Was sind Optimierungsaufgaben in der Mathematik?

Optimierungsaufgaben sind Aufgaben, bei denen du das Beste aus einer Situation herausholst – den maximalen Gewinn, die minimale Zeit oder die größte Fläche. Das Prinzip ist immer gleich: Du stellst eine Zielfunktion auf und suchst von ihr den globalen Hoch- oder Tiefpunkt. Typische Aufgabentypen in der Schule sind Gewinnmaximierung, Abstandsmaximierung, Flächenmaximierung und das Maximieren der Steigung einer Funktion.

Wie stellst du eine Zielfunktion bei Optimierungsaufgaben auf?

Lies zunächst die Aufgabe genau und überlege, welche Größe maximiert oder minimiert werden soll. Dann drückst du diese Größe als Funktion einer einzigen Variablen aus – das ist deine Zielfunktion Z(x) . Bei Gewinnaufgaben gilt G(x) = E(x) − K(x) , bei Abstandsaufgaben d(x) = f(x) − g(x) und bei Flächenaufgaben setzt du Grundseite und Höhe in die geometrische Formel ein.

Warum müssen bei Optimierungsaufgaben die Randwerte überprüft werden?

Ein lokaler Hochpunkt innerhalb eines Intervalls muss nicht der größte Wert der Funktion sein – der höchste Wert kann auch am linken oder rechten Rand des Intervalls liegen. Deshalb berechnest du die Zielfunktion immer auch an den Randpunkten Z(a) und Z(b) und vergleichst alle Werte miteinander. Nur so findest du das globale Maximum .

Wie erkennst du, ob ein Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist?

Setze den gefundenen x -Wert in die zweite Ableitung der Zielfunktion ein. Ist Z''(x) < 0 , liegt ein Maximum vor – die Funktion ist dort nach unten gewölbt. Ist Z''(x) > 0 , liegt ein Minimum vor – die Funktion ist nach oben gewölbt. Ist Z''(x) = 0 , ist keine eindeutige Aussage möglich und du musst weitere Überlegungen anstellen.

Was ist der Unterschied zwischen lokalem und globalem Extremum?

Ein lokales Extremum ist der höchste oder tiefste Punkt in einer kleinen Umgebung – es gibt also links und rechts davon kleinere bzw. größere Werte. Das globale Extremum ist der absolut größte oder kleinste Wert im gesamten betrachteten Intervall. Das globale Extremum kann ein lokales Extremum sein, aber auch an einem der Randpunkte des Intervalls liegen – deshalb immer Randwerte berechnen!

Optimierungsaufgaben einfach erklärt

Optimierungsaufgaben begegnen dir im Mathe-Unterricht ständig – und das aus gutem Grund: Das Prinzip steckt überall im Alltag. Stell dir vor, du willst den perfekten Instagram-Post timen, um maximale Likes zu bekommen, den Akku deines Handys so nutzen, dass er am längsten hält, oder eine Route planen, die am wenigsten Benzin verbraucht. Das sind alles Optimierungsprobleme! Es geht darum, das Beste aus einer Situation herauszuholen – den maximalen Gewinn, die minimale Zeit, die größte Fläche. In der Schule ist das nicht nur eine trockene Mathe-Übung, sondern ein echter „Cheat Code" für Klausuren. Diese Aufgaben kommen super oft dran und folgen immer dem gleichen, einfachen Schema. Wenn du das einmal draufhast, sind das sichere Punkte. Lass uns diesen Code knacken!

Schnellantwort

Bei Optimierungsaufgaben geht es darum, eine Zielfunktion aufzustellen und von ihr den globalen Hoch- oder Tiefpunkt zu finden. Die Zielfunktion kann eine Gewinnfunktion, eine Abstandsfunktion, eine Flächenfunktion oder die erste Ableitung einer gegebenen Funktion sein. Das Standardverfahren ist immer gleich: Zielfunktion ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen, Extrema prüfen und – falls ein Intervall gegeben ist – Randwerte nicht vergessen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du für Optimierungsaufgaben brauchst:

