Was ist die Nullstellenform einer Parabel?

Die Nullstellenform ist eine spezielle Funktionsgleichung für Parabeln und lautet f(x) = a · (x - x₁) · (x - x₂) . Dabei sind x₁ und x₂ die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse. Der Wert a ist der Streckfaktor, der die Öffnung der Parabel bestimmt.

Wie kannst du die Nullstellenform aus Nullstellen aufstellen?

Um die Funktionsgleichung aufzustellen, setzt du die beiden gegebenen Nullstellen einfach für x₁ und x₂ in die Formel ein. Achte dabei auf die Vorzeichen: Aus einer negativen Nullstelle wird in der Klammer ein Plus. Den Streckfaktor a kannst du frei wählen, wenn er nicht vorgegeben ist.

Warum dreht sich das Vorzeichen in der Nullstellenform um?

In der allgemeinen Formel steht ein Minuszeichen vor den Nullstellen: (x - x₁) . Setzt du nun eine negative Zahl ein, rechnest du Minus mal Minus, was Plus ergibt. Eine Nullstelle bei x = -4 führt also zu der Klammer (x + 4) in der Gleichung.

Nullstellenform aus Nullstellen aufstellen

Wenn du die Nullstellenform aus Nullstellen aufstellen möchtest, hilft dir ein anschauliches Beispiel: Stell dir vor, du bist ein Architekt und sollst eine Brücke über einen Fluss bauen. Die Start- und Endpunkte der Brücke auf dem Boden stehen bereits fest. Aber wie soll der Bogen der Brücke aussehen? Soll er sehr hoch und spitz sein oder eher flach?

In der Mathematik sind diese Start- und Endpunkte auf dem Boden die Nullstellen einer Parabel. Wie du siehst, gibt es unendlich viele Parabeln, die durch dieselben zwei Punkte gehen. Heute lernst du eine neue Formel kennen, mit der du aus diesen zwei Punkten ganz einfach die passenden Funktionsgleichungen aufstellen kannst!

Vorwissen

Nullstelle: Der x-Wert, an dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. Hier ist der y-Wert immer $0$ .

Beispiel: Wenn eine Parabel die x-Achse bei $x = 3$ schneidet, ist $3$ eine Nullstelle.

Aufgabentyp 1: Die Nullstellenform

Bisher kennst du die Scheitelpunktform und die allgemeine Form einer Parabel. Wenn du aber die Nullstellen einer Parabel kennst, gibt es eine viel praktischere Formel: die Nullstellenform.

Die allgemeine Gleichung der Nullstellenform sieht so aus:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{x_1}) \cdot (x - \textcolor{#9570FF}{x_2})$

$\textcolor{#08BFFF}{x_1}$ und $\textcolor{#9570FF}{x_2}$ sind die beiden Nullstellen.
$\textcolor{#53E5D6}{a}$ ist der Streckfaktor. Er bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und wie breit sie ist.

Wenn in einer Aufgabe nur die beiden Nullstellen gegeben sind, kannst du dir den Streckfaktor $\textcolor{#53E5D6}{a}$ selbst aussuchen (er darf nur nicht $0$ sein). Jede Zahl, die du für $\textcolor{#53E5D6}{a}$ einsetzt, liefert dir eine andere Parabel, die aber trotzdem genau durch diese beiden Nullstellen geht.

Verschiedene Parabeln durch gleiche Nullstellen

Achtung: Die Vorzeichen-Falle!

In der Formel steht ein Minuszeichen vor den Nullstellen: $(x - x_1)$ . Das bedeutet, dass sich das Vorzeichen der Nullstelle beim Einsetzen umdreht.

Ist die Nullstelle positiv (z.B. $\textcolor{#08BFFF}{3}$ ), schreibst du: $(x - \textcolor{#08BFFF}{3})$
Ist die Nullstelle negativ (z.B. $\textcolor{#9570FF}{-4}$ ), rechnest du Minus mal Minus. Es wird zu Plus: $(x - (\textcolor{#9570FF}{-4})) = (x + \textcolor{#9570FF}{4})$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies die beiden Nullstellen $\textcolor{#08BFFF}{x_1}$ und $\textcolor{#9570FF}{x_2}$ aus der Aufgabe ab.
Setze die Werte in die Nullstellenform $f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{x_1}) \cdot (x - \textcolor{#9570FF}{x_2})$ ein. Achte dabei genau auf die Vorzeichen! Aus einer negativen Nullstelle wird in der Klammer ein Plus.
Wenn kein bestimmter Streckfaktor vorgegeben ist, wähle eine beliebige Zahl für $\textcolor{#53E5D6}{a}$ (außer $0$ ), um eine fertige Funktionsgleichung zu erhalten. Oft wählt man einfach $\textcolor{#53E5D6}{1}$ oder $\textcolor{#53E5D6}{2}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gib die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Parabeln an, welche die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$ besitzen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Nullstellen identifizieren
Die Nullstellen sind gegeben als $\textcolor{#08BFFF}{x_1 = 2}$ und $\textcolor{#9570FF}{x_2 = -3}$ .
Schritt 2
In die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die allgemeine Nullstellenform ein:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{x_1}) \cdot (x - \textcolor{#9570FF}{x_2})$

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - \textcolor{#08BFFF}{2}) \cdot (x - (\textcolor{#9570FF}{-3}))$

Da Minus mal Minus Plus ergibt, vereinfachen wir die zweite Klammer:

$f(x) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$
Schritt 3 · Ergebnis
Streckfaktor wählen (Antwort)
Wir sollen zwei verschiedene Parabeln angeben. Dafür denken wir uns einfach zwei verschiedene Zahlen für $\textcolor{#53E5D6}{a}$ aus.

Für die erste Parabel wählen wir $\textcolor{#53E5D6}{a = 1}$ : $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{1} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$ Das können wir auch kürzer schreiben als: $g(x) = (x - 2)(x + 3)$

Für die zweite Parabel wählen wir $\textcolor{#53E5D6}{a = -2}$ : $h(x) = \textcolor{#53E5D6}{-2} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$

Ergebnis:

Die beiden gesuchten Funktionsgleichungen lauten $g(x) = (x - 2)(x + 3)$ und $h(x) = -2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$ .

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Was ist laut dem Artikel eine Nullstelle?

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Wie lautet die allgemeine Gleichung der Nullstellenform?

f(x) = a \cdot (x - x_1) + a \cdot (x - x_2)

f(x) = x \cdot (a - x_1) \cdot (a - x_2)

f(x) = a \cdot (x + x_1) \cdot (x + x_2)

f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

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Wichtige Erkenntnisse

Die Nullstellenform lautet: $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$ .
Vorzeichen-Falle: Beim Einsetzen in die Klammer dreht sich das Vorzeichen der Nullstelle um (aus Minus wird Plus, aus Plus wird Minus).
Wenn nur die Nullstellen gegeben sind, kannst du den Streckfaktor $a$ frei wählen, um verschiedene Parabeln zu erzeugen.

Nullstellenform aus Nullstellen aufstellen einfach erklärt