Wertemenge einfach erklärt: Berechnen, Ablesen & Beispiele

Wenn du dich mit Funktionen beschäftigst, stößt du früher oder später auf den Begriff der Wertemenge. Stell dir einen Getränkeautomaten vor: Du wirfst eine bestimmte Münze ein (dein Input) und bekommst ein bestimmtes Getränk heraus (dein Output). In der Mathematik ist eine Funktion genau so ein Automat!

Die Zahlen, die du in die Funktion einsetzen darfst, sind die Münzen. Das haben wir bereits als Definitionsmenge kennengelernt. Aber was ist mit den Getränken, die herauskommen? Die Menge aller möglichen Ergebnisse, die eine Funktion ausspucken kann, nennen wir die Wertemenge. In diesem Artikel lernen wir, wie wir diese Werte berechnen, zeichnen und ganz einfach an einem Graphen ablesen können!

Schnellantwort

Die Wertemenge (auch Wertebereich genannt) ist die Menge aller y-Werte, die eine Funktion als Ergebnis annehmen kann. Während die Definitionsmenge angibt, welche x-Werte du in die Funktion einsetzen darfst, zeigt dir die Wertemenge, welche Werte als Output herauskommen können.

Vorwissen

Bevor wir uns die Wertemenge genauer ansehen, solltest du folgende Grundlagen kennen:

• Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer als $P(x|y)$ angegeben. Der $x$-Wert geht nach rechts/links, der $y$-Wert nach oben/unten. Beispiel: Der Punkt $P(2|3)$ liegt $2$ Schritte rechts und $3$ Schritte oben.
• Definitionsmenge ($\text{D}$): Alle $x$-Werte, die man in eine Funktion einsetzen darf. Man darf z.B. nie durch Null teilen. Beispiel: Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ darf man die $0$ nicht einsetzen. Man schreibt: $\text{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (Alle reellen Zahlen außer der Null).

Aufgabentyp 1: Berechnen und Einzeichnen der Wertetabelle

Um zu sehen, wie eine Funktion aussieht und welche Wertemenge sie hat, müssen wir sie zeichnen. Dafür brauchen wir Punkte im Koordinatensystem. Aber woher bekommen wir diese Punkte?

Wir nutzen eine Wertetabelle. Das ist wie eine kleine Fabrik: Wir nehmen uns verschiedene $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Werte, setzen sie in die Funktionsgleichung ein und rechnen die passenden $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte (die Funktionswerte) aus.

Jedes Paar aus $\textcolor{#08BFFF}{x}$ und $\textcolor{#9570FF}{y}$ bildet dann einen Punkt $P(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$, den wir in das Koordinatensystem eintragen können. Wenn wir genug Punkte haben, verbinden wir sie zu einer durchgehenden Linie – dem Funktionsgraphen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. $x$-Werte einsetzen: Setze die vorgegebenen $x$-Werte nacheinander in die Funktionsgleichung ein und rechne das Ergebnis aus. Das Ergebnis ist dein $y$-Wert.
2. Tabelle ausfüllen: Trage die berechneten $y$-Werte in die untere Zeile der Wertetabelle ein, genau unter den passenden $x$-Wert.
3. Punkte zeichnen und verbinden: Lies die Spalten der Tabelle als Punkte $P(x|y)$. Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie mit einer geschwungenen Linie (nicht mit dem Lineal, außer es ist eine Gerade!).

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Ablesen der Wertemenge

Wir wissen nun, wie man Graphen zeichnet. Jetzt drehen wir den Spieß um: Wir schauen uns einen fertigen Graphen an und wollen herausfinden, welche $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte er überhaupt erreichen kann.

Die Menge aller $y$-Werte, die ein Graph annimmt, nennen wir die Wertemenge ($\text{W}$).

Stell dir vor, du leuchtest von links und rechts mit einer Taschenlampe auf den Graphen. Der Schatten, den der Graph auf die vertikale $y$-Achse wirft, ist die Wertemenge!

