Reale Gase einfach erklärt: Van-der-Waals-Gleichung

Stell dir eine leere U-Bahn vor. Du kannst stehen, wo du willst, und interagierst nicht mit den wenigen anderen Fahrgästen. Genau so verhält sich ein „ideales Gas“. Aber was passiert zur Rushhour?

Plötzlich ist die Bahn brechend voll. Die Menschen nehmen physischen Platz weg und du wirst vielleicht vom Rucksack deines Nachbarn mitgezogen. In der Welt der Physik passiert diese „Rushhour“ bei extrem hohem Druck. In dieser Lektion lernen wir, warum das ideale Gasgesetz unter solchen Bedingungen zusammenbricht und wie die Van-der-Waals-Gleichung den Tag rettet!

Schnellantwort

Ein reales Gas ist ein Gas, bei dem das Eigenvolumen der Gasteilchen und deren gegenseitige Anziehungskräfte nicht mehr vernachlässigt werden können. Dies tritt besonders bei extrem hohem Druck auf, weshalb das ideale Gasgesetz hier durch die Van-der-Waals-Gleichung ersetzt werden muss.

Vorwissen

• Ideales Gasgesetz: Beschreibt das Verhalten von Gasen unter normalen Bedingungen. Formel: $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ Beispiel: Ein Ballon mit $1 \text{ mol}$ Gas dehnt sich aus, wenn die Temperatur $T$ steigt, damit der Druck $p$ im Inneren konstant bleibt.

Aufgabentyp 1: Abweichungen und die Van-der-Waals-Gleichung

Das ideale Gasmodell geht von zwei großen Vereinfachungen aus: Die Gasteilchen sind unendlich kleine Punkte (ohne eigenes Volumen) und sie ziehen sich nicht gegenseitig an. Bei normalem Druck und Raumtemperatur funktioniert das sehr gut.

Real-World Context: In technischen Anwendungen, wie zum Beispiel in Gasflaschen für Taucher, herrscht jedoch ein extrem hoher Druck. Die Teilchen werden dicht zusammengepresst.

Unter diesen extremen Bedingungen wird das Gas zu einem realen Gas und weicht vom idealen Verhalten ab:

1. Eigenvolumen: Die Teilchen haben eine tatsächliche Größe. Sie können nicht auf ein Volumen von null zusammengepresst werden.
2. Anziehungskräfte: Wenn die Teilchen sehr nah beieinander sind, ziehen sie sich gegenseitig an.

Um diese Effekte zu berechnen, hat der Physiker Johannes Diderik van der Waals das ideale Gasgesetz erweitert. Die Van-der-Waals-Gleichung fügt zwei Korrekturwerte hinzu:

• Die Konstante $\textcolor{#08BFFF}{b}$ korrigiert das Eigenvolumen. Das Gas hat weniger Platz zur Verfügung, also rechnen wir $(V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b})$.
• Die Konstante $\textcolor{#9570FF}{a}$ korrigiert die Anziehungskräfte. Weil sich die Teilchen gegenseitig zurückziehen, prallen sie schwächer gegen die Wand. Der gemessene Druck ist also kleiner. Um auf den idealen Druck zu kommen, müssen wir einen Wert addieren: $(p + \frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2})$.

Wenn wir diese beiden Korrekturen in das ideale Gasgesetz ($p \cdot V = n \cdot R \cdot T$) einbauen, erhalten wir die vollständige Formel:

$\left( p + \frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2} \right) \cdot (V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b}) = n \cdot R \cdot T$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

In Prüfungen musst du oft den tatsächlichen Druck $p$ eines realen Gases berechnen. Dafür müssen wir die Van-der-Waals-Gleichung umstellen.

