Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck einfach erklärt

Stell dir vor, du stehst vor einem riesigen Baum und möchtest wissen, wie hoch er ist. Hochklettern und ein Maßband anlegen? Viel zu gefährlich! Was wäre, wenn du die Höhe ganz einfach vom Boden aus berechnen könntest?

Genau hier hilft dir die Trigonometrie beim Berechnen von Winkeln und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck! Mit ihr kannst du fehlende Seiten oder Winkel berechnen, wenn du nur ein paar wenige Informationen hast. Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich nur das Einsetzen in drei bestimmte Formeln. Lass uns schauen, wie das funktioniert!

Vorwissen

• Rechtwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, das einen rechten Winkel (genau $90^\circ$) hat. Dieser wird oft mit einem Punkt im Winkelbogen markiert.

  Beispiel: In einem Dreieck mit den Winkeln $30^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$ ist der $90^\circ$-Winkel der rechte Winkel.

• Gleichungen umstellen: Um eine Variable zu isolieren, nutzt man die Gegenoperation.

  Beispiel: Wenn $5 = \frac{x}{3}$ gegeben ist, rechnest du $\cdot 3$, um $x$ alleine stehen zu haben. Das ergibt $x = 15$.

Aufgabentyp 1: Die Seiten im rechtwinkligen Dreieck erkennen

Bevor wir rechnen können, müssen wir den Seiten im rechtwinkligen Dreieck die richtigen Namen geben. Die Namen hängen davon ab, von welchem Winkel aus wir das Dreieck betrachten. Nehmen wir an, wir stehen im Winkel $\alpha$:

• Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Sie liegt dem rechten Winkel immer direkt gegenüber.
• Die Gegenkathete ist die Seite, die dem Winkel $\alpha$ direkt gegenüber liegt.
• Die Ankathete ist die Seite, die direkt an dem Winkel $\alpha$ anliegt (und nicht die Hypotenuse ist).

Wenn du diese drei Seiten kennst, kannst du die drei wichtigsten Formeln der Trigonometrie aufstellen. Sie beschreiben einfach nur das Verhältnis (den Bruch) von zwei Seitenlängen:

• Sinus: $\sin(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{#53E5D6}{\text{Hypotenuse}}}$

• Kosinus: $\cos(\alpha) = \frac{\textcolor{#9570FF}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{#53E5D6}{\text{Hypotenuse}}}$

• Tangens: $\tan(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{#9570FF}{\text{Ankathete}}}$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a = 3 \text{ cm}$, $b = 4 \text{ cm}$ und $c = 5 \text{ cm}$. Der rechte Winkel liegt bei $C$, der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$.

Stelle die Brüche für $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ auf.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Seiten benennen

   Wir betrachten das Dreieck vom Winkel $\alpha$ aus:

   • Die Hypotenuse ist die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel: $c = 5 \text{ cm}$.
   • Die Gegenkathete liegt gegenüber von $\alpha$: $a = 3 \text{ cm}$.
   • Die Ankathete liegt an $\alpha$ an: $b = 4 \text{ cm}$.
2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   In die Formeln einsetzen (Antwort)

   Wir setzen die Zahlen in die Formeln ein:

   • $\sin(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{3}}{\textcolor{#53E5D6}{5}}$

   • $\cos(\alpha) = \frac{\textcolor{#9570FF}{4}}{\textcolor{#53E5D6}{5}}$

   • $\tan(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{3}}{\textcolor{#9570FF}{4}}$

Ergebnis:

Die Brüche für Sinus, Kosinus und Tangens sind aufgestellt.

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Aufgabentyp 2: Eine fehlende Seitenlänge berechnen

Oft kennst du in einem Dreieck nur einen Winkel und eine einzige Seite, möchtest aber eine andere Seite herausfinden. Das ist kein Problem! Du musst nur herausfinden, welche der drei Formeln (Sinus, Kosinus oder Tangens) die richtigen Seiten enthält.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegeben und Gesucht markieren.
2. Die richtige Formel auswählen.
3. Einsetzen und ausrechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $52^\circ$ groß. Die Hypotenuse ist $7 \text{ dm}$ lang. Berechne die Länge der Seite $a$, die dem $52^\circ$-Winkel gegenüberliegt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gegeben und Gesucht markieren

   Wir betrachten das Dreieck vom $52^\circ$-Winkel aus:

   • Gegeben: Die Hypotenuse ($7 \text{ dm}$).
   • Gesucht: Die Seite $a$ liegt gegenüber, ist also die Gegenkathete.
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   Schritt 2
   Die richtige Formel auswählen

   Wir haben Gegenkathete und Hypotenuse. Dafür brauchen wir den Sinus:

   $\sin(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{#53E5D6}{\text{Hypotenuse}}}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Einsetzen und ausrechnen

   Wir setzen unsere Werte ein:

   $\sin(52^\circ) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{a}}{\textcolor{#53E5D6}{7 \text{ dm}}}$

   Um $a$ alleine stehen zu haben, rechnen wir auf beiden Seiten $\cdot 7 \text{ dm}$:

   $a = \sin(52^\circ) \cdot 7 \text{ dm}$

   Das tippen wir in den Taschenrechner ein:

Ergebnis:

Die Seite $a$ ist ungefähr $5{,}52 \text{ dm}$ lang.