Oft nimmt eine Funktion fast alle Zahlen an, also alle reellen Zahlen ($\mathbb{R}$). Manchmal gibt es aber eine unsichtbare waagerechte Grenze, an die sich der Graph nur anschmiegt, sie aber nie berührt. Diese Grenze nennt man Asymptote. Der $y$-Wert dieser Asymptote fehlt dann in der Wertemenge.

Wenn der Graph, wie im Bild oben, den Wert $y = 1$ niemals erreicht, schreiben wir das so auf: $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

Das sprichst du so aus: „Die Wertemenge sind alle reellen Zahlen ohne die Eins.“

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. $y$-Achse absuchen: Fahre mit dem Finger die $y$-Achse von unten nach oben ab. Prüfe, ob es auf jeder Höhe einen Punkt auf dem Graphen gibt.
2. Lücken finden: Gibt es eine waagerechte Linie (Asymptote), der sich der Graph nur nähert, sie aber nie berührt? Notiere dir diesen $y$-Wert.
3. Wertemenge aufschreiben: Schreibe die Wertemenge auf. Wenn der Wert $y_0$ fehlt, schreibst du: $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{y_0\}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist der Graph der Funktion $f(x) = \frac{3}{x+1} - 4$. Bestimme die Wertemenge $\text{W}$ von $f$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $y$-Achse absuchen und Lücken finden

   Wir betrachten den Graphen und suchen nach waagerechten Linien, die nicht berührt werden. Wir erkennen, dass sich der Graph nach links und rechts immer weiter der Höhe $\textcolor{#9570FF}{y = -4}$ nähert, diese Linie aber niemals kreuzt oder berührt. Der Funktionswert $-4$ wird also nicht angenommen.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Wertemenge aufschreiben

   Da alle anderen Werte angenommen werden, schließen wir nur die $-4$ aus der Menge der reellen Zahlen aus.

Ergebnis:

Die Wertemenge ist: $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$

Aufgabentyp 3: Einfluss der Funktionsanpassung

Was passiert eigentlich, wenn wir die Funktionsgleichung ein kleines bisschen verändern?

Schauen wir uns die Funktion $f(x) = \frac{1}{x - \textcolor{#53E5D6}{a}}$ an. Der Buchstabe $\textcolor{#53E5D6}{a}$ ist ein sogenannter Parameter. Das bedeutet, wir können für $\textcolor{#53E5D6}{a}$ verschiedene Zahlen einsetzen und schauen, wie sich der Graph verändert.

Wenn wir $\textcolor{#53E5D6}{a}$ verändern (z.B. von $2$ auf $5$), schieben wir den gesamten Graphen einfach nach links oder rechts. Das hat zwei wichtige Folgen:

1. Die Definitionsmenge ($\text{D}$) ändert sich: Da wir nicht durch Null teilen dürfen, ist genau der $x$-Wert verboten, der den Nenner zu Null macht. Bei $x - \textcolor{#53E5D6}{a}$ ist das genau die Zahl $\textcolor{#53E5D6}{a}$. Die Definitionsmenge wandert also mit dem Graphen mit: $\text{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#53E5D6}{a}\}$.
2. Die Wertemenge ($\text{W}$) bleibt gleich: Da wir den Graphen nur nach links oder rechts schieben, ändert sich seine Höhe nicht! Die waagerechte Asymptote bleibt genau da, wo sie vorher war (hier bei $y = 0$). Die Wertemenge wird von $\textcolor{#53E5D6}{a}$ also nicht beeinflusst.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Wertetabelle: Hilft dir, Punkte zu berechnen, um den Graphen zeichnen zu können.
• Wertemenge ($\text{W}$): Alle $y$-Werte, die ein Graph annimmt. Du liest sie ab, indem du nach Lücken (Asymptoten) auf der vertikalen $y$-Achse suchst.
• Schreibweise: Fehlt der Wert $y_0$, schreibst du $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{y_0\}$.
• Parameter-Verschiebung: Bei $f(x) = \frac{1}{x-a}$ verschiebt das $a$ den Graphen nach links/rechts. Das ändert die Definitionsmenge, aber niemals die Wertemenge!