1. Werte und Konstanten notieren: Schreibe alle gegebenen Werte ($n, V, T$) und die materialspezifischen Konstanten ($\textcolor{#9570FF}{a}$ und $\textcolor{#08BFFF}{b}$) auf. Achte auf die SI-Einheiten (z.B. Volumen in $\text{m}^3$).
2. Formel nach dem Druck umstellen: Teile zuerst durch die Volumen-Klammer und ziehe dann den Druck-Korrekturterm ab. Die umgestellte Formel lautet immer: $p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b}} - \frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2}$
3. Teilterme einzeln berechnen: Berechne zuerst den linken Bruch (den "idealen" Teil mit Volumenkorrektur) und dann den rechten Bruch (die Druckkorrektur).
4. Endergebnis ausrechnen: Subtrahiere den rechten Wert vom linken Wert, um den realen Druck in Pascal ($\text{Pa}$) zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einem robusten Stahltank mit einem Volumen von $0.1 \text{ m}^3$ befinden sich $100 \text{ mol}$ eines realen Gases bei einer Temperatur von $300 \text{ K}$. Berechne den Druck $p$ im Tank. Verwende die universelle Gaskonstante $R = 8.31 \text{ J/(mol K)}$. Die Van-der-Waals-Konstanten für dieses Gas sind: $a = 0.4 \text{ Pa m}^6/\text{mol}^2$ und $b = 0.00004 \text{ m}^3/\text{mol}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Werte und Konstanten notieren

   Gegeben: $V = 0.1 \text{ m}^3$ $n = 100 \text{ mol}$ $T = 300 \text{ K}$ $R = 8.31 \text{ J/(mol K)}$ (Hinweis: $1 \text{ J} = 1 \text{ Pa m}^3$) $\textcolor{#9570FF}{a} = 0.4 \text{ Pa m}^6/\text{mol}^2$ $\textcolor{#08BFFF}{b} = 0.00004 \text{ m}^3/\text{mol}$ Gesucht: Druck $p = ?$

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   Schritt 2
   Formel nach dem Druck umstellen

   Wir nutzen die umgestellte Van-der-Waals-Gleichung: $p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b}} - \frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2}$

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   Schritt 3
   Teilterme einzeln berechnen

   Wir setzen die Werte in den ersten Bruch ein: $\frac{n \cdot R \cdot T}{V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b}} = \frac{100 \text{ mol} \cdot 8.31 \text{ J/(mol K)} \cdot 300 \text{ K}}{0.1 \text{ m}^3 - 100 \text{ mol} \cdot \textcolor{#08BFFF}{0.00004 \text{ m}^3/\text{mol}}}$ $= \frac{249300 \text{ J}}{0.1 \text{ m}^3 - 0.004 \text{ m}^3}$ $= \frac{249300 \text{ J}}{0.096 \text{ m}^3} \approx 2596875 \text{ Pa}$

   Nun berechnen wir den zweiten Bruch (die Korrektur durch Anziehungskräfte): $\frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2} = \frac{(100 \text{ mol})^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{0.4 \text{ Pa m}^6/\text{mol}^2}}{(0.1 \text{ m}^3)^2}$ $= \frac{10000 \text{ mol}^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{0.4 \text{ Pa m}^6/\text{mol}^2}}{0.01 \text{ m}^6}$ $= \frac{4000 \text{ Pa m}^6}{0.01 \text{ m}^6} = 400000 \text{ Pa}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Endergebnis ausrechnen

   Jetzt ziehen wir die Korrektur ab: $p = 2596875 \text{ Pa} - 400000 \text{ Pa}$ $p = 2196875 \text{ Pa}$

Ergebnis:

Der Druck des realen Gases im Tank beträgt $2196875 \text{ Pa}$ (oder ca. $2.2 \text{ MPa}$). Ein ideales Gas hätte unter diesen Bedingungen einen Druck von ca. $2.49 \text{ MPa}$ erzeugt. Da sich die Teilchen des realen Gases gegenseitig anziehen, prallen sie mit weniger Wucht gegen die Wand. Ein geringerer Druck als beim idealen Gas ergibt also physikalisch absolut Sinn!

Wichtige Erkenntnisse

• Bei hohen Drücken weichen Gase vom idealen Verhalten ab, da die Teilchen dicht zusammengedrängt werden.
• Reale Gasteilchen besitzen ein Eigenvolumen (Korrekturfaktor $\textcolor{#08BFFF}{b}$).
• Reale Gasteilchen üben Anziehungskräfte aufeinander aus (Korrekturfaktor $\textcolor{#9570FF}{a}$).
• Die Van-der-Waals-Gleichung berücksichtigt diese beiden Eigenschaften: $\left( p + \frac{n^2 \cdot \textcolor{#9570FF}{a}}{V^2} \right) \cdot (V - n \cdot \textcolor{#08BFFF}{b}) = n \cdot R \cdot T$.