Was sind Extrema in der Mathematik?

Extrema sind die lokalen Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Ein Hochpunkt ist die höchste Stelle auf einem bestimmten Abschnitt, ein Tiefpunkt die tiefste. Extrema spielen eine wichtige Rolle in der Analysis – zum Beispiel wenn du den maximalen Gewinn eines Unternehmens oder den optimalen Einsatz von Material berechnen willst.

Wie berechnest du einen Extrempunkt Schritt für Schritt?

Gehe in fünf Schritten vor: Bilde die erste Ableitung $f'(x)$. Setze $f'(x) = 0$ und löse nach $x$ auf – das sind die Kandidaten. Prüfe jeden Kandidaten mit dem VZW-Kriterium oder der zweiten Ableitung. Setze den x-Wert in die Originalfunktion $f(x)$ ein, um die y-Koordinate zu erhalten. Gib den Extrempunkt als $HP(x|y)$ oder $TP(x|y)$ an.

Was ist der Unterschied zwischen dem VZW-Kriterium und der zweiten Ableitung?

Beide Verfahren prüfen, ob ein Kandidat wirklich ein Extrempunkt ist. Das VZW-Kriterium untersucht das Vorzeichen von $f'(x)$ links und rechts der Stelle – es funktioniert immer. Die zweite Ableitung ist schneller: $f''(x_E) < 0$ bedeutet Hochpunkt, $f''(x_E) > 0$ bedeutet Tiefpunkt. Wenn $f''(x_E) = 0$ gilt, musst du jedoch auf das VZW-Kriterium zurückgreifen.

Wann liefert die zweite Ableitung keine Aussage über einen Extrempunkt?

Wenn die zweite Ableitung am Kandidaten $x_E$ den Wert null ergibt ($f''(x_E) = 0$), kann das Kriterium keine Aussage über die Art der Stelle treffen. Es könnte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt sein. In diesem Fall musst du zwingend das Vorzeichenwechsel-Kriterium der ersten Ableitung nutzen, um die Frage zu beantworten.

Warum ist die erste Ableitung null an einem Extrempunkt?

An einem Extrempunkt wechselt die Funktion von steigend zu fallend (Hochpunkt) oder von fallend zu steigend (Tiefpunkt). Genau in diesem Moment ist die Steigung gleich null . Da die erste Ableitung $f'(x)$ die Steigung beschreibt, gilt $f'(x_E) = 0$ als notwendige Bedingung . Achtung: Nicht jede Stelle mit $f'(x)=0$ ist ein Extrempunkt – es könnte auch ein Sattelpunkt sein.

Extrema berechnen einfach erklärt

Extrema berechnen ist eine der zentralen Fähigkeiten in der Analysis – und gleichzeitig ein echtes Werkzeug fürs Leben. Stell dir vor, du startest ein Online-Business. Du willst wissen: Bei welchem Preis mache ich den maximalen Gewinn? Oder ein Ingenieur entwirft eine Brücke und muss den Punkt der geringsten Materialbelastung finden. Genau das sind Extremwertprobleme! Mit der Berechnung von Extrema bekommst du ein mächtiges Werkzeug, um in allen möglichen Bereichen das „Beste" oder „Optimale" zu finden – vom Gaming bis zur Wirtschaft. Das ist kein reiner Schulstoff, das ist ein echter Life-Hack, um Systeme zu optimieren und die besten Ergebnisse zu erzielen.

Schnellantwort

Ein Extrempunkt ist der höchste Punkt (Hochpunkt) oder der tiefste Punkt (Tiefpunkt) auf einem bestimmten Abschnitt eines Funktionsgraphen. An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion genau null – das heißt, die notwendige Bedingung lautet $f'(x_E) = 0$ . Um zu entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, verwendest du entweder das Vorzeichenwechsel-Kriterium (VZW) oder die zweite Ableitung.

Vorwissen

Bevor wir die Gipfel und Täler der Funktionen erklimmen, solltest du diese Grundlagen sicher beherrschen:

Ableitungsregeln: Du musst wissen, wie man eine Funktion ableitet, insbesondere die Potenzregel.
- Formel: $f(x) = a \cdot x^n \to f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$
- Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = 2x^3$ ist $f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 6x^2$ .
Gleichungen lösen: Du musst Gleichungen nach x auflösen können, vor allem quadratische Gleichungen (z.B. mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel).
- Beispiel: Die Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ hat die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$ .