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Aufgabentyp 3: Einen fehlenden Winkel berechnen

Manchmal kennst du zwei Seiten eines Dreiecks, aber der Winkel fehlt. Auch hier helfen dir Sinus, Kosinus und Tangens.

Der einzige Unterschied: Wenn du den Winkel suchst, musst du die Formel am Ende umkehren, um den Winkel aus dem Sinus (oder Kosinus/Tangens) herauszuholen. Dafür gibt es auf deinem Taschenrechner spezielle Tasten: $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$. Meistens erreichst du sie, indem du vorher die SHIFT oder 2nd Taste drückst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegeben und Gesucht markieren.
2. Die richtige Formel auswählen.
3. Einsetzen und Umkehrfunktion nutzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

In einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seiten gegeben: Die Seite gegenüber vom Winkel $\alpha$ ist $23 \text{ dm}$ lang. Die Seite, die an $\alpha$ anliegt, ist $15 \text{ dm}$ lang. Berechne den Winkel $\alpha$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gegeben und Gesucht markieren

   Wir betrachten das Dreieck vom Winkel $\alpha$ aus:

   • Gegeben: Die Gegenkathete ($23 \text{ dm}$) und die Ankathete ($15 \text{ dm}$).
   • Gesucht: Der Winkel $\alpha$.
2. 2
   Schritt 2
   Die richtige Formel auswählen

   Wir haben Gegenkathete und Ankathete. Dafür brauchen wir den Tangens:

   $\tan(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{#9570FF}{\text{Ankathete}}}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Einsetzen und Umkehrfunktion nutzen

   Wir setzen unsere Werte ein:

   $\tan(\alpha) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{23 \text{ dm}}}{\textcolor{#9570FF}{15 \text{ dm}}}$

   Um an das $\alpha$ zu kommen, nutzen wir die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$ auf beiden Seiten:

   $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{23}{15}\right)$

   Das tippen wir in den Taschenrechner ein:

Ergebnis:

Der Winkel $\alpha$ ist ungefähr $56{,}89^\circ$ groß.

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Aufgabentyp 4: Rechnen in allgemeinen Figuren (z.B. Parallelogramm)

Was machst du, wenn du eine Figur hast, die gar kein rechtwinkliges Dreieck ist? Zum Beispiel ein Parallelogramm? Sinus, Kosinus und Tangens funktionieren nur, wenn es einen rechten Winkel gibt.

Der Trick ist einfach: Wir bauen uns einen rechten Winkel!

Dazu zeichnen wir eine Hilfslinie in die Figur ein, meistens ist das die Höhe. Die Höhe steht immer senkrecht (im $90^\circ$-Winkel) auf dem Boden. Sobald du die Höhe eingezeichnet hast, entsteht im Inneren der Figur ein kleines rechtwinkliges Dreieck. In diesem kleinen Dreieck kannst du nun wie gewohnt mit Sinus, Kosinus oder Tangens rechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben ist ein Parallelogramm mit der Grundseite $a = 5{,}1 \text{ cm}$ und der schrägen Seite $b = 3{,}7 \text{ cm}$. Der Winkel unten links ist $\alpha = 53^\circ$.

Berechne zuerst die Höhe $h$ des Parallelogramms und danach den Flächeninhalt $A$. (Erinnerung: Die Fläche eines Parallelogramms ist $A = a \cdot h$).

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Höhe einzeichnen und Dreieck analysieren

   Wir zeichnen die Höhe $h$ senkrecht nach unten ein. Dadurch entsteht links ein kleines rechtwinkliges Dreieck. In diesem Dreieck betrachten wir den Winkel $\alpha = 53^\circ$:

   • Die schräge Seite $b$ ($3{,}7 \text{ cm}$) ist die Hypotenuse.
   • Die Höhe $h$ liegt gegenüber von $\alpha$, ist also die Gegenkathete.
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   Schritt 2
   Höhe h berechnen

   Da wir Gegenkathete und Hypotenuse haben, nutzen wir den Sinus:

   $\sin(53^\circ) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{h}}{\textcolor{#53E5D6}{3{,}7 \text{ cm}}}$

   Wir rechnen $\cdot 3{,}7 \text{ cm}$, um $h$ alleine stehen zu haben:

   $h = \sin(53^\circ) \cdot 3{,}7 \text{ cm}$

   $h \approx 2{,}95 \text{ cm}$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Flächeninhalt berechnen

   Jetzt kennen wir die Grundseite $a$ und die Höhe $h$. Wir setzen beides in die Flächenformel ein:

   $A = a \cdot h$

   $A = 5{,}1 \text{ cm} \cdot 2{,}95 \text{ cm}$

   $A \approx 15{,}05 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Höhe beträgt ca. $2{,}95 \text{ cm}$ und der Flächeninhalt ca. $15{,}05 \text{ cm}^2$.

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Wichtige Erkenntnisse

• Hypotenuse: Immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
• Gegenkathete: Die Seite gegenüber vom gesuchten Winkel.
• Ankathete: Die Seite direkt am gesuchten Winkel.
• Die Formeln:
  • $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
• Winkel berechnen: Nutze immer die Tasten $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ auf dem Taschenrechner.
• Allgemeine Figuren: Zeichne eine Höhe ein, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erschaffen.