Potentielle und elastische Energie: Herleitungen erklärt

Stell dir vor, du wanderst mit einem schweren Rucksack auf einen Berg. Fragst du dich manchmal, ob es weniger anstrengend wäre, den steilen, direkten Weg zu nehmen, anstatt den langen, kurvigen Pfad?

In der Physik gibt es darauf eine klare Antwort! In diesem Artikel schauen wir uns die Herleitungen der potentiellen und elastischen Energie an. Wir lernen, wie die mechanische Arbeit, die wir verrichten, als Energie gespeichert wird. Wir werden herausfinden, warum der Weg beim Bergsteigen für die gespeicherte Energie keine Rolle spielt und wie man die Energie in einer gespannten Feder berechnet.

Vorwissen

• Mechanische Arbeit ($W$): Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft entlang eines Weges wirkt. Formel: $W = F \cdot s$ Beispiel: Du schiebst eine Kiste mit einer Kraft von $50 \text{ N}$ über $2 \text{ m}$.
• Gewichtskraft ($F_G$): Die Kraft, mit der die Erde einen Körper anzieht. Formel: $F_G = m \cdot g$ (mit $g = 9{,}81 \text{ m/s}^{2}$) Beispiel: Ein $10 \text{ kg}$ schwerer Rucksack wird mit ca. $98{,}1 \text{ N}$ nach unten gezogen.
• Hookesches Gesetz: Die Kraft einer Feder steigt, je weiter man sie dehnt. Formel: $F = D \cdot s$ Beispiel: Eine Feder mit $D = 100 \text{ N/m}$ braucht $10 \text{ N}$ Kraft, um $0{,}1 \text{ m}$ gedehnt zu werden.

Aufgabentyp 1: Herleitung der potenziellen Gravitationsenergie

Wenn du einen Gegenstand anhebst, verrichtest du Arbeit. Diese Arbeit geht nicht verloren, sondern wird in dem Gegenstand als potenzielle Energie (Lageenergie) gespeichert.

Um eine Masse $\textcolor{#53E5D6}{m}$ nach oben zu heben, musst du genau ihre Gewichtskraft ausgleichen. Die benötigte Kraft ist also $\textcolor{#FF7D57}{F} = \textcolor{#53E5D6}{m} \cdot g$.

Der Weg, den du nach oben zurücklegst, ist die Höhendifferenz $\textcolor{#08BFFF}{h}$.

Setzen wir das in die Formel für die Arbeit ($W = \textcolor{#FF7D57}{F} \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$) ein:

$\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = \textcolor{#FF7D57}{F} \cdot \textcolor{#08BFFF}{h}$

$\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = (\textcolor{#53E5D6}{m} \cdot g) \cdot \textcolor{#08BFFF}{h}$

Die Unabhängigkeit vom Weg

Was passiert, wenn wir den Gegenstand nicht senkrecht hochheben, sondern über eine schräge Rampe schieben?

Die Schwerkraft zieht immer nur senkrecht nach unten. Wenn wir uns schräg bewegen, verrichten wir nur Arbeit gegen die Schwerkraft für den senkrechten Anteil unseres Weges.

Wenn der schräge Weg die Länge $\textcolor{#08BFFF}{\Delta s}$ hat und einen Winkel $\alpha$ zur Senkrechten bildet, berechnet sich die tatsächliche Höhe durch die Geometrie: $\textcolor{#08BFFF}{h} = \cos(\alpha) \cdot \textcolor{#08BFFF}{\Delta s}$.

Ein kurviger Weg ist im Grunde nur eine Aneinanderreihung von vielen winzigen, geraden schrägen Wegen. Wenn wir all diese kleinen Höhenunterschiede zusammenzählen, erhalten wir wieder genau die Gesamthöhe $\textcolor{#08BFFF}{h}$.

Das bedeutet: Die potenzielle Energie hängt ausschließlich von der vertikalen Höhendifferenz ab. Der gewählte Weg ist völlig egal!

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Herleitung der Spannenergie

Wenn wir eine Feder dehnen, speichern wir ebenfalls Energie. Diese nennen wir Spannenergie.

Hier gibt es jedoch ein Problem: Die Kraft ist beim Dehnen nicht konstant! Am Anfang lässt sich die Feder leicht ziehen, aber je weiter wir sie dehnen, desto mehr Kraft brauchen wir. Die Kraft steigt proportional zum Auslenkungsweg $\textcolor{#08BFFF}{s}$ an ($\textcolor{#FF7D57}{F} = D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$).

Weil sich die Kraft ständig ändert, können wir nicht einfach $W = F \cdot s$ rechnen. Stattdessen nutzen wir einen Trick: Wir zeichnen ein Kraft-Weg-Diagramm.

In einem solchen Diagramm entspricht die verrichtete Arbeit (und damit die gespeicherte Energie) genau der Fläche unter der Kurve.

Da die Kraft linear ansteigt, bildet die Fläche unter der Linie ein Dreieck.

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich so: $\text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.

In unserem Diagramm ist die Grundseite der Weg $\textcolor{#08BFFF}{s}$ und die Höhe ist die maximal benötigte Kraft $\textcolor{#FF7D57}{F_1}$.

Das bedeutet für die Energie:

$\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#FF7D57}{F_1} \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$

Der Durchschnittskraft-Trick

Man kann sich das auch so vorstellen: Da die Kraft gleichmäßig von $0$ auf $\textcolor{#FF7D57}{F_1}$ ansteigt, ist die durchschnittliche Kraft genau die Hälfte der maximalen Kraft ($\frac{1}{2} \textcolor{#FF7D57}{F_1}$). Wenn wir mit dieser Durchschnittskraft rechnen, erhalten wir dasselbe Ergebnis!

Nun setzen wir noch das Hookesche Gesetz ($\textcolor{#FF7D57}{F_1} = D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$) in unsere Dreiecks-Formel ein:

$\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = \frac{1}{2} \cdot (D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}) \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$

$\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}^{2}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene Werte identifizieren: Suche im Text nach der Federkonstante $D$ (in $\text{N/m}$) und dem Auslenkungsweg $\textcolor{#08BFFF}{s}$ (in $\text{m}$). Achte darauf, Einheiten wie Zentimeter in Meter umzurechnen!
2. Maximale Kraft berechnen (falls gefragt): Manchmal musst du zuerst herausfinden, wie stark am Ende gezogen wird. Nutze dafür das Hookesche Gesetz: $\textcolor{#FF7D57}{F} = D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}$.
3. Formel für die Spannenergie aufstellen: Schreibe die hergeleitete Formel auf: $\Delta \textcolor{#9570FF}{E} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot \textcolor{#08BFFF}{s}^{2}$.
4. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen ein. Vergiss nicht, dass der Weg $\textcolor{#08BFFF}{s}$ quadriert werden muss!

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Arbeit wird zu Energie: Die mechanische Arbeit, die wir verrichten, entspricht der Energie, die im System gespeichert wird.
• Lageenergie ($E = m \cdot g \cdot h$): Hängt nur von der senkrechten Höhe ab. Der Weg dorthin (ob gerade, schräg oder kurvig) spielt keine Rolle.
• Spannenergie ($E = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2}$): Da die Kraft beim Dehnen einer Feder linear ansteigt, entspricht die gespeicherte Energie der Dreiecksfläche im Kraft-Weg-Diagramm.