Aufgabentyp 1: Lokale Extrempunkte mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium bestimmen

Ein Extrempunkt ist der höchste Punkt (Hochpunkt) oder der tiefste Punkt (Tiefpunkt) auf einem bestimmten Abschnitt eines Funktionsgraphen. Stell es dir wie die Spitze eines Berges oder den tiefsten Punkt eines Tals vor.

An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion genau Null. Deshalb ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt, dass die erste Ableitung an dieser Stelle null sein muss: $f'(x) = 0$ .

Um herauszufinden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, verwenden wir das Vorzeichenwechsel-Kriterium (VZW). Wir schauen uns die Steigung (also das Vorzeichen von $f'(x)$ ) direkt vor und direkt nach der möglichen Extremstelle an:

Hochpunkt (HP): Die Steigung wechselt von positiv (+) zu negativ (-). Der Graph steigt erst an und fällt dann ab. (Vorzeichenwechsel von + nach -)
Tiefpunkt (TP): Die Steigung wechselt von negativ (-) zu positiv (+). Der Graph fällt erst ab und steigt dann an. (Vorzeichenwechsel von - nach +)

Vorzeichenwechsel-Kriterium für Hoch- und Tiefpunkte

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erste Ableitung bilden: Berechne die erste Ableitung $f'(x)$ der gegebenen Funktion $f(x)$ .
Mögliche Extremstellen finden (Notwendige Bedingung): Setze die erste Ableitung gleich Null: $f'(x) = 0$ . Löse diese Gleichung, um die x-Werte der möglichen Extremstellen (die „Kandidaten") zu finden.
Art der Extremstelle prüfen (Hinreichende Bedingung mit VZW): Für jede gefundene Stelle $x_E$ : Wähle einen Testwert etwas kleiner als $x_E$ und einen etwas größer, setze beide in $f'(x)$ ein und notiere die Vorzeichen. Von + nach − → Hochpunkt; von − nach + → Tiefpunkt.
y-Koordinate berechnen: Setze die x-Koordinate jeder bestätigten Extremstelle in die Originalfunktion $f(x)$ ein.
Extrempunkte angeben: Schreibe die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte auf, z.B. $HP(x|y)$ und $TP(x|y)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste Ableitung bilden
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
Wir setzen die erste Ableitung gleich Null:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Wir teilen durch 3, um die pq-Formel anwenden zu können:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Die Lösungen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ . Das sind unsere Kandidaten.
3
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (VZW)
Untersuchung für $x_1 = 1$ :
- Testwert links (z.B. $x=0$ ): $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=2$ ): $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$ (Vorzeichen ist -)
Der Vorzeichenwechsel ist von + nach -. Also liegt bei $x=1$ ein Hochpunkt vor.

Untersuchung für $x_2 = 3$ :
- Testwert links (z.B. $x=2$ ): $f'(2) = -3$ (Vorzeichen ist -)
- Testwert rechts (z.B. $x=4$ ): $f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$ (Vorzeichen ist +)
Der Vorzeichenwechsel ist von - nach +. Also liegt bei $x=3$ ein Tiefpunkt vor.
4
Schritt 4
y-Koordinaten berechnen
- Für den Hochpunkt bei $x=1$ : $f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$
- Für den Tiefpunkt bei $x=3$ : $f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkte angeben
Der Hochpunkt ist $HP(1|5)$ und der Tiefpunkt ist $TP(3|1).$

Ergebnis:

Der Hochpunkt liegt bei $HP(1|5)$ und der Tiefpunkt bei $TP(3|1)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Extrempunkte der Funktion $g(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste Ableitung bilden
$g(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3$

$g'(x) = -x^3 + 3x^2$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$g'(x) = 0$

$-x^3 + 3x^2 = 0$

Wir klammern $x^2$ aus:

$x^2(-x + 3) = 0$

Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$ .
3
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (VZW)
Untersuchung für $x_1 = 0$ :
- Testwert links (z.B. $x=-1$ ): $g'(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 = 1 + 3 = 4$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=1$ ): $g'(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 = -1 + 3 = 2$ (Vorzeichen ist +)
Kein Vorzeichenwechsel! Bei $x=0$ liegt also kein Extrempunkt vor (es ist ein Sattelpunkt).

Untersuchung für $x_2 = 3$ :
- Testwert links (z.B. $x=2$ ): $g'(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=4$ ): $g'(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 = -64 + 48 = -16$ (Vorzeichen ist -)
Der Vorzeichenwechsel ist von + nach -. Also liegt bei $x=3$ ein Hochpunkt vor.
4
Schritt 4
y-Koordinate berechnen
- Für den Hochpunkt bei $x=3$ : $g(3) = -\frac{1}{4}(3)^4 + (3)^3 = -\frac{81}{4} + 27 = -20.25 + 27 = 6.75$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkt angeben
Die Funktion hat nur einen Extrempunkt, einen Hochpunkt bei $HP(3|6.75)$ .