Lokale Extrempunkte (Hoch- & Tiefpunkte) finden: Das sind die „Gipfel" und „Täler" einer Funktion. Du findest sie, indem du die erste Ableitung null setzt und mit der zweiten Ableitung prüfst, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
- Bedingungen: Notwendig: $f'(x) = 0$ . Hinreichend: $f''(x) < 0$ für einen Hochpunkt, $f''(x) > 0$ für einen Tiefpunkt.
- Beispiel: Für $f(x) = -x^2 + 4x$ ist $f'(x) = -2x + 4$ . Setzen wir $f'(x)=0$ , erhalten wir $x=2$ . Da $f''(x) = -2 < 0$ ist, liegt bei $x=2$ ein Hochpunkt.
Ableitungsregeln: Du musst wissen, wie man eine Funktion ableitet, vor allem die Potenz- und Summenregel.
- Formel (Potenzregel): $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
- Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$ ist $f'(x) = 6x^2 - 10x$ .
Globale vs. Lokale Extrema: Der höchste Punkt in einem bestimmten Bereich (Intervall) ist nicht immer ein lokaler Hochpunkt. Er kann auch am Rand des Intervalls liegen. Deshalb musst du immer die Ränder überprüfen!
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = x^2$ hat im Intervall $[-1, 3]$ ihren tiefsten Punkt bei $x=0$ (lokales Minimum), aber ihren höchsten Punkt am rechten Rand bei $x=3$ . Der Wert dort ist $f(3)=9$ . Man nennt dies eine Randwertbetrachtung.

Aufgabentyp 1: Steigung maximieren

Manchmal ist nicht der höchste Punkt einer Kurve interessant, sondern die steilste Stelle. Das ist zum Beispiel wichtig bei der Planung von Straßen, Skipisten oder eben Skateparks.

Der Trick hier ist: Die Steigung einer Funktion $f(x)$ wird durch ihre erste Ableitung $f'(x)$ beschrieben. Wenn wir also die maximale Steigung suchen, suchen wir in Wahrheit den Hochpunkt der Ableitungsfunktion $f'(x)$ .

Unsere Zielfunktion – die Funktion, die wir maximieren wollen – ist also nicht $f(x)$ , sondern $Z(x) = f'(x)$ .

Wichtiger Sonderfall: Wenn nach dem Betrag der Steigung oder der „steilsten Stelle" gefragt ist, kann das sowohl die steilste positive Steigung (bergauf) als auch die steilste negative Steigung (bergab) sein. In diesem Fall musst du den Hochpunkt (maximal positive Steigung) UND den Tiefpunkt (maximal negative Steigung) der Ableitungsfunktion $f'(x)$ finden und schauen, welcher Wert vom Betrag her größer ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zielfunktion aufstellen: Setze $Z(x) = f'(x)$ – die Steigungsfunktion ist deine Zielfunktion.
Ableitungen bilden: Bilde $Z'(x) = f''(x)$ und $Z''(x) = f'''(x)$ .
Extremstellen finden: Setze $Z'(x) = f''(x) = 0$ und löse nach $x$ .
Art der Extrema prüfen: $Z''(x) < 0$ → Hochpunkt (maximale Steigung); $Z''(x) > 0$ → Tiefpunkt (minimale Steigung).
Randwerte überprüfen: Berechne $Z(a) = f'(a)$ und $Z(b) = f'(b)$ an den Intervallgrenzen.
Globales Extremum bestimmen: Vergleiche alle Steigungswerte; bei Betragsfragen nimm den Wert, der am weitesten von null entfernt ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Aus Sicherheitsgründen soll bei einem Skatepark-Element die Steigung im Betrag höchstens 0,85 sein. Das Profil wird durch die Funktion $f(x)=-\frac{1}{256} x^4+\frac{1}{8} x^2+1{,}2$ im Intervall $[-4; 4{,}8]$ beschrieben. Die Ableitung ist bekannt: $f'(x)=-\frac{1}{64} x^3+\frac{1}{4} x$ . Zeigen Sie, dass die Vorgabe eingehalten wird.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Zielfunktion aufstellen
Die Steigung wird durch $f'(x)$ beschrieben. Unsere Zielfunktion $Z(x)$ ist also die Steigungsfunktion selbst.

