Permutationen berechnen einfach erklärt: Anordnungen & Fakultät

Stell dir vor, du hast drei coole, neue Poster für dein Zimmer gekauft. Du möchtest sie nebeneinander an die Wand hängen. Aber in welcher Reihenfolge? Das Stern-Poster nach links, das Auto in die Mitte und den Dino nach rechts? Oder doch lieber den Dino ganz nach links?

In der Mathematik nennt man solche Reihenfolgen Anordnungen (oder auch Permutationen). Wenn wir Permutationen berechnen, schauen wir uns an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Dinge in eine Reihe zu legen – ohne dass wir alle aufzeichnen müssen!

Vorwissen

• Das Zählprinzip (Multiplikationsregel): Wenn du verschiedene Entscheidungen nacheinander triffst, multiplizierst du die Anzahl der Möglichkeiten.

  Beispiel: Wenn du $2$ verschiedene T-Shirts und $3$ verschiedene Hosen hast, gibt es insgesamt $2 \cdot 3 = 6$ mögliche Outfits.

Aufgabentyp 1: Anordnungen von verschiedenen Dingen

Wenn wir Permutationen berechnen und Dinge in eine bestimmte Reihenfolge bringen wollen, überlegen wir uns das am besten Platz für Platz. Nehmen wir wieder unsere drei verschiedenen Poster und drei freie Plätze an der Wand.

• Für den ersten Platz ganz links hast du noch alle Poster zur Auswahl. Du hast also 3 Möglichkeiten.
• Für den zweiten Platz in der Mitte hast du bereits ein Poster aufgehängt. Es bleiben also nur noch 2 Möglichkeiten übrig.
• Für den dritten Platz ganz rechts bleibt nur noch das letzte Poster übrig. Du hast also nur noch 1 Möglichkeit.

Um die Gesamtzahl aller Reihenfolgen zu finden, nutzen wir das Zählprinzip und multiplizieren die Zahlen:

$\textcolor{#08BFFF}{3} \cdot \textcolor{#53E5D6}{2} \cdot \textcolor{#9570FF}{1} = 6 \text{ Anordnungen}$

Weil Mathematiker schreibfaul sind, gibt es für diese Rechnung eine tolle Abkürzung: das Ausrufezeichen ($!$). Man nennt es Fakultät.

$3!$ (gesprochen: „drei Fakultät“) bedeutet genau das Gleiche wie $3 \cdot 2 \cdot 1$. Wenn du also $5$ verschiedene Dinge anordnen willst, rechnest du einfach $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Anzahl der Dinge bestimmen: Zähle, wie viele unterschiedliche Gegenstände du insgesamt in eine Reihe bringen möchtest. Diese Zahl nennen wir $n$.
2. Fakultät berechnen: Multipliziere die Zahl $n$ mit allen kleineren Zahlen bis hinunter zur $1$. Das ist die Fakultät ($n!$). Beispiel für $4$ Dinge: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Du hast $4$ verschiedene Lieblingsbücher und möchtest sie nebeneinander in ein Regal stellen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es dafür?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Anzahl der Dinge bestimmen

   Wir haben insgesamt $4$ verschiedene Bücher.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Fakultät berechnen

   Wir berechnen $4!$, indem wir die Möglichkeiten für jeden Platz multiplizieren:

   $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

   $= 24$

Ergebnis:

Es gibt also insgesamt $24$ verschiedene Reihenfolgen, die Bücher in das Regal zu stellen.

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Aufgabentyp 2: Anordnungen mit gleichen Dingen

Manchmal sehen einige der Dinge, die wir anordnen wollen, genau gleich aus. Stell dir vor, du hast drei bunte Kugeln: zwei rote Kugeln und eine blaue Kugel.

Wenn wir so tun, als wären alle drei Kugeln völlig verschieden (zum Beispiel Rot1, Rot2 und Blau), gäbe es $3! = 6$ Reihenfolgen. Aber schau dir mal diese beiden Reihenfolgen an:

• Rot1 - Rot2 - Blau
• Rot2 - Rot1 - Blau

Wenn wir die kleinen Zahlen wegwischen, sehen beide Reihenfolgen exakt gleich aus: Rot - Rot - Blau. Weil wir die beiden roten Kugeln untereinander vertauschen können, ohne dass sich das Bild ändert, haben wir jede Reihenfolge doppelt gezählt!

Um die richtige Anzahl zu finden, müssen wir unser Ergebnis also korrigieren. Wir teilen die Gesamtzahl durch die Anzahl der Möglichkeiten, wie die gleichen Dinge untereinander vertauscht werden können. Bei zwei gleichen roten Kugeln können diese auf $2! = 2 \cdot 1 = 2$ Arten vertauscht werden. Wir rechnen also:

$6 : 2 = 3 \text{ echte Reihenfolgen}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. So tun, als wären alle verschieden: Zähle alle Gegenstände und berechne die Fakultät, als ob jeder Gegenstand anders aussehen würde.
2. Gleiche Dinge zählen: Schau nach, wie viele Gegenstände genau gleich aussehen. Berechne für diese Zahl ebenfalls die Fakultät (das sind die unsichtbaren Vertauschungen).
3. Ergebnis korrigieren: Teile das Ergebnis aus Schritt 1 durch das Ergebnis aus Schritt 2.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für ein Spiel werden eine grüne, eine orangefarbene und zwei blaue Kugeln in eine Reihe gelegt. Bestimme die Anzahl der unterschiedlichen Reihenfolgen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   So tun, als wären alle verschieden

   Wir haben insgesamt $4$ Kugeln. Wenn alle unterschiedlich wären, gäbe es:

   $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \text{ Möglichkeiten}$

2. 2
   Schritt 2
   Gleiche Dinge zählen

   Wir haben $\textcolor{#1E90FF}{2\text{ blaue Kugeln}}$, die genau gleich aussehen. Diese können auf $2!$ Arten untereinander vertauscht werden:

   $2! = 2 \cdot 1 = 2 \text{ Vertauschungen}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Ergebnis korrigieren

   Da wir durch die gleichen blauen Kugeln alles doppelt gezählt haben, teilen wir das erste Ergebnis durch das zweite:

   $24 : 2 = 12$

Ergebnis:

Es gibt also insgesamt $12$ unterschiedliche Reihenfolgen, die Kugeln hinzulegen.

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Wichtige Erkenntnisse

• Fakultät ($!$): Um herauszufinden, wie viele Reihenfolgen es für verschiedene Dinge gibt, multiplizierst du die Anzahl mit allen kleineren Zahlen (z.B. $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1$).
• Gleiche Dinge: Wenn einige Dinge genau gleich aussehen, zählst du zuerst alle Möglichkeiten und teilst das Ergebnis dann durch die Vertauschungen der gleichen Dinge.