Was ist die Lage eines Punktes zum Graphen?

Die Lage eines Punktes beschreibt, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem im Vergleich zu einem Funktionsgraphen befindet. Ein Punkt kann genau auf dem Graphen liegen, über dem Graphen schweben oder sich unter dem Graphen befinden. Du kannst dies ganz einfach rechnerisch prüfen, ohne den Graphen zeichnen zu müssen.

Wie berechne ich, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt?

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, machst du die sogenannte Punktprobe . Du setzt die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechnest den y-Wert. Ist dieser berechnete Wert exakt gleich der y-Koordinate deines Punktes, liegt der Punkt genau auf dem Graphen.

Woran erkenne ich, dass ein Punkt über oder unter dem Graphen liegt?

Du vergleichst die y-Koordinate deines Punktes mit dem berechneten Funktionswert an dieser Stelle. Ist die y-Koordinate deines Punktes größer als der berechnete Wert, liegt der Punkt über dem Graphen. Ist sie kleiner , liegt der Punkt unter dem Graphen.

Lage von Punkten berechnen

Stell dir vor, du programmierst eine Drohne. Der Bordcomputer hat eine genaue Flugroute berechnet. Während des Fluges sendet die Drohne ihre aktuelle Position an dich. Nun musst du schnell entscheiden: Fliegt die Drohne genau auf der geplanten Route, schwebt sie zu hoch darüber oder droht sie darunter abzustürzen?

In der Mathematik machen wir genau das Gleiche, wenn wir die Lage von Punkten berechnen! Wir haben eine berechnete Route (den Funktionsgraphen) und eine aktuelle Position (einen Punkt). Lass uns lernen, wie wir ganz ohne Zeichnen berechnen können, ob ein Punkt auf, über oder unter einem Graphen liegt.

Vorwissen

Funktionswert berechnen: Du kannst den $y$ -Wert eines Graphen an einer bestimmten Stelle berechnen, indem du den $x$ -Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Beispiel: Für $f(x) = 2x + 1$ und $x=3$ ist der Funktionswert $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .
Punktprobe: Du weißt bereits, wie man prüft, ob ein Punkt genau auf dem Graphen liegt (wenn der berechnete $y$ -Wert genau dem $y$ -Wert des Punktes entspricht).

Aufgabentyp 1: Lage eines Punktes zum Graphen berechnen

Um herauszufinden, wo ein Punkt $P(x_P | y_P)$ im Vergleich zu einem Funktionsgraphen $f(x)$ liegt, müssen wir nicht den ganzen Graphen zeichnen. Wir schauen uns nur die genaue Stelle an, an der sich der Punkt befindet (seine $x$ -Koordinate).

Wir vergleichen an dieser Stelle zwei Höhen miteinander:

Die Höhe des Punktes: Das ist einfach seine $y$ -Koordinate, also $\textcolor{#08BFFF}{y_P}$ .
Die Höhe des Graphen: Diese berechnen wir, indem wir den $x$ -Wert des Punktes in die Funktion einsetzen, also $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ .

Wenn wir beide Werte haben, vergleichen wir sie einfach:

Ist $\textcolor{#08BFFF}{y_P} > \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ , liegt der Punkt über dem Graphen.
Ist $\textcolor{#08BFFF}{y_P} < \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ , liegt der Punkt unter dem Graphen.
Ist $\textcolor{#08BFFF}{y_P} = \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ , liegt der Punkt genau auf dem Graphen.

Ein kurzes Beispiel: Angenommen, der Graph hat an der Stelle $x=2$ die Höhe $4$ (also $\textcolor{#9570FF}{f(2)=4}$ ). Unser Punkt hat an der gleichen Stelle die Höhe $6$ (also $\textcolor{#08BFFF}{y_P=6}$ ). Da $\textcolor{#08BFFF}{6} > \textcolor{#9570FF}{4}$ ist, liegt der Punkt eindeutig über dem Graphen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Funktionswert berechnen Nimm die $x$ -Koordinate des Punktes und setze sie in die Funktionsgleichung ein. Berechne das Ergebnis. Das ist die Höhe des Graphen $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ .
Schritt 2: Werte vergleichen Vergleiche nun die $y$ -Koordinate des Punktes ( $\textcolor{#08BFFF}{y_P}$ ) mit deinem berechneten Ergebnis ( $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ ).
Schritt 3: Schlussfolgerung ziehen Entscheide anhand des Vergleichs:

$\textcolor{#08BFFF}{y_P} > \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt über dem Graphen.
$\textcolor{#08BFFF}{y_P} < \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt unter dem Graphen.
$\textcolor{#08BFFF}{y_P} = \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt auf dem Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 2$ . Überprüfe rechnerisch die Lage der Punkte $P(3 | 9)$ und $Q(2 | 1)$ bezüglich des Graphen von $f$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x=3$ in die Funktion ein: $f(3) = 3^2 - 2$ $\textcolor{#9570FF}{f(3) = 7}$
Schritt 2 & 3
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $\textcolor{#08BFFF}{y_P=9}$ mit $\textcolor{#9570FF}{f(3)=7}$ : $\textcolor{#08BFFF}{9} > \textcolor{#9570FF}{7}$ Da der $y$ -Wert des Punktes größer ist, liegt der Punkt $P$ über dem Graphen von $f$ .

Prüfung für den Punkt $Q(2 | 1)$ : Der Punkt hat die Koordinaten $x=2$ und $\textcolor{#08BFFF}{y_Q=1}$ .
Schritt 1
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x=2$ in die Funktion ein: $f(2) = 2^2 - 2$ $\textcolor{#9570FF}{f(2) = 2}$
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Werte vergleichen und Schlussfolgerung ziehen
Wir vergleichen $\textcolor{#08BFFF}{y_Q=1}$ mit $\textcolor{#9570FF}{f(2)=2}$ : $\textcolor{#08BFFF}{1} < \textcolor{#9570FF}{2}$ Da der $y$ -Wert des Punktes kleiner ist, liegt der Punkt $Q$ unter dem Graphen von $f$ .

Parabel mit Punkten P und Q

Ergebnis:

Der Punkt $P$ liegt über dem Graphen von $f$ und der Punkt $Q$ liegt unter dem Graphen von $f$ .

Quiz zu Lage von Punkten berechnen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Lage von Punkten berechnen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Lage von Punkten berechnen

Wie berechnet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle?

Quizfrage 2 zu Lage von Punkten berechnen

Nur mit Account

Welcher Funktionswert ergibt sich für die Funktion $f(x) = 2x + 1$ an der Stelle $x=3$ ?

Übungsaufgabe zu Lage von Punkten berechnen

Nur mit Account

Kostenlos freischalten

Wichtige Erkenntnisse

Um die Lage eines Punktes zu prüfen, vergleichst du immer die $y$ -Koordinate des Punktes ( $\textcolor{#08BFFF}{y_P}$ ) mit dem berechneten Funktionswert ( $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ ):

$\textcolor{#08BFFF}{y_P} > \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt über dem Graphen.
$\textcolor{#08BFFF}{y_P} < \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt unter dem Graphen.
$\textcolor{#08BFFF}{y_P} = \textcolor{#9570FF}{f(x_P)} \to$ Punkt liegt auf dem Graphen.

Lage von Punkten berechnen einfach erklärt: Schritt für Schritt