$Z(x) = f'(x) = -\frac{1}{64} x^3+\frac{1}{4} x$
2
Schritt 2
Ableitungen der Zielfunktion bilden
Wir leiten $Z(x)$ ab, um deren Extrema zu finden.
- $Z'(x) = f''(x) = -\frac{3}{64} x^2+\frac{1}{4}$
- $Z''(x) = f'''(x) = -\frac{6}{64} x = -\frac{3}{32} x$
Schritt 3
Mögliche Extremstellen finden
Wir setzen $Z'(x) = 0$ .

$0 = -\frac{3}{64} x^2+\frac{1}{4}$

$\frac{3}{64} x^2 = \frac{1}{4}$

$x^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3} = \frac{16}{3}$

$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{16}{3}} \approx \pm 2{,}31$

Beide Werte liegen im Intervall $[-4; 4{,}8]$ .
4
Schritt 4
Art der Extrema prüfen
Wir setzen die Kandidaten in $Z''(x)$ ein.
- Für $x_1 = \sqrt{\frac{16}{3}}$ : $Z''\!\left(\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = -\frac{3}{32} \cdot \sqrt{\frac{16}{3}} < 0$ . Das ist ein Hochpunkt (maximale positive Steigung).
- Für $x_2 = -\sqrt{\frac{16}{3}}$ : $Z''\!\left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = -\frac{3}{32} \cdot \left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right) > 0$ . Das ist ein Tiefpunkt (maximale negative Steigung).
5
Schritt 5
Randwerte überprüfen
Wir berechnen die Steigung an den Rändern des Intervalls $[-4; 4{,}8]$ .
- Linker Rand: $Z(-4) = f'(-4) = -\frac{1}{64}(-4)^3 + \frac{1}{4}(-4) = 1 - 1 = 0$
- Rechter Rand: $Z(4{,}8) = f'(4{,}8) = -\frac{1}{64}(4{,}8)^3 + \frac{1}{4}(4{,}8) = -1{,}728 + 1{,}2 = -0{,}528$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Globales Extremum bestimmen
Jetzt vergleichen wir alle relevanten Steigungswerte: die an den Extremstellen und an den Rändern.
- Steigung am Hochpunkt $x_1 \approx 2{,}31$ : $Z(2{,}31) = -\frac{1}{64}(2{,}31)^3 + \frac{1}{4}(2{,}31) \approx 0{,}385$
- Steigung am Tiefpunkt $x_2 \approx -2{,}31$ : $Z(-2{,}31) = -\frac{1}{64}(-2{,}31)^3 + \frac{1}{4}(-2{,}31) \approx -0{,}385$
- Steigung an den Rändern: $0$ und $-0{,}528$ .
Die Beträge der Steigungen sind also: $|0{,}385|$ , $|-0{,}385|$ , $|0|$ und $|-0{,}528|$ . Der größte Betrag ist $|-0{,}528| = 0{,}528$ .

Dieser Wert ist kleiner als die erlaubten 0,85: $0{,}528 < 0{,}85$ .

Ergebnis:

Die maximale Steigung im Betrag ist ca. 0,528 und tritt am Rand bei $x=4{,}8$ auf. Da dieser Wert kleiner als 0,85 ist, wird die Sicherheitsvorgabe eingehalten.

Aufgabentyp 2: Gewinn / Umsatz maximieren

Ein klassisches Anwendungsbeispiel für Optimierungsaufgaben ist die Gewinnmaximierung in der Wirtschaft. Die Idee ist einfach: Ein Unternehmen will die Produktionsmenge finden, bei der der Gewinn am größten ist.

Die zentrale Formel dafür lautet:

Gewinn = Erlös − Kosten

In Mathe-Aufgaben werden dir meistens eine Erlösfunktion $E(x)$ und eine Kostenfunktion $K(x)$ gegeben. Deine Aufgabe ist es, daraus die Gewinnfunktion $G(x)$ aufzustellen.

