Inkreise und berührende Kreise konstruieren einfach erklärt

In der Geometrie ist das Konstruieren von Inkreisen und berührenden Kreisen ein wichtiges Thema. Stell dir vor, du hast einen dreieckigen Garten und möchtest darin einen runden Swimmingpool aufstellen. Der Pool soll so groß wie möglich sein und die drei Ränder des Gartens genau berühren. Wie findest du den perfekten Mittelpunkt für diesen Pool, ohne ewig herumzuprobieren?

In der Mathematik nennt man diesen perfekten Kreis den Inkreis eines Dreiecks. Mit Zirkel und Lineal können wir seinen Mittelpunkt ganz exakt bestimmen. Lass uns herausfinden, wie das funktioniert!

Vorwissen

• Dreieckskonstruktion: Du kannst ein Dreieck zeichnen, wenn du drei Seiten (SSS-Satz) oder eine Seite und zwei Winkel (WSW-Satz) kennst.

  Beispiel: Für ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten zeichnest du die erste Seite mit dem Lineal und findest den dritten Punkt, indem du zwei Kreisbögen mit dem Zirkel schlägst.

• Winkelhalbierende: Eine Linie, die einen Winkel genau in der Mitte teilt.

  Beispiel: Die Winkelhalbierende teilt einen $60^\circ$-Winkel in zwei $30^\circ$-Winkel.

• Lot fällen: Eine senkrechte Linie (im $90^\circ$-Winkel) von einem Punkt auf eine Gerade zeichnen.

  Beispiel: Um den kürzesten Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu finden, fällst du das Lot von diesem Punkt auf die Linie.

Aufgabentyp 1: Den Inkreis eines Dreiecks konstruieren

Jedes Dreieck besitzt genau einen Kreis, der alle drei Seiten von innen berührt. Dieser Kreis heißt Inkreis.

Um diesen Kreis zu zeichnen, müssen wir seinen Mittelpunkt finden. Der Mittelpunkt muss von allen drei Seiten genau gleich weit entfernt sein. Die Linie, auf der alle Punkte liegen, die von zwei sich schneidenden Seiten gleich weit entfernt sind, ist die Winkelhalbierende.

Wenn wir die Winkelhalbierenden von zwei Winkeln im Dreieck zeichnen, treffen sie sich in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$.

Der Radius des Inkreises ist der kürzeste Abstand vom Mittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$ zu einer der Seiten. Um diesen Abstand zu finden, müssen wir ein Lot fällen (eine senkrechte Linie zeichnen). Die Länge dieses Lotes ist unser Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Dreieck zeichnen: Zeichne das Dreieck mit den gegebenen Maßen in dein Heft.
2. Inkreismittelpunkt finden: Konstruiere mit dem Zirkel die Winkelhalbierenden für zwei beliebige Winkel des Dreiecks. Der Punkt, an dem sich die beiden Linien kreuzen, ist der Inkreismittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$.
3. Radius bestimmen: Fälle vom Punkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$ aus das Lot auf eine der Dreiecksseiten. Stich dazu mit dem Zirkel in $\textcolor{#08BFFF}{I}$ ein, zeichne einen Bogen über die Seite und konstruiere die Senkrechte. Der Abstand von $\textcolor{#08BFFF}{I}$ bis zur Seite ist der Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$.
4. Inkreis zeichnen: Stelle den Zirkel auf die Länge des Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$ ein. Stich in den Mittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$ ein und zeichne den Kreis. Er sollte alle drei Seiten berühren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Konstruiere den Inkreis für ein Dreieck mit den Seitenlängen $a = 5 \text{ cm}$, $b = 7 \text{ cm}$ und $c = 8 \text{ cm}$. Gib nach der Konstruktion den gemessenen Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$ des Inkreises an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Dreieck zeichnen

   Wir zeichnen zuerst die längste Seite $c = 8 \text{ cm}$ und benennen die Endpunkte $A$ und $B$. Dann stellen wir den Zirkel auf $7 \text{ cm}$ ein, stechen in $A$ ein und zeichnen einen Bogen. Danach stellen wir den Zirkel auf $5 \text{ cm}$ ein, stechen in $B$ ein und zeichnen einen zweiten Bogen. Der Schnittpunkt ist der Punkt $C$. Wir verbinden die Punkte zum Dreieck.

2. 2
   Schritt 2
   Inkreismittelpunkt finden

   Wir konstruieren die Winkelhalbierende für den Winkel bei $A$ und die Winkelhalbierende für den Winkel bei $B$. Der Schnittpunkt dieser beiden Linien ist unser Inkreismittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$.

