Was sind erzwungene Schwingungen und Resonanz?

Eine erzwungene Schwingung entsteht, wenn ein Schwingkreis durch einen äußeren Generator eine Erregerfrequenz aufgezwungen bekommt. Stimmt diese Erregerfrequenz exakt mit der Eigenfrequenz des Schwingkreises überein, spricht man von Resonanz . In diesem Zustand erreicht die Stromstärke ihr absolutes Maximum.

Wie berechnet man die Resonanzfrequenz?

Die Resonanzfrequenz berechnest du mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung : f₀ = 1 / (2π · √(L · C)) . Dafür benötigst du die Induktivität L der Spule und die Kapazität C des Kondensators. Setze beide Werte in die Formel ein, um die Frequenz in Hertz zu erhalten.

Welche Rolle spielt der ohmsche Widerstand bei der Resonanz?

Der ohmsche Widerstand wirkt im Stromkreis wie eine Bremse und entzieht dem System Energie in Form von Wärme. Je kleiner der Widerstand ist, desto höher und spitzer wird das Maximum der Stromstärke bei Resonanz. Bei einem großen Widerstand fällt die Resonanzkurve deutlich flacher aus.

Was passiert mit der Phasendifferenz im Resonanzfall?

Bei einer erzwungenen Schwingung hinkt die interne Schwingung der äußeren Spannung zeitlich hinterher. Genau im Fall der Resonanz beträgt diese Phasendifferenz exakt eine Viertelperiode, was einem Winkel von π/2 entspricht. Das gilt unabhängig von der Größe des ohmschen Widerstands.

Erzwungene Schwingungen und Resonanz

Hast du dich jemals gefragt, wie ein Radio aus tausenden von unsichtbaren Signalen in der Luft genau den einen Sender herausfischt, den du hören willst? Das Geheimnis dahinter sind erzwungene Schwingungen und Resonanz!

Ähnlich wie du eine Schaukel genau im richtigen Moment anschubsen musst, damit sie höher fliegt, kann auch ein Stromkreis durch eine äußere Spannung im perfekten Rhythmus "angeschubst" werden. In dieser Lektion lernst du, wie Stromkreise auf solche äußeren Antriebe reagieren und warum der elektrische Widerstand dabei eine entscheidende Rolle spielt.

Vorwissen

Eigenfrequenz ( $f_0$ ): Die Frequenz, mit der ein Schwingkreis von Natur aus schwingt. Formel: $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ Beispiel: Ein Schwingkreis mit einer bestimmten Spule und einem Kondensator schwingt von selbst mit $50 \text{ Hz}$ .
Gedämpfte Schwingung: Ein ohmscher Widerstand ( $R$ ) wandelt elektrische Energie in Wärme um, wodurch die Schwingung mit der Zeit schwächer wird. Beispiel: Ohne ständige Energiezufuhr kommt der Strom in einem realen Schwingkreis irgendwann zum Erliegen.

Aufgabentyp 1: Erzwungene Schwingungen und elektrische Resonanz

Wenn wir einen Schwingkreis an einen Wechselstromgenerator anschließen, zwingt der Generator dem Kreis seine eigene Erregerfrequenz auf. Nach einem kurzen Einschwingvorgang schwingt der Stromkreis dauerhaft genau mit dieser Erregerfrequenz. Das nennt man eine erzwungene Schwingung.

Das Spannende passiert, wenn die Erregerfrequenz des Generators exakt mit der Eigenfrequenz des Schwingkreises übereinstimmt. Dieser Zustand heißt Resonanz. In diesem Moment nimmt der Schwingkreis die Energie optimal auf und die Stromstärke erreicht ihr absolutes Maximum.