$G(x) = E(x) - K(x)$

Diese Gewinnfunktion $G(x)$ ist deine Zielfunktion. Sobald du sie hast, ist der Rest eine ganz normale Kurvendiskussion: Du suchst den globalen Hochpunkt von $G(x)$ in dem gegebenen Produktionsintervall.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zielfunktion aufstellen: Bilde $G(x) = E(x) - K(x)$ ; achte auf die Klammern!
Ableitungen bilden: Bilde $G'(x)$ und $G''(x)$ .
Extremstellen finden: Setze $G'(x) = 0$ und löse nach $x$ .
Art der Extrema prüfen: $G''(x) < 0$ → Gewinnmaximum; $G''(x) > 0$ → Gewinnminimum.
Randwerte überprüfen: Berechne $G(a)$ und $G(b)$ an den Intervallgrenzen.
Globales Maximum bestimmen: Vergleiche alle Gewinnwerte und gib die Antwort im Sachzusammenhang an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Unternehmen produziert eine Flüssigkeit. Die Kosten werden durch $K(x) = x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ und der Erlös durch $E(x) = 23x$ beschrieben, für eine Produktionsmenge $x$ im Intervall $[0; 9]$ . Berechnen Sie, welche Menge verkauft werden muss, um den größten Gewinn zu erzielen.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Zielfunktion aufstellen
Wir stellen die Gewinnfunktion $G(x)$ auf mit der Formel $G(x) = E(x) - K(x)$ .

$G(x) = (23x) - (x^3 - 12x^2 + 50x + 20)$

$G(x) = 23x - x^3 + 12x^2 - 50x - 20$

$G(x) = -x^3 + 12x^2 - 27x - 20$

Dies ist unsere Zielfunktion.
2
Schritt 2
Ableitungen der Zielfunktion bilden
Wir leiten die Gewinnfunktion $G(x)$ zweimal ab.
- $G'(x) = -3x^2 + 24x - 27$
- $G''(x) = -6x + 24$
Schritt 3
Mögliche Extremstellen finden
Wir setzen die erste Ableitung $G'(x)$ gleich null.

$0 = -3x^2 + 24x - 27$

Wir teilen durch −3, um die Gleichung zu vereinfachen:

$0 = x^2 - 8x + 9$

Mit der Mitternachtsformel (oder pq-Formel) erhalten wir die Lösungen:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x_1 = \frac{8 + \sqrt{28}}{2} \approx 6{,}65$

$x_2 = \frac{8 - \sqrt{28}}{2} \approx 1{,}35$

Beide Werte liegen im Intervall $[0; 9]$ .
4
Schritt 4
Art der Extrema prüfen
Wir setzen die Kandidaten in die zweite Ableitung $G''(x) = -6x + 24$ ein.
- Für $x_1 \approx 6{,}65$ : $G''(6{,}65) = -6 \cdot 6{,}65 + 24 = -39{,}9 + 24 = -15{,}9 < 0$ . Hier liegt ein Hochpunkt (Gewinnmaximum) vor.
- Für $x_2 \approx 1{,}35$ : $G''(1{,}35) = -6 \cdot 1{,}35 + 24 = -8{,}1 + 24 = 15{,}9 > 0$ . Hier liegt ein Tiefpunkt (Gewinnminimum/Verlustmaximum) vor.
Für den maximalen Gewinn ist also nur $x_1 \approx 6{,}65$ relevant.
5
Schritt 5
Randwerte überprüfen
Wir berechnen den Gewinn an den Rändern des Intervalls $[0; 9]$ .
- Linker Rand: $G(0) = -0^3 + 12 \cdot 0^2 - 27 \cdot 0 - 20 = -20$
- Rechter Rand: $G(9) = -9^3 + 12 \cdot 9^2 - 27 \cdot 9 - 20 = -729 + 972 - 243 - 20 = -20$
An den Rändern wird ein Verlust von 20 (Tausend Euro) gemacht.
6
Schritt 6 · Ergebnis
Globales Maximum bestimmen
Wir vergleichen den Gewinn am Hochpunkt mit dem an den Rändern.
- Gewinn am Hochpunkt $x_1 \approx 6{,}65$ : $G(6{,}65) = -(6{,}65)^3 + 12(6{,}65)^2 - 27(6{,}65) - 20 \approx 37{,}04$
Der Wert $37{,}04$ ist deutlich größer als $-20$ . Also ist der globale Hochpunkt bei $x \approx 6{,}65$ .

