Rechengesetze anwenden einfach erklärt: Tricks für Mathe

Stell dir vor, du stehst vor einem riesigen Berg von Hausaufgaben und sollst verschiedene Rechengesetze anwenden. Du könntest den langen, anstrengenden Weg nehmen und alles mühsam Schritt für Schritt ausrechnen. Oder du kennst eine geheime Abkürzung, mit der du in der halben Zeit fertig bist!

In der Mathematik gibt es genau solche Abkürzungen. Wir nennen sie Rechengesetze. Sie sind wie Zaubertricks, die aus einer furchtbar schweren Aufgabe eine ganz einfache Kopfrechenaufgabe machen. Lass uns herausfinden, wie du diese Tricks anwenden kannst, um dir das Leben viel leichter zu machen!

Vorwissen

• Vorzeichenregeln: Wenn du zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen multiplizierst oder dividierst, ist das Ergebnis positiv (+). Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist es negativ (-).

  Beispiel: $(-3) \cdot (-4) = 12$ und $15 : (-3) = -5$.

• Klammerregel: Was in einer Klammer steht, wird immer zuerst ausgerechnet.

  Beispiel: $5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25$.

Aufgabentyp 1: Das Vertauschungs- und Verbindungsgesetz

Manchmal sehen Multiplikationen auf den ersten Blick sehr schwer aus. Aber mit zwei einfachen Tricks kannst du sie so umbauen, dass du sie im Kopf lösen kannst.

Trick 1: Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Bei einer reinen Multiplikation (nur Mal-Rechnen) darfst du die Zahlen beliebig vertauschen. Das Ergebnis bleibt immer gleich.

Beispiel: $\textcolor{#08BFFF}{5} \cdot \textcolor{#9570FF}{(-2)} = \textcolor{#9570FF}{(-2)} \cdot \textcolor{#08BFFF}{5} = -10$

Trick 2: Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Wenn du mehrere Zahlen multiplizierst, darfst du selbst entscheiden, welche zwei Zahlen du zuerst verbindest (also in eine Klammer setzt und zuerst ausrechnest).

Beispiel: $(\textcolor{#08BFFF}{2 \cdot 5}) \cdot 7 = \textcolor{#08BFFF}{10} \cdot 7 = 70$

Beide Tricks kombinieren

Das Ziel ist es, Zahlen zu finden, die gut zusammenpassen (wie $2$ und $50$, oder $25$ und $4$), weil sie glatte Ergebnisse wie $10$, $100$ oder $1000$ ergeben.

Schau dir diese Aufgabe an: $25 \cdot (-13) \cdot (-4)$

Wenn wir von links nach rechts rechnen, wird es schwer. Aber wir sehen, dass $25$ und $(-4)$ gut zusammenpassen. Also vertauschen wir zuerst die Zahlen:

$25 \cdot \textcolor{#08BFFF}{(-4)} \cdot \textcolor{#08BFFF}{(-13)}$

Dann verbinden wir die passenden Zahlen mit einer Klammer:

$(\textcolor{#08BFFF}{25 \cdot (-4)}) \cdot (-13)$

Jetzt rechnen wir die Klammer aus (das ergibt $-100$) und multiplizieren den Rest:

$-100 \cdot (-13) = 1300$

Schon haben wir eine schwere Aufgabe ganz leicht im Kopf gelöst!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Passende Paare suchen: Suche in der Aufgabe nach zwei Zahlen, die multipliziert eine einfache Zahl ergeben (z. B. $10$, $100$, $-100$).
2. Vertauschen (Kommutativgesetz): Ändere die Reihenfolge der Zahlen so, dass die passenden Zahlen direkt nebeneinander stehen.
3. Verbinden (Assoziativgesetz): Setze Klammern um das passende Paar, um zu zeigen, dass du dies zuerst rechnest.
4. Ausrechnen: Berechne zuerst die Klammer und multipliziere das einfache Ergebnis dann mit der restlichen Zahl.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)

Das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) hilft uns, wenn Multiplikation (oder Division) auf Addition oder Subtraktion trifft. Es gibt uns zwei geniale Tricks für das Kopfrechnen.

Trick 1: Gemeinsame Zahlen ausklammern

Wenn in einer langen Plus- oder Minusaufgabe dieselbe Zahl zweimal multipliziert (oder dividiert) wird, können wir sie "ausklammern". Wir ziehen sie vor eine Klammer und rechnen den Rest zuerst.

Schau dir das an: $\textcolor{#08BFFF}{-17} \cdot 58 + 42 \cdot \textcolor{#08BFFF}{(-17)}$

Die $\textcolor{#08BFFF}{-17}$ kommt in beiden Teilen vor! Wir schreiben sie nur einmal auf und setzen den Rest in eine Klammer:

$\textcolor{#08BFFF}{-17} \cdot (58 + 42)$

Jetzt rechnen wir zuerst die Klammer aus: $58 + 42 = 100$.

Die Aufgabe wird zu: $-17 \cdot 100 = -1700$. Viel einfacher, oder?

Das funktioniert auch beim Geteilt-Rechnen:

$36 : \textcolor{#08BFFF}{12} - 72 : \textcolor{#08BFFF}{12} = (36 - 72) : \textcolor{#08BFFF}{12} = -36 : 12 = -3$

Trick 2: Zahlen schlau zerlegen

Manchmal ist eine Zahl sehr nah an einer glatten Zahl (wie $10$, $100$ oder $1000$). Dann können wir sie zerlegen, um leichter zu rechnen.

Beispiel: $25 \cdot \textcolor{#9570FF}{98}$

Die $98$ ist fast $100$. Wir schreiben sie als $(\textcolor{#9570FF}{100 - 2})$:

$25 \cdot (\textcolor{#9570FF}{100 - 2})$

Jetzt verteilen wir die $25$ auf beide Zahlen in der Klammer:

$25 \cdot 100 - 25 \cdot 2$

Das können wir im Kopf: $2500 - 50 = 2450$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gemeinsame Zahl finden: Suche in der Aufgabe nach der Zahl, die in beiden Teilen der Rechnung vorkommt (der gemeinsame Faktor oder Teiler).
2. Ausklammern (Distributivgesetz): Schreibe die gemeinsame Zahl einmal vor (oder hinter) eine Klammer. Schreibe die restlichen Zahlen mit ihrem Plus- oder Minuszeichen in die Klammer.
3. Klammer berechnen: Rechne zuerst das Ergebnis in der Klammer aus.
4. Multiplizieren oder Dividieren: Rechne das Ergebnis der Klammer mit der ausgeklammerten Zahl zusammen.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): Bei reinen Mal-Aufgaben darfst du die Zahlen beliebig vertauschen ($a \cdot b = b \cdot a$).
• Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): Du darfst Klammern setzen, um passende Zahlen zuerst zu berechnen.
• Verteilungsgesetz (Distributivgesetz): Kommt eine Zahl in einer Plus- oder Minusaufgabe doppelt als Faktor vor, kannst du sie ausklammern. Ist eine Zahl nah an der $100$, kannst du sie zerlegen.