Ergebnis:

Die Funktion hat einen Hochpunkt bei $HP(3|6.75)$ . Bei $x=0$ liegt kein Extrempunkt vor.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $h(t) = t^2 + 4t - 5$ . Bestimme den Extrempunkt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste Ableitung bilden
$h(t) = t^2 + 4t - 5$

$h'(t) = 2t + 4$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$h'(t) = 0$

$2t + 4 = 0$

$2t = -4$

$t = -2$

Es gibt nur einen Kandidaten bei $t = -2$ .
3
Schritt 3
Art der Extremstelle prüfen (VZW)
Untersuchung für $t = -2$ :
- Testwert links (z.B. $t=-3$ ): $h'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2$ (Vorzeichen ist -)
- Testwert rechts (z.B. $t=0$ ): $h'(0) = 2(0) + 4 = 4$ (Vorzeichen ist +)
Der Vorzeichenwechsel ist von - nach +. Also liegt bei $t=-2$ ein Tiefpunkt vor.
4
Schritt 4
y-Koordinate berechnen
- Für den Tiefpunkt bei $t=-2$ : $h(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkt angeben
Der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt bei $TP(-2|-9).$

Ergebnis:

Der Tiefpunkt liegt bei $TP(-2|-9)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Extrempunkte von $f(x) = (x-2)^2(x+1)$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste Ableitung bilden
Zuerst multiplizieren wir die Funktion aus, um sie leichter ableiten zu können: $f(x) = (x^2 - 4x + 4)(x+1) = x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4$

Jetzt leiten wir ab: $f'(x) = 3x^2 - 6x$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Die Kandidaten sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ .
3
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (VZW)
Untersuchung für $x_1 = 0$ :
- Testwert links (z.B. $x=-1$ ): $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=1$ ): $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$ (Vorzeichen ist -)
Vorzeichenwechsel von + nach - → Hochpunkt bei $x=0$ .

Untersuchung für $x_2 = 2$ :
- Testwert links (z.B. $x=1$ ): $f'(1) = -3$ (Vorzeichen ist -)
- Testwert rechts (z.B. $x=3$ ): $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$ (Vorzeichen ist +)
Vorzeichenwechsel von - nach + → Tiefpunkt bei $x=2$ .
4
Schritt 4
y-Koordinaten berechnen
- Für den Hochpunkt bei $x=0$ : $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$
- Für den Tiefpunkt bei $x=2$ : $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkte angeben
Der Hochpunkt ist $HP(0|4)$ und der Tiefpunkt ist $TP(2|0)$ .

Ergebnis:

Der Hochpunkt liegt bei $HP(0|4)$ und der Tiefpunkt bei $TP(2|0)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Unternehmen stellt fest, dass sein Gewinn (in Tausend Euro) durch die Funktion $G(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 50$ modelliert werden kann, wobei $x$ die Produktionsmenge in Tausend Stück ist. Bei welcher Produktionsmenge wird der Gewinn maximal?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Erste Ableitung bilden
$G(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 50$

$G'(x) = -3x^2 + 24x - 36$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$G'(x) = 0$

$-3x^2 + 24x - 36 = 0$

Wir teilen durch -3:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Mit der pq-Formel finden wir die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = 6$ .
3
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (VZW)
Untersuchung für $x_1 = 2$ :
- Testwert links (z.B. $x=1$ ): $G'(1) = -3(1)^2 + 24(1) - 36 = -15$ (Vorzeichen ist -)
- Testwert rechts (z.B. $x=3$ ): $G'(3) = -3(3)^2 + 24(3) - 36 = 9$ (Vorzeichen ist +)
Vorzeichenwechsel von - nach + → Tiefpunkt (lokales Gewinnminimum).

Untersuchung für $x_2 = 6$ :
- Testwert links (z.B. $x=5$ ): $G'(5) = -3(5)^2 + 24(5) - 36 = 9$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=7$ ): $G'(7) = -3(7)^2 + 24(7) - 36 = -15$ (Vorzeichen ist -)
Vorzeichenwechsel von + nach - → Hochpunkt (lokales Gewinnmaximum).
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von $x=6$ maximal. Da x in Tausend Stück angegeben ist, beträgt die optimale Menge 6000 Stück.

Ergebnis:

Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von 6000 Stück erzielt.

