald die Längen der parallelen Linien im Spiel sind.
• Die goldene Regel für die V-Figur: Beim Zweiten Strahlensatz musst du auf den Strahlen immer vom Zentrum aus messen. Addiere das vordere und hintere Stück zusammen, um die Gesamtlänge zu erhalten!