Textaufgaben Grundrechenarten einfach erklärt: Rechenausdrücke

Stell dir vor, deine Klasse plant einen Ausflug. Zuerst sammeln alle Geld ein, dann springen drei Kinder ab, und plötzlich gibt es noch einen Rabatt auf die Busfahrt. Wie berechnet man jetzt bei solchen Textaufgaben zu den Grundrechenarten, wie viel jeder zahlen muss? Anstatt viele kleine Rechnungen auf einem Schmierzettel zu verteilen, können wir die ganze Geschichte in eine einzige, lange Matheaufgabe übersetzen!

In diesem Artikel lernst du, wie du solche Textaufgaben in einen einzigen Rechenausdruck verwandelst und ihn Schritt für Schritt löst. Außerdem schauen wir uns einen genialen Rechentrick an, der immer dann funktioniert, wenn das Ergebnis einer Malaufgabe $0$ ist.

Vorwissen

Bevor wir Textaufgaben in Rechenausdrücke übersetzen, solltest du diese zwei Grundlagen kennen:

• Klammer vor Punkt vor Strich: Klammern werden immer zuerst berechnet. Danach kommen Mal und Geteilt (Punktrechnung), und ganz am Schluss Plus und Minus (Strichrechnung).

  Beispiel: $5 + \textcolor{#08BFFF}{3 \cdot 2} = 5 + \textcolor{#08BFFF}{6} = 11$

• Gegenzahl: Die Zahl, die man zu einer anderen Zahl addieren muss, um genau $0$ zu erhalten.

  Beispiel: Die Gegenzahl von $-4$ ist $4$, denn $-4 + 4 = 0$.

Aufgabentyp 1: Textaufgaben als ein Rechenausdruck

Oft bestehen Aufgaben im Alltag aus mehreren Schritten. Wenn wir einkaufen gehen und einen Rabatt bekommen, müssen wir malnehmen, zusammenzählen und abziehen. Damit wir nicht den Überblick verlieren, schreiben wir alle diese Schritte in eine einzige Zeile. Das nennt man einen Rechenausdruck.

Dabei helfen uns die Klammern. Alles, was in einer Klammer steht, gehört fest zusammen und wird zuerst ausgerechnet. Stell dir vor, wir kaufen $3$ Äpfel für je $2~\text{€}$ und $2$ Bananen für je $1~\text{€}$. An der Kasse haben wir einen Gutschein über $1~\text{€}$, der abgezogen wird. Das sieht als einzelner Rechenausdruck so aus:

Gesamtkosten = $\textcolor{#08BFFF}{(3 \cdot 2)} + \textcolor{#9570FF}{(2 \cdot 1)} - 1$

Wir berechnen zuerst die Klammern:

$= \textcolor{#08BFFF}{6} + \textcolor{#9570FF}{2} - 1$

Zuletzt rechnen wir von links nach rechts:

$= 8 - 1 = 7~\text{€}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Informationen sammeln: Lies den Text genau. Finde alle wichtigen Zahlen und überlege, was sie bedeuten (zum Beispiel Kosten, Anzahl oder ein Rabatt).
2. Den Rechenausdruck aufbauen: Schreibe die Rechnung in einer einzigen Zeile auf. Benutze Klammern für Dinge, die zuerst berechnet werden müssen oder die als Gruppe zusammengehören (wie die Gesamtkosten, bevor sie aufgeteilt werden).
3. Ausrechnen: Löse die Aufgabe streng nach der Regel „Klammer vor Punkt vor Strich".

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Lehrerin kauft für ihre Schule $30$ Hefte für je $4~\text{€}$ und $30$ Stifte für je $2~\text{€}$. An der Kasse bekommt sie einen Rabatt von $15~\text{€}$ auf den gesamten Einkauf. Die restlichen Kosten werden gleichmäßig auf $5$ Klassen aufgeteilt. Wie viel muss jede Klasse bezahlen? Stelle einen einzigen Rechenausdruck auf und löse ihn.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Informationen sammeln
   • Kosten für Hefte: $30 \cdot 4$
   • Kosten für Stifte: $30 \cdot 2$
   • Rabatt (wird abgezogen): $- 15$
   • Aufteilen auf $5$ Klassen (wird geteilt): $: 5$
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   Schritt 2
   Den Rechenausdruck aufbauen

   Wir müssen zuerst die gesamten Kosten berechnen und den Rabatt abziehen, bevor wir den Rest durch $5$ teilen. Deshalb setzen wir diesen ersten Teil in eine große Klammer: $(30 \cdot 4 + 30 \cdot 2 - 15) : 5$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Ausrechnen

   Wir berechnen zuerst das Innere der Klammer. Darin gilt „Punkt vor Strich": $(\textcolor{#08BFFF}{30 \cdot 4} + \textcolor{#9570FF}{30 \cdot 2} - 15) : 5$ $= (\textcolor{#08BFFF}{120} + \textcolor{#9570FF}{60} - 15) : 5$

   Jetzt rechnen wir die Klammer von links nach rechts zu Ende: $= (180 - 15) : 5$ $= 165 : 5$

   Zuletzt teilen wir durch $5$: $= 33$

Ergebnis:

Jede Klasse muss $33~\text{€}$ bezahlen.

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Aufgabentyp 2: Der Satz vom Nullprodukt

Manchmal fehlt in einer Malaufgabe (einem Produkt) eine Zahl, aber wir kennen das Ergebnis. Wenn das Ergebnis genau $0$ ist, gibt es einen tollen Trick: den Satz vom Nullprodukt.

Dieser Satz besagt: Wenn das Ergebnis einer Malaufgabe $0$ ist, muss mindestens eine der Zahlen (Faktoren) $0$ sein.

Warum ist das so? Versuch einmal, zwei Zahlen miteinander malzunehmen, ohne dass eine davon $0$ ist (zum Beispiel $2 \cdot 3$ oder $5 \cdot 10$). Das Ergebnis wird niemals $0$ sein! Nur wenn du mit $0$ malnimmst (zum Beispiel $7 \cdot 0$), ist das Ergebnis $0$.

Wenn wir also eine Aufgabe wie $\textcolor{#08BFFF}{\square} \cdot \textcolor{#9570FF}{8} = 0$ haben, wissen wir sofort: Da die $\textcolor{#9570FF}{8}$ nicht $0$ ist, muss das Kästchen $\textcolor{#08BFFF}{0}$ sein!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Prüfen, ob das Ergebnis 0 ist: Der Trick funktioniert nur, wenn auf der einen Seite des Gleichheitszeichens eine $0$ steht und auf der anderen Seite eine Malaufgabe.
2. Den bekannten Teil ausrechnen: Rechne den Teil der Aufgabe (den Faktor) aus, in dem keine Zahl fehlt.
3. Den fehlenden Teil auf 0 setzen: Da der ausgerechnete Teil nicht $0$ ist, muss der Teil mit der fehlenden Zahl $0$ ergeben. Finde heraus, welche Zahl du einsetzen musst, damit genau $0$ herauskommt.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Rechenausdrücke: Fasse alle Schritte einer Textaufgabe in einer einzigen Zeile zusammen. Nutze Klammern für alles, was zuerst berechnet werden muss.
• Reihenfolge: Es gilt immer „Klammer vor Punkt vor Strich".
• Satz vom Nullprodukt: Wenn eine Malaufgabe $0$ ergibt ($a \cdot b = 0$), dann muss mindestens einer der Faktoren $0$ sein.