Aufgabentyp 2: Lokale Extrempunkte mit der 2. Ableitung bestimmen

Das Verfahren mit der zweiten Ableitung ist oft ein schnellerer Weg, um Extrema zu berechnen und die Art eines Extrempunkts zu bestimmen. Die Idee basiert auf der Krümmung des Graphen.

Die zweite Ableitung $f''(x)$ gibt uns Auskunft über die Krümmung:

Ist $f''(x) > 0$ , ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt (wie eine offene Schale nach oben). Das deutet auf einen Tiefpunkt hin.
Ist $f''(x) < 0$ , ist der Graph rechtsgekrümmt (wie eine offene Schale nach unten). Das deutet auf einen Hochpunkt hin.

Die hinreichende Bedingung lautet also: Für einen Kandidaten $x_E$ (wo $f'(x_E)=0$ gilt):

Wenn $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) > 0$ , dann ist bei $x_E$ ein Tiefpunkt.
Wenn $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) < 0$ , dann ist bei $x_E$ ein Hochpunkt.

Wichtig: Wenn $f''(x_E) = 0$ ist, liefert dieses Kriterium keine Aussage! In diesem Fall musst du auf das Vorzeichenwechsel-Kriterium zurückgreifen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erste und zweite Ableitung bilden: Berechne die erste Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$ der Funktion.
Mögliche Extremstellen finden (Notwendige Bedingung): Setze die erste Ableitung gleich Null: $f'(x) = 0$ . Löse die Gleichung, um die Kandidaten $x_E$ zu finden.
Art der Extremstelle prüfen (Hinreichende Bedingung mit f''): Setze jeden Kandidaten $x_E$ in die zweite Ableitung $f''(x)$ ein: $f''(x_E) < 0$ → Hochpunkt; $f''(x_E) > 0$ → Tiefpunkt; $f''(x_E) = 0$ → Keine Aussage, VZW-Kriterium anwenden.
y-Koordinate berechnen: Setze die x-Koordinate jeder bestätigten Extremstelle in die Originalfunktion $f(x)$ ein.
Extrempunkte angeben: Schreibe die Koordinaten der Punkte auf, z.B. $HP(x|y)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2$ mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste und zweite Ableitung bilden
$f(x) = x^3 - 3x^2$

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

$f''(x) = 6x - 6$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Die Kandidaten sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ .
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (mit f'')
Untersuchung für $x_1 = 0$ : Wir setzen $x_1=0$ in die zweite Ableitung ein: $f''(0) = 6(0) - 6 = -6$

Da $f''(0) < 0$ ist, liegt bei $x=0$ ein Hochpunkt vor.

Untersuchung für $x_2 = 2$ : Wir setzen $x_2=2$ in die zweite Ableitung ein: $f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6$

Da $f''(2) > 0$ ist, liegt bei $x=2$ ein Tiefpunkt vor.
4
Schritt 4
y-Koordinaten berechnen
- Für den Hochpunkt bei $x=0$ : $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0$
- Für den Tiefpunkt bei $x=2$ : $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkte angeben
Der Hochpunkt ist $HP(0|0)$ und der Tiefpunkt ist $TP(2|-4)$ .

Ergebnis:

Der Hochpunkt liegt bei $HP(0|0)$ und der Tiefpunkt bei $TP(2|-4)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Extremstellen der Funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Erste und zweite Ableitung bilden
$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 2$

$f'(x) = x^3 - 4x$

$f''(x) = 3x^2 - 4$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$f'(x) = 0$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

Die Kandidaten sind $x_1 = 0$ , $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$ .
Schritt 3
Art der Extremstellen prüfen (mit f'')
Für $x_1 = 0$ : $f''(0) = 3(0)^2 - 4 = -4$ . Da $-4 < 0$ , ist hier ein Hochpunkt.

Für $x_2 = 2$ : $f''(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ . Da $8 > 0$ , ist hier ein Tiefpunkt.

Für $x_3 = -2$ : $f''(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ . Da $8 > 0$ , ist hier ebenfalls ein Tiefpunkt.
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die Aufgabe fragt nur nach den Extremstellen (den x-Werten). Die Extremstellen liegen bei $x=0$ , $x=2$ und $x=-2$ .

Ergebnis:

Die Extremstellen liegen bei $x=0$ (Hochpunkt), $x=2$ (Tiefpunkt) und $x=-2$ (Tiefpunkt).