Ergebnis:

Um den größten Gewinn zu erzielen, muss das Unternehmen ca. 6,65 Kubikmeter der Flüssigkeit verkaufen.

Aufgabentyp 3: Abstand maximieren

Eine weitere häufige Aufgabe bei Optimierungsaufgaben ist es, den maximalen vertikalen Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen zu finden. Stell dir eine Brücke ( $f(x)$ ) über einem Tal ( $g(x)$ ) vor – wir wollen die Stelle finden, an der der Brückenpfeiler am längsten sein müsste.

Der vertikale Abstand zwischen zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an einer Stelle $x$ ist einfach die Differenz ihrer y-Werte. Wir definieren eine neue Funktion, die Differenzfunktion $d(x)$ .

$d(x) = f(x) - g(x)$

Diese Differenzfunktion $d(x)$ ist unsere Zielfunktion. Um den maximalen Abstand zu finden, suchen wir einfach den globalen Hochpunkt dieser neuen Funktion $d(x)$ .

Wichtig: Achte darauf, welche Funktion oben und welche unten verläuft. Meistens ist es „obere Funktion minus untere Funktion", damit der Abstand positiv ist. Wenn du es andersherum machst, suchst du den Tiefpunkt, aber der Betrag des Abstands ist derselbe.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zielfunktion aufstellen: Bilde $d(x) = f_{\text{oben}}(x) - g_{\text{unten}}(x)$ .
Ableitungen bilden: Bilde $d'(x)$ und $d''(x)$ .
Extremstellen finden: Setze $d'(x) = 0$ und löse nach $x$ .
Art der Extrema prüfen: $d''(x) < 0$ → Abstandsmaximum; $d''(x) > 0$ → Abstandsminimum.
Randwerte überprüfen: Berechne $d(a)$ und $d(b)$ an den Intervallgrenzen.
Globales Maximum bestimmen: Vergleiche alle Abstandswerte und gib die Antwort im Sachzusammenhang an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Flugbahn eines Minigolfballs wird durch die Parabel $q(x)=-0{,}28 x^2+1{,}56 x-1{,}42$ beschrieben. Das Hindernis (Welle) wird durch $f(x)=0{,}5 x^4-4 x^3+11 x^2-12 x+4{,}5$ beschrieben. Bestimmen Sie den maximalen vertikalen Abstand des Balles von der Welle im Intervall $[1{,}42; 3]$ .

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Zielfunktion aufstellen
Der Ball fliegt über der Welle, also ist $q(x)$ die obere und $f(x)$ die untere Funktion. Die Zielfunktion ist die Differenzfunktion $d(x) = q(x) - f(x)$ .

$d(x) = (-0{,}28 x^2+1{,}56 x-1{,}42) - (0{,}5 x^4-4 x^3+11 x^2-12 x+4{,}5)$

$d(x) = -0{,}28 x^2+1{,}56 x-1{,}42 - 0{,}5 x^4+4 x^3-11 x^2+12 x-4{,}5$

$d(x) = -0{,}5 x^4 + 4x^3 - 11{,}28x^2 + 13{,}56x - 5{,}92$
2
Schritt 2
Ableitungen der Zielfunktion bilden
Wir leiten die Differenzfunktion $d(x)$ zweimal ab.
- $d'(x) = -2x^3 + 12x^2 - 22{,}56x + 13{,}56$
- $d''(x) = -6x^2 + 24x - 22{,}56$
Schritt 3
Mögliche Extremstellen finden
Wir setzen die erste Ableitung $d'(x)$ gleich null.

$0 = -2x^3 + 12x^2 - 22{,}56x + 13{,}56$

Diese Gleichung ist analytisch schwer zu lösen. Wir verwenden einen Taschenrechner (z.B. mit einer „solve"-Funktion) und erhalten die Lösungen:

$x_1 \approx 1{,}41$ , $x_2 \approx 1{,}62$ und $x_3 \approx 2{,}97$ .

