Anwendung der Strahlensätze einfach erklärt: 3D-Körper berechnen

Stell dir vor, du stehst vor der berühmten Glaspyramide des Louvre in Paris. Du möchtest wissen, wie breit die Pyramide auf genau halber Höhe ist. Du kannst natürlich nicht mit einem Maßband in der Luft herumklettern!

Aber das musst du bei der Anwendung der Strahlensätze auch gar nicht. Obwohl die Pyramide ein dreidimensionaler (3D) Körper ist, verstecken sich in ihr einfache, flache Dreiecke. Wenn wir diese Dreiecke finden, können wir unsere bekannten Strahlensätze nutzen, um jede beliebige Länge zu berechnen. Lass uns lernen, wie man den 3D-Blick aufsetzt!

Vorwissen

• Erster Strahlensatz (V-Figur): Vergleicht nur die Abschnitte auf den Strahlen. Formel: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ Beispiel: Wenn $a=2$, $b=4$ und $c=3$ sind, dann ist $\frac{4}{2} = \frac{d}{3}$. Daraus folgt $d=6$.
• Zweiter Strahlensatz (V-Figur): Vergleicht die parallelen Strecken mit den Abschnitten auf den Strahlen (immer vom Zentrum aus!). Formel: $\frac{a}{a+b} = \frac{x}{y}$ (wobei $x$ und $y$ die Parallelen sind). Beispiel: Wenn $a=2$, $b=4$ und die kurze Parallele $x=3$ ist, rechnet man $\frac{2}{2+4} = \frac{3}{y}$. Daraus folgt $y=9$.

Aufgabentyp 1: Strahlensätze an Figuren und Körpern

In der Geometrie begegnen uns oft komplexe 3D-Körper wie Pyramiden oder Kegel. Wenn diese Körper waagerecht durchgeschnitten werden (zum Beispiel bei einem Lampenschirm), entstehen parallele Linien.

Der wichtigste Trick, um fehlende Längen in solchen Körpern zu berechnen, ist das Herausschneiden einer 2D-Figur. Wir suchen in dem 3D-Körper nach einer flachen Ebene, die aussieht wie ein „V“.

Sobald du diese V-Figur gefunden hast, kannst du den Rest des 3D-Körpers ignorieren. Du hast nun eine ganz normale Strahlensatzfigur vor dir:

• Die Strahlen (die schrägen Kanten) treffen sich an der Spitze.
• Die Parallelen (die waagerechten Schnitte) kreuzen die Strahlen.

Jetzt musst du nur noch entscheiden, welchen Strahlensatz du brauchst. Wenn du eine parallele Strecke suchst, nimmst du den Zweiten Strahlensatz. Wenn du nur Strecken auf den Strahlen suchst, reicht der Erste Strahlensatz.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Die 2D-Figur isolieren – Suche im 3D-Körper nach einem flachen Dreieck, das von einer parallelen Linie geschnitten wird (V-Figur). Skizziere dieses Dreieck flach auf dein Papier.
2. Schritt 2: Gegebene und gesuchte Werte eintragen – Übertrage alle bekannten Zahlen aus der 3D-Aufgabe in deine flache Skizze. Markiere die gesuchte Strecke mit einer Variablen (z. B. $x$).
3. Schritt 3: Den richtigen Strahlensatz wählen – Suchst du eine Strecke auf den Parallelen? $\to$ Nutze den Zweiten Strahlensatz ($\frac{a}{a+b} = \frac{x}{y}$). Suchst du eine Strecke auf den Strahlen? $\to$ Nutze den Ersten Strahlensatz ($\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$).
4. Schritt 4: Gleichung lösen – Stelle die Gleichung auf, setze die Zahlen ein und löse nach der gesuchten Variablen auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist eine schiefe Pyramide, die waagerecht durchgeschnitten wurde. Auf der linken Kante kennen wir den oberen Abschnitt $a=12$ und den unteren Abschnitt $b=18$. Die untere Grundkante ist $20$ lang. Auf der rechten Kante kennen wir den unteren Abschnitt $d=16$. Bestimme die fehlende obere parallele Kante $x$ und den fehlenden oberen rechten Kantenabschnitt $z$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Die 2D-Figur für $x$ isolieren

   Um die parallele Strecke $x$ zu finden, betrachten wir die vordere dreieckige Seitenfläche der Pyramide als flache V-Figur.

   

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   Schritt 3 & 4
   Zweiten Strahlensatz anwenden und $x$ berechnen

   Da wir eine Parallele suchen, nutzen wir den Zweiten Strahlensatz. Wir vergleichen den kurzen Strahl ($12$) mit dem gesamten Strahl ($12+18$) und setzen dies ins Verhältnis zu den Parallelen ($x$ und $20$).

   $\frac{12}{12+18} = \frac{x}{20}$

   $\frac{12}{30} = \frac{x}{20} \quad | \cdot 20$

   $x = \frac{12 \cdot 20}{30}$

   $x = \frac{240}{30} = 8$

   Die obere Kante $x$ ist also $8$ lang.

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   Schritt 5 & 6
   Die 2D-Figur für $z$ isolieren

   Nun suchen wir die Strecke $z$. Diese liegt auf einem Strahl. Wir betrachten wieder die V-Figur, konzentrieren uns diesmal aber nur auf die schrägen Kanten.

   

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   Schritt 7 & 8 · Ergebnis
   Ersten Strahlensatz anwenden und $z$ berechnen

   Da wir nur Strecken auf den Strahlen vergleichen, nutzen wir den Ersten Strahlensatz.

   $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

   $\frac{18}{12} = \frac{16}{z} \quad | \cdot z$

   $\frac{18}{12} \cdot z = 16 \quad | \cdot \frac{12}{18}$

   $z = \frac{16 \cdot 12}{18}$

   $z = \frac{192}{18} \quad | \text{ Bruch kürzen um } 6$

   $z = \frac{32}{3}$

Ergebnis:

Die fehlenden Strecken haben die Längen $x = 8$ und $z = \frac{32}{3}$.

Wichtige Erkenntnisse

• 3D zu 2D: Versuche nicht, im 3D-Körper zu rechnen. Schneide in Gedanken immer eine flache V-Figur (ein Dreieck) heraus und zeichne sie auf.
• Erster Strahlensatz: Benutze ihn, wenn du nur Strecken auf den schrägen Strahlen berechnen musst.
• Zweiter Strahlensatz: Benutze ihn, sobald eine der parallelen Strecken gesucht oder gegeben ist. Denke daran, hier immer vom Zentrum (der Spitze) aus zu messen!