Umgehen mit Funktionsgraphen einfach erklärt: Graphen lesen

Kennst du das? Du verlässt morgens das Haus und dein Handy-Akku ist bei $100 \%$. Über den Tag hinweg schreibst du Nachrichten, schaust Videos und spielst Spiele. Der Akku wird immer leerer.

Wenn wir aufschreiben, wie viel Prozent der Akku zu welcher Uhrzeit hat, bekommen wir viele Zahlen. Aber viel übersichtlicher ist es, wenn wir diese Zahlen als ein Bild zeichnen! Genau das ist ein Funktionsgraph. Er zeigt uns auf einen Blick, wie sich eine Sache (der Akku) im Laufe der Zeit verändert. In diesem Thema lernst du, wie du solche Graphen selbst zeichnest, wie du sie liest und wie du spannende Geschichten aus ihnen erkennst!

Vorwissen

• Das Koordinatensystem: Es besteht aus einer waagerechten $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$ (geht nach rechts) und einer senkrechten $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$ (geht nach oben).

• Punkte eintragen: Ein Punkt wird immer als $(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$ angegeben. Du gehst zuerst auf der $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$ nach rechts oder links und dann parallel zur $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$ nach oben oder unten.

  Beispiel: Für den Punkt $(\textcolor{#08BFFF}{3}|\textcolor{#9570FF}{4})$ gehst du $\textcolor{#08BFFF}{3}$ Schritte nach rechts und $\textcolor{#9570FF}{4}$ Schritte nach oben.

Aufgabentyp 1: Graphen aus einer Wertetabelle zeichnen

Eine Funktion ordnet einem bestimmten Wert (zum Beispiel einem Monat) einen anderen Wert zu (zum Beispiel eine Temperatur). Wir schreiben das oft so: $\textcolor{#08BFFF}{x} \mapsto \textcolor{#9570FF}{y}$. Das bedeutet: Der Wert $\textcolor{#08BFFF}{x}$ wird dem Wert $\textcolor{#9570FF}{y}$ zugeordnet.

Oft haben wir diese Wertepaare in einer Wertetabelle gesammelt. Um daraus ein übersichtliches Bild zu machen, zeichnen wir einen Funktionsgraphen.

Dafür betrachten wir jedes Paar aus der Tabelle als einen Punkt $(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$ im Koordinatensystem. Die obere Zeile der Tabelle ist meistens unsere $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$ und die untere Zeile unsere $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$. Wenn wir alle Punkte eingetragen haben, verbinden wir sie miteinander.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Achsen festlegen: Bestimme, was die $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$ (meist die obere Zeile der Tabelle) und was die $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$ (meist die untere Zeile) ist. Beschrifte die Achsen im Koordinatensystem.
2. Punkte ablesen: Nimm jedes Zahlenpaar aus der Tabelle und schreibe es als Punkt $(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$ auf.
3. Punkte einzeichnen und verbinden: Zeichne alle Punkte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte anschließend in der richtigen Reihenfolge (von links nach rechts) mit einer Linie.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Graphen im Sachkontext: Gefäße füllen

Graphen können uns auch beschreiben, wie ein Vorgang in der echten Welt abläuft, ohne dass wir genaue Zahlen haben. Ein bekanntes Alltagsbeispiel ist das Füllen von Gefäßen mit Wasser.

Stell dir vor, du lässt Wasser aus einem Wasserhahn laufen. Das Wasser fließt immer gleich schnell. Wir wollen zeichnen, wie die Füllhöhe (wie hoch das Wasser im Glas steht) mit der Zeit ansteigt.

Wie der Graph aussieht, hängt nur von der Form des Gefäßes ab:

• Gefäß ist überall gleich breit (z. B. ein Zylinder): Das Wasser steigt immer gleich schnell. Der Graph ist eine gerade Linie, die schräg nach oben geht.
• Gefäß wird nach oben hin breiter (z. B. eine Schale): Unten ist wenig Platz, das Wasser steigt schnell. Oben ist viel Platz, das Wasser braucht länger, um zu steigen. Der Graph fängt steil an und wird dann immer flacher.
• Gefäß wird nach oben hin schmaler (z. B. eine Flasche): Unten ist viel Platz, das Wasser steigt langsam. Oben ist wenig Platz, das Wasser steigt sehr schnell. Der Graph fängt flach an und wird dann immer steiler.

Die wichtigste Regel: Je schmaler das Gefäß, desto steiler geht der Graph nach oben!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Eine Vase wird mit einem gleichmäßigen Wasserstrahl gefüllt. Die Vase ist unten sehr breit und wird nach oben hin immer schmaler.

Beschreibe, wie der Graph aussehen muss, der die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Form der Vase analysieren

   Wir schauen uns die Form an: Die Vase ist unten breit und oben schmal.

2. 2
   Schritt 2
   Steigung überlegen

   Weil die Vase unten breit ist, braucht das Wasser am Anfang lange, um zu steigen. Der Graph muss also flach beginnen. Weil die Vase oben schmal ist, steigt das Wasser dort sehr schnell. Der Graph muss am Ende also steil sein.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen beschreiben

   Der Graph beginnt im Ursprung flach und biegt sich dann immer steiler nach oben.