Der ohmsche Widerstand ( $R$ ) im Stromkreis wirkt dabei wie eine Bremse. Je kleiner der Widerstand ist, desto weniger Energie geht als Wärme verloren. Das führt dazu, dass das Maximum der Stromstärke bei Resonanz viel höher und spitzer wird. Bei einem großen Widerstand ist der "Gipfel" der Kurve deutlich flacher.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Werte für Spule und Kondensator notieren – Finde die Induktivität ( $L$ ) der Spule und die Kapazität ( $C$ ) des Kondensators aus der Aufgabenstellung heraus. Achte auf die Einheiten (z.B. Milli oder Mikro).
Schritt 2: Thomsonsche Schwingungsgleichung aufstellen – Notiere die Formel für die Eigenfrequenz: $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ . Genau bei dieser Frequenz tritt die Resonanz auf.
Schritt 3: Werte einsetzen und ausrechnen – Setze die Werte für $L$ und $C$ in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Die Einheit der Frequenz ist Hertz ( $\text{Hz}$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einer Spule mit einer Induktivität von $0{,}2 \text{ H}$ und einem Kondensator mit einer Kapazität von $5 \mu\text{F}$ . Der Kreis wird von einem variablen Wechselstromgenerator angetrieben. Berechne die Frequenz, bei der die Stromstärke im Kreis ihr absolutes Maximum erreicht.

Fortschritt

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Schritt 1
Werte für Spule und Kondensator notieren
Gegeben: Induktivität $L = 0{,}2 \text{ H}$ Kapazität $C = 5 \text{ }\mu\text{F} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ F}$ Gesucht: Resonanzfrequenz $f_0$ (da hier die Stromstärke maximal wird).
Schritt 2
Thomsonsche Schwingungsgleichung aufstellen
Die Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz entspricht: $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
Schritt 3 · Ergebnis
Werte einsetzen und ausrechnen
$f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{0{,}2 \text{ H} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ F}}}$ $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{2}}}$ $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot 0{,}001 \text{ s}}$ $f_0 \approx 159{,}15 \text{ Hz}$

Ergebnis:

Die Stromstärke erreicht ihr absolutes Maximum bei einer Frequenz von ca. $159{,}15 \text{ Hz}$ . Realitätscheck: Eine Frequenz im Bereich von einigen hundert Hertz ist für typische Spulen und Kondensatoren im Schulversuch ein realistischer und sinnvoller Wert.

Quiz zu Erzwungene Schwingungen und Resonanz: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Erzwungene Schwingungen und Resonanz

Was bewirkt ein ohmscher Widerstand in einem Schwingkreis?

Quizfrage 2 zu Erzwungene Schwingungen und Resonanz

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Wann genau tritt in einem Stromkreis der Zustand der Resonanz ein?

Übungsaufgabe zu Erzwungene Schwingungen und Resonanz

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Aufgabentyp 2: Phasendifferenz bei Resonanz

Wenn der Generator den Stromkreis "anschubst", reagiert der Stromkreis nicht völlig ohne Verzögerung. Die Schwingung im Inneren des Stromkreises hinkt der äußeren Spannung des Generators zeitlich hinterher. Diese zeitliche Verschiebung nennen wir Phasendifferenz ( $\Delta\varphi$ ).

Genau im Fall der Resonanz (wenn die Frequenzen übereinstimmen) gibt es eine ganz besondere Regel: Die interne Schwingung eilt der äußeren Anregung um exakt eine Viertelperiode hinterher.

Da eine volle Schwingungsperiode in der Mathematik einem Winkel von $2\pi$ entspricht, ist eine Viertelperiode genau $\pi/2$ . Das bedeutet: Bei Resonanz beträgt die Phasendifferenz immer exakt $\pi/2$ , unabhängig davon, wie groß der ohmsche Widerstand ist. Wie du im Diagramm siehst, kreuzen sich alle Kurven genau in diesem Punkt!

Wichtige Erkenntnisse

Erzwungene Schwingung: Ein Schwingkreis übernimmt nach kurzer Zeit die Erregerfrequenz eines äußeren Generators.
Resonanz: Stimmt die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz überein, erreicht die Stromstärke ihr absolutes Maximum.
Einfluss des Widerstands: Ein kleinerer ohmscher Widerstand führt zu einem höheren und spitzeren Resonanzmaximum.
Phasendifferenz: Genau bei Resonanz hinkt die interne Schwingung der äußeren Anregung um exakt eine Viertelperiode (also $\pi/2$ ) hinterher.

Erzwungene Schwingungen und Resonanz einfach erklärt: Formeln