Wir betrachten das Intervall $[1{,}42; 3]$ . Daher fällt $x_1 \approx 1{,}41$ weg. Unsere Kandidaten sind $x_2 \approx 1{,}62$ und $x_3 \approx 2{,}97$ .
4
Schritt 4
Art der Extrema prüfen
Wir setzen die Kandidaten in die zweite Ableitung $d''(x)$ ein.
- Für $x_2 \approx 1{,}62$ : $d''(1{,}62) = -6(1{,}62)^2 + 24(1{,}62) - 22{,}56 \approx 0{,}57 > 0$ . Hier liegt ein Tiefpunkt (minimaler Abstand) vor.
- Für $x_3 \approx 2{,}97$ : $d''(2{,}97) = -6(2{,}97)^2 + 24(2{,}97) - 22{,}56 \approx -4{,}21 < 0$ . Hier liegt ein Hochpunkt (maximaler Abstand) vor.
Für den maximalen Abstand ist also nur $x_3 \approx 2{,}97$ relevant.
5
Schritt 5
Randwerte überprüfen
Wir berechnen den Abstand an den Rändern des Intervalls $[1{,}42; 3]$ .
- Linker Rand: $d(1{,}42) \approx 0{,}01$
- Rechter Rand: $d(3) \approx 0{,}740$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Globales Maximum bestimmen
Wir vergleichen den Abstand am Hochpunkt mit dem an den Rändern.
- Abstand am Hochpunkt $x_3 \approx 2{,}97$ : $d(2{,}97) \approx 0{,}742$
Der Wert $0{,}742$ ist der größte der drei Werte ( $0{,}01$ , $0{,}740$ , $0{,}742$ ).

Ergebnis:

Der maximale vertikale Abstand des Balles von der Welle beträgt ca. 0,742 m.

Aufgabentyp 4: Fläche maximieren

Bei diesem Aufgabentyp soll die Fläche einer geometrischen Figur maximiert werden, deren Form von einer Funktion abhängt. Oft ist es ein Rechteck oder ein Dreieck, das unter einem Funktionsgraphen liegt.

Der Schlüssel ist, eine Formel für den Flächeninhalt aufzustellen, die nur von einer Variablen abhängt. Diese Variable ist meistens eine Koordinate eines Punktes, der auf dem Funktionsgraphen liegt.

Beispiel für ein Dreieck: Ein Dreieck hat die Eckpunkte $O(0|0)$ , $B(b|0)$ und $C(b|f(b))$ .

Die Grundseite des Dreiecks liegt auf der x-Achse und hat die Länge $b$ .
Die Höhe des Dreiecks ist der y-Wert des Punktes C, also $f(b)$ .

Die Flächenformel für ein Dreieck ist $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$ .

Unsere Zielfunktion lautet also: $A(b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f(b)$

Sobald du diese Funktion hast, suchst du wie gewohnt deren globalen Hochpunkt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Skizze und geometrische Formel: Mache dir eine Skizze und schreibe die allgemeine Flächenformel auf (z.B. $A = a \cdot b$ für ein Rechteck).
Seitenlängen durch eine Variable ausdrücken: Drücke alle Seitenlängen durch eine einzige Variable und die gegebene Funktion $f(x)$ aus.
Zielfunktion aufstellen: Setze die Ausdrücke in die geometrische Formel ein; du erhältst $A(x)$ in einer Variablen.
Ableitungen bilden: Bilde $A'(x)$ und $A''(x)$ .
Extremstellen finden: Setze $A'(x) = 0$ und löse nach $x$ .
Art der Extrema prüfen und antworten: $A''(x) < 0$ bestätigt ein Maximum; gib den optimalen Wert der Variablen und den maximalen Flächeninhalt an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Punkte $O(0|0)$ , $B(b|0)$ und $C(b|f(b))$ bilden für $0 < b < 16$ ein Dreieck. Die Funktion lautet $f(x)=-\frac{5}{16} x^3+5 x^2$ . Ermitteln Sie den Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1 & 2
Geometrische Formel und Seitenlängen
Die Figur ist ein rechtwinkliges Dreieck.
- Die allgemeine Formel lautet: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$ .
- Die Grundseite ist die Strecke von $O$ nach $B$ , ihre Länge ist $b$ .
- Die Höhe ist die Strecke von $B$ nach $C$ , ihre Länge ist der y-Wert von C, also $f(b)$ .
Schritt 3
Zielfunktion aufstellen
Wir setzen die Seitenlängen in die Flächenformel ein, um unsere Zielfunktion $A(b)$ zu erhalten.