   

Ergebnis:

Der Graph beginnt flach und wird nach oben hin immer steiler.

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Aufgabentyp 3: Werte aus einem Graphen ablesen

Oft haben wir einen fertigen Graphen und wollen eine bestimmte Information herausfinden. Zum Beispiel: „Wie warm war es um $14$ Uhr?“

Um einen Wert abzulesen, musst du wissen, welche Größe auf welcher Achse steht. Wenn du einen Wert auf der $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$ gegeben hast und den passenden Wert auf der $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$ suchst, gehst du wie ein Entdecker vor: Du startest bei deinem bekannten Wert, wanderst zum Graphen und schaust dann, auf welcher Höhe du gelandet bist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Startpunkt finden: Suche den gegebenen Wert auf der richtigen Achse (meistens die waagerechte $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$).
2. Zum Graphen wandern: Gehe von diesem Punkt aus senkrecht nach oben (oder unten), bis du genau auf der Linie des Graphen stehst.
3. Zielwert ablesen: Gehe von diesem Punkt auf dem Graphen waagerecht zur anderen Achse (meistens die senkrechte $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$). Lies dort die gesuchte Zahl ab.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Nachmittag.

Lies ab, wie hoch die Temperatur um $\textcolor{#08BFFF}{14 \text{ Uhr}}$ war.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Startpunkt finden

   Wir suchen die Uhrzeit $\textcolor{#08BFFF}{14}$ auf der waagerechten $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Achse}}$.

2. 2
   Schritt 2
   Zum Graphen wandern

   Von der $\textcolor{#08BFFF}{14}$ gehen wir senkrecht nach oben, bis wir die Linie des Graphen treffen.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Zielwert ablesen

   Von diesem Treffpunkt auf dem Graphen gehen wir waagerecht nach links zur $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Achse}}$. Dort lesen wir den Wert $\textcolor{#9570FF}{20}$ ab. Die Temperatur um $14 \text{ Uhr}$ betrug also \textcolor{#9570FF}{20 \, ^\circ\text{C}}.

   

Ergebnis:

Die Temperatur um $14 \text{ Uhr}$ betrug 20 \, ^\circ\text{C}.

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Aufgabentyp 4: Graphen einer Geschichte zuordnen

Manchmal hast du einen Graphen und musst herausfinden, welche Geschichte dazu passt. Dabei geht es nicht um genaue Zahlen, sondern um den Verlauf des Graphen. Du musst den Graphen in verschiedene Abschnitte einteilen und schauen, was dort passiert:

• Der Graph steigt (geht nach oben): Der Wert wird größer. (Zum Beispiel: Ein Wanderer geht bergauf, die Höhe nimmt zu).
• Der Graph fällt (geht nach unten): Der Wert wird kleiner. (Zum Beispiel: Ein Auto bremst, die Geschwindigkeit nimmt ab).
• Der Graph ist waagerecht (flach): Der Wert bleibt gleich. (Zum Beispiel: Jemand macht eine Pause, die zurückgelegte Strecke ändert sich nicht).

Wenn du dir anschaust, wie steil der Graph ist und wann er steigt oder fällt, kannst du ihn wie einen Detektiv der richtigen Situation zuordnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Der Graph zeigt die Höhe eines Wanderers während einer Tour.

Welche der drei Beschreibungen passt zu dem Graphen?

• Tour A: Es geht zuerst steil bergab, dann geradeaus und am Ende bergauf.
• Tour B: Es geht zuerst bergauf, dann läuft man ein Stück flach geradeaus und am Ende geht es steil bergab.
• Tour C: Man läuft die ganze Zeit gleichmäßig bergauf.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Den Graphen in Abschnitte teilen

   Wir schauen uns den Graphen von links nach rechts an und erkennen drei Phasen.

2. 2
   Schritt 2
   Die Phasen übersetzen
   • Phase 1: Der Graph geht nach oben. Die Höhe nimmt zu. Der Wanderer geht also bergauf.
   • Phase 2: Der Graph ist waagerecht. Die Höhe bleibt gleich. Der Wanderer läuft flach geradeaus.
   • Phase 3: Der Graph geht steil nach unten. Die Höhe nimmt ab. Der Wanderer geht steil bergab.
3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Zuordnen

   Die Beschreibung, die genau zu diesen drei Phasen passt, ist Tour B.

Ergebnis:

Die richtige Beschreibung für den Graphen ist Tour B.

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Wichtige Erkenntnisse

• Ein Funktionsgraph entsteht, wenn du Wertepaare als Punkte $(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$ in ein Koordinatensystem einträgst und verbindest.
• Gefäße füllen: Je schmaler das Gefäß, desto schneller steigt das Wasser und desto steiler ist der Graph.
• Werte ablesen: Starte auf der bekannten Achse, wandere senkrecht/waagerecht zum Graphen und dann zur anderen Achse.
• Verlauf deuten: Ein steigender Graph bedeutet Zunahme, ein fallender Graph bedeutet Abnahme, ein waagerechter Graph bedeutet Stillstand (keine Veränderung).