Beispiel 3

Aufgabe

Hat die Funktion $f(x) = x^5 - 5x^4$ einen Extrempunkt bei $x=4$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Erste und zweite Ableitung bilden
$f(x) = x^5 - 5x^4$

$f'(x) = 5x^4 - 20x^3$

$f''(x) = 20x^3 - 60x^2$
Schritt 2
Prüfen der notwendigen Bedingung
Wir prüfen, ob bei $x=4$ die erste Ableitung Null ist.

$f'(4) = 5(4)^4 - 20(4)^3 = 5(256) - 20(64) = 1280 - 1280 = 0$

Die notwendige Bedingung ist erfüllt. $x=4$ ist ein Kandidat.
Schritt 3
Art der Extremstelle prüfen (mit f'')
Wir setzen $x=4$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(4) = 20(4)^3 - 60(4)^2 = 20(64) - 60(16) = 1280 - 960 = 320$

Da $f''(4) > 0$ ist, liegt bei $x=4$ ein Tiefpunkt vor.
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Ja, die Funktion hat bei $x=4$ einen Extrempunkt (einen Tiefpunkt).

Ergebnis:

Ja, bei $x=4$ liegt ein Tiefpunkt vor.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Extrempunkte der Funktion $f(x) = e^x - 2x$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste und zweite Ableitung bilden
$f(x) = e^x - 2x$

$f'(x) = e^x - 2$

$f''(x) = e^x$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$f'(x) = 0$

$e^x - 2 = 0$

$e^x = 2$

$x = \ln(2) \approx 0.693$

Unser einziger Kandidat ist $x = \ln(2)$ .
Schritt 3
Art der Extremstelle prüfen (mit f'')
Wir setzen $x=\ln(2)$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(\ln(2)) = e^{\ln(2)} = 2$

Da $f''(\ln(2)) > 0$ ist, liegt bei $x=\ln(2)$ ein Tiefpunkt vor.
Schritt 4
y-Koordinate berechnen
$f(\ln(2)) = e^{\ln(2)} - 2\ln(2) = 2 - 2\ln(2) \approx 2 - 2(0.693) = 0.614$
Schritt 5 · Ergebnis
Extrempunkt angeben
Der Tiefpunkt ist $TP(\ln(2) | 2 - 2\ln(2))$ oder gerundet $TP(0.693 | 0.614)$ .

Ergebnis:

Der Tiefpunkt liegt bei $TP(\ln(2) | 2 - 2\ln(2))$ , also näherungsweise bei $TP(0.693 | 0.614)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Untersuche die Funktion $f(x) = x^3$ auf Extrempunkte.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Erste und zweite Ableitung bilden
$f(x) = x^3$

$f'(x) = 3x^2$

$f''(x) = 6x$
Schritt 2
Mögliche Extremstellen finden
$f'(x) = 0$

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Der einzige Kandidat ist $x=0$ .
Schritt 3
Art der Extremstelle prüfen (mit f'')
Wir setzen $x=0$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(0) = 6(0) = 0$

Das Kriterium mit der zweiten Ableitung liefert keine Aussage! Wir müssen das Vorzeichenwechsel-Kriterium verwenden.
4
Schritt 3 (alternativ)
VZW-Kriterium
Untersuchung für $x = 0$ :
- Testwert links (z.B. $x=-1$ ): $f'(-1) = 3(-1)^2 = 3$ (Vorzeichen ist +)
- Testwert rechts (z.B. $x=1$ ): $f'(1) = 3(1)^2 = 3$ (Vorzeichen ist +)
Es findet kein Vorzeichenwechsel statt. Daher liegt bei $x=0$ kein Extrempunkt vor.
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die Funktion $f(x) = x^3$ hat keine Extrempunkte.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = x^3$ hat keine Extrempunkte.

Wichtige Erkenntnisse

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an der Stelle $x_E$ : Die Steigung muss Null sein: $f'(x_E) = 0$ .
Hinreichende Bedingung (VZW-Kriterium): Vorzeichenwechsel von + nach - bei $x_E$ in $f'(x)$ → Hochpunkt; Vorzeichenwechsel von - nach + → Tiefpunkt.
Hinreichende Bedingung (2. Ableitung): Wenn $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) < 0$ → Hochpunkt; wenn $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) > 0$ → Tiefpunkt.
Wenn $f''(x_E) = 0$ ist, liefert das Kriterium der zweiten Ableitung keine Aussage – dann musst du das VZW-Kriterium verwenden.
Die y-Koordinate eines Extrempunkts findest du immer durch Einsetzen des x-Wertes in die Originalfunktion $f(x)$ .

Extrema berechnen einfach erklärt: Hoch- und Tiefpunkte

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Lokale Extrempunkte mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Lokale Extrempunkte mit der 2. Ableitung bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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