$A(b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f(b)$

$A(b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(-\frac{5}{16} b^3+5 b^2\right)$

Wir multiplizieren das $b$ in die Klammer:

$A(b) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5}{16} b^4+5 b^3\right)$

$A(b) = -\frac{5}{32} b^4 + \frac{5}{2} b^3$
3
Schritt 4
Ableitungen der Zielfunktion bilden
Wir leiten die Flächenfunktion $A(b)$ zweimal ab.
- $A'(b) = 4 \cdot \left(-\frac{5}{32}\right) b^3 + 3 \cdot \frac{5}{2} b^2 = -\frac{20}{32} b^3 + \frac{15}{2} b^2 = -\frac{5}{8} b^3 + \frac{15}{2} b^2$
- $A''(b) = 3 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) b^2 + 2 \cdot \frac{15}{2} b = -\frac{15}{8} b^2 + 15b$
Schritt 5
Mögliche Extremstellen finden
Wir setzen die erste Ableitung $A'(b)$ gleich null.

$0 = -\frac{5}{8} b^3 + \frac{15}{2} b^2$

Wir klammern $b^2$ aus (da $b>0$ ist, können wir $b^2$ nicht einfach null setzen).

$0 = b^2 \cdot \left(-\frac{5}{8} b + \frac{15}{2}\right)$

Eine Lösung ist $b_1=0$ , was laut Aufgabenstellung ( $0 < b < 16$ ) ausgeschlossen ist. Wir lösen die Klammer:

$0 = -\frac{5}{8} b + \frac{15}{2}$

$\frac{5}{8} b = \frac{15}{2}$

$b = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{120}{10} = 12$

Unsere einzige sinnvolle Extremstelle ist $b_2 = 12$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Art der Extrema prüfen und antworten
Wir setzen $b=12$ in die zweite Ableitung $A''(b)$ ein.

$A''(12) = -\frac{15}{8} (12)^2 + 15(12) = -\frac{15}{8} \cdot 144 + 180 = -270 + 180 = -90$

Da $A''(12) = -90 < 0$ ist, liegt bei $b=12$ ein Hochpunkt vor. Da es der einzige Extrempunkt im Intervall ist, ist es das globale Maximum.

Jetzt berechnen wir noch den maximalen Flächeninhalt, indem wir $b=12$ in die Zielfunktion $A(b)$ einsetzen.

$A(12) = -\frac{5}{32} (12)^4 + \frac{5}{2} (12)^3 = -\frac{5}{32} \cdot 20736 + \frac{5}{2} \cdot 1728 = -3240 + 4320 = 1080$

Ergebnis:

Für $b=12$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks mit 1080 Flächeneinheiten maximal.

Wichtige Erkenntnisse

Das Grundprinzip: Jede Optimierungsaufgabe läuft darauf hinaus, eine Zielfunktion aufzustellen und von dieser den globalen Hoch- oder Tiefpunkt zu finden.
Die Zielfunktion ist der Schlüssel: Nimm dir Zeit, die Aufgabenstellung genau zu lesen und die Funktion zu finden, die maximiert oder minimiert werden soll. Das kann eine Gewinnfunktion, eine Abstandsfunktion, eine Flächenfunktion oder auch eine Steigungsfunktion (die erste Ableitung) sein.
Das Standardverfahren: Sobald du die Zielfunktion $Z(x)$ hast, ist der Weg fast immer gleich: Bilde $Z'(x)$ und $Z''(x)$ , löse $Z'(x) = 0$ , prüfe die Kandidaten mit $Z''(x)$ .
Vergiss die Ränder nicht! Wenn ein Intervall $[a, b]$ gegeben ist, musst du immer die Werte der Zielfunktion an den Rändern ( $Z(a)$ und $Z(b)$ ) berechnen und mit den Werten an den lokalen Extrema vergleichen. Der absolut größte Wert gewinnt!

Optimierungsaufgaben einfach erklärt: Schritt für Schritt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Steigung maximieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabentyp 2: Gewinn / Umsatz maximieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabentyp 3: Abstand maximieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabentyp 4: Fläche maximieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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