Trigonometrische Terme vereinfachen einfach erklärt: So geht's

Die Vereinfachung von Termen mit trigonometrischen Beziehungen bringt Ordnung ins mathematische Chaos. Stell dir vor, du suchst in einem völlig unordentlichen Rucksack nach deinem Haustürschlüssel. Es dauert ewig und ist frustrierend. Wenn du den Rucksack aber einmal richtig aufräumst, findest du den Schlüssel in Sekundenschnelle. Genau so ist es in der Mathematik mit langen, komplizierten Termen. Wenn wir sie so stehen lassen, wird das Weiterrechnen zur Qual. Zum Glück gibt es in der Trigonometrie ein paar geniale „Aufräum-Regeln“. Mit diesen Regeln können wir riesige Brüche voller Sinus- und Kosinus-Werte in winzige, einfache Ausdrücke verwandeln. Lass uns lernen, wie wir dieses mathematische Chaos beseitigen!

Vorwissen

• Trigonometrische Schreibweise: Wenn wir den Sinus oder Kosinus quadrieren, schreiben wir die kleine $2$ direkt hinter das Wort, nicht ganz ans Ende.

  Beispiel: $\sin^2(\alpha)$ bedeutet genau dasselbe wie $(\sin(\alpha))^2$.

• Durch einen Bruch teilen: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert malnimmt.

  Beispiel: $\frac{a}{\frac{b}{c}} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b}$.

Aufgabentyp 1: Trigonometrische Terme vereinfachen

Um die Vereinfachung von Termen mit trigonometrischen Beziehungen zu meistern, nutzen wir drei grundlegende Regeln. Manchmal sehen mathematische Terme völlig verschieden aus, bedeuten aber exakt dasselbe. In der Trigonometrie gibt es feste Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens. Wenn wir diese Beziehungen kennen, können wir komplizierte Teile eines Terms einfach durch etwas viel Kürzeres ersetzen.

Die berühmteste dieser Regeln nennt man den trigonometrischen Pythagoras:

$\textcolor{#08BFFF}{\sin^2(\alpha)} + \textcolor{#9570FF}{\cos^2(\alpha)} = 1$

Warum ist das so? Probieren wir es mit einer echten Zahl aus, zum Beispiel $\alpha = 30^\circ$:

$\textcolor{#08BFFF}{\sin^2(30^\circ)} + \textcolor{#9570FF}{\cos^2(30^\circ)}$

$= \textcolor{#08BFFF}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \textcolor{#9570FF}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$

$= \textcolor{#08BFFF}{\frac{1}{4}} + \textcolor{#9570FF}{\frac{3}{4}} = 1$

Es funktioniert immer! Für das Vereinfachen von Termen ist diese Formel besonders nützlich, wenn wir sie umstellen. Wenn wir auf beiden Seiten minus $\cos^2(\alpha)$ rechnen, erhalten wir:

$\textcolor{#08BFFF}{\sin^2(\alpha)} = 1 - \textcolor{#9570FF}{\cos^2(\alpha)}$

Oder umgekehrt, wenn wir minus $\sin^2(\alpha)$ rechnen:

$\textcolor{#9570FF}{\cos^2(\alpha)} = 1 - \textcolor{#08BFFF}{\sin^2(\alpha)}$

Wenn du also in einem Bruch den Ausdruck $1 - \cos^2(\alpha)$ siehst, kannst du ihn sofort durch ein simples $\sin^2(\alpha)$ ersetzen.

Winkel bis 90° umwandeln

In einem rechtwinkligen Dreieck sind alle drei Winkel zusammen immer $180^\circ$ groß. Da der rechte Winkel schon $90^\circ$ wegnimmt, müssen die anderen beiden Winkel zusammen genau die restlichen $90^\circ$ ergeben.

Wenn der eine Winkel $\alpha$ ist, ist der andere Winkel automatisch $90^\circ - \alpha$. Das Spannende daran: Die Gegenkathete von $\alpha$ ist gleichzeitig die Ankathete des anderen Winkels! Daraus ergeben sich feste Tauschregeln für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$:

• $\textcolor{#53E5D6}{\cos(90^\circ - \alpha)} = \textcolor{#08BFFF}{\sin(\alpha)}$
• $\textcolor{#53E5D6}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \textcolor{#08BFFF}{\cos(\alpha)}$
• $\textcolor{#53E5D6}{\tan(90^\circ - \alpha)} = \frac{1}{\textcolor{#08BFFF}{\tan(\alpha)}}$

Auch hier hilft ein kurzer Test mit echten Zahlen: $\cos(90^\circ - 30^\circ)$ ist dasselbe wie $\cos(60^\circ)$. Und $\cos(60^\circ)$ ist $0{,}5$. Genau wie $\sin(30^\circ)$ auch $0{,}5$ ist! Du kannst also komplizierte Klammern wie $(90^\circ - \alpha)$ einfach wegzaubern, indem du Sinus und Kosinus tauschst.

Den Tangens ersetzen

Die dritte wichtige Regel verbindet den Tangens direkt mit dem Sinus und dem Kosinus. Der Tangens eines Winkels ist nämlich nichts anderes als der Sinus geteilt durch den Kosinus:

$\textcolor{#9570FF}{\tan(\alpha)} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\sin(\alpha)}}{\textcolor{#53E5D6}{\cos(\alpha)}}$

Machen wir auch hier den Zahlen-Check mit $\alpha = 45^\circ$:

$\tan(45^\circ) = 1$

$\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Wenn du in einem Bruch einen Tangens siehst, der dich beim Kürzen stört, kannst du ihn durch $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ ersetzen. Oft lassen sich die Brüche danach wunderbar auflösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wenn du einen komplizierten Term vereinfachen sollst, gehe nach diesem Plan vor:

1. Identifizieren und Ersetzen: Suche im Term nach bekannten Mustern und ersetze sie. Siehst du ein Quadrat wie $1 - \cos^2(\alpha)$? Nutze den trigonometrischen Pythagoras. Siehst du eine Klammer mit $(90^\circ - \alpha)$? Tausche Sinus und Kosinus. Gibt es einen Tangens? Ersetze ihn durch $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
2. Doppelbrüche auflösen: Wenn durch das Ersetzen ein Bruch in einem Bruch entstanden ist, löse ihn auf. Teile durch den Bruch, indem du mit dem Kehrwert malnimmst.
3. Kürzen: Streiche gleiche Ausdrücke, die sowohl oben im Zähler als auch unten im Nenner stehen, weg. Was übrig bleibt, ist dein vereinfachter Term.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Pythagoras: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. (Lässt sich umstellen zu $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$).
• Winkel-Tausch: Bei $(90^\circ - \alpha)$ wird aus Sinus ein Kosinus und aus Kosinus ein Sinus.
• Tangens-Bruch: Den Tangens kannst du immer durch $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ ersetzen.