   

3. 3
   Schritt 3
   Radius bestimmen

   Wir fällen das Lot vom Punkt $\textcolor{#08BFFF}{I}$ auf die Seite $c$ (die Strecke $AB$). Die Länge dieser senkrechten Strecke ist unser Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Inkreis zeichnen und messen

   Wir stellen den Zirkel auf den Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$ ein, stechen in $\textcolor{#08BFFF}{I}$ ein und zeichnen den Inkreis. Wenn wir nun das Lineal an das Lot anlegen, können wir den Radius ablesen.

   

Ergebnis:

Wie im Bild zu sehen ist, beträgt der gemessene Radius des Inkreises ungefähr $\textcolor{#9570FF}{r \approx 1{,}7 \text{ cm}}$.

Aufgabentyp 2: Einen Kreis mit festem Abstand zu einer Seite konstruieren

Manchmal suchen wir keinen Inkreis, der alle drei Seiten berührt, sondern einen Kreis, der nur zwei Seiten berührt und zu der dritten Seite einen festgelegten Abstand hat.

Um den Mittelpunkt $M$ für diesen Kreis zu finden, müssen wir zwei Bedingungen kombinieren:

1. Zwei Seiten berühren: Damit der Kreis zwei Seiten berührt, muss sein Mittelpunkt genau in der Mitte zwischen diesen beiden Seiten liegen. Das ist wieder unsere Winkelhalbierende.
2. Fester Abstand zur dritten Seite: Alle Punkte, die zu einer geraden Linie (der dritten Seite) denselben Abstand haben, liegen auf einer Parallelen zu dieser Seite.

Der gesuchte Mittelpunkt $M$ ist genau der Punkt, an dem sich die Winkelhalbierende und die Parallele kreuzen!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Dreieck zeichnen: Konstruiere das Dreieck mit den gegebenen Werten.
2. Winkelhalbierende konstruieren: Finde heraus, welche zwei Seiten der Kreis berühren soll. Konstruiere die Winkelhalbierende für den Winkel, der genau zwischen diesen beiden Seiten liegt.
3. Parallele zeichnen: Zeichne eine Parallele zu der dritten Seite (die nicht berührt werden soll) im vorgegebenen Abstand. Achte darauf, dass die Parallele innerhalb des Dreiecks verläuft.
4. Mittelpunkt und Radius finden: Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Parallelen ist der Mittelpunkt $M$. Fälle von $M$ das Lot auf eine der beiden Seiten, die der Kreis berühren soll. Das ist dein Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$. Zeichne den Kreis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit der Seite $c = 8 \text{ cm}$ und den anliegenden Winkeln $\alpha = 60^\circ$ und $\beta = 45^\circ$. Konstruiere einen Kreis, der die Seiten $b$ und $c$ berührt. Der Mittelpunkt dieses Kreises soll einen Abstand von $1{,}5 \text{ cm}$ zur Seite $a$ haben. Bestimme den Radius des Kreises durch Messung.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Dreieck zeichnen

   Wir zeichnen die Strecke $AB$ mit $c = 8 \text{ cm}$. Am Punkt $A$ tragen wir den Winkel $\alpha = 60^\circ$ ab und zeichnen einen langen Strahl. Am Punkt $B$ tragen wir den Winkel $\beta = 45^\circ$ ab und zeichnen ebenfalls einen Strahl. Der Schnittpunkt der Strahlen ist der Punkt $C$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Winkelhalbierende und Parallele konstruieren

   Der Kreis soll die Seiten $b$ und $c$ berühren. Diese beiden Seiten treffen sich im Punkt $A$ (beim Winkel $\alpha$). Wir konstruieren also die Winkelhalbierende für den Winkel $\alpha$.

   Zusätzlich soll der Mittelpunkt $1{,}5 \text{ cm}$ Abstand zur Seite $a$ (Strecke $BC$) haben. Wir zeichnen eine Parallele zur Seite $a$, die im Abstand von $1{,}5 \text{ cm}$ innerhalb des Dreiecks verläuft. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Parallelen ist unser Mittelpunkt $M$.

   

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Radius bestimmen und Kreis zeichnen

   Wir fällen das Lot vom Punkt $M$ auf die Seite $c$, um den Radius $\textcolor{#9570FF}{r}$ zu erhalten. Dann zeichnen wir den Kreis um $M$ mit diesem Radius.

   

Ergebnis:

Wenn wir das Lineal an das Lot anlegen, lesen wir ab: Die Messung ergibt einen Radius von ungefähr $\textcolor{#9570FF}{r \approx 2{,}1 \text{ cm}}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Inkreis berührt alle drei Seiten eines Dreiecks von innen.
• Den Inkreismittelpunkt findest du, indem du die Winkelhalbierenden konstruierst.
• Der Radius ist immer der senkrechte Abstand (das Lot) vom Mittelpunkt zu einer Seite.
• Wenn ein Punkt einen festen Abstand zu einer Linie haben soll, liegt er auf einer Parallelen zu dieser Linie.