Additionsverfahren einfach erklärt: LGS rechnerisch lösen

Stell dir vor, du hast zwei Waagen im Gleichgewicht. Auf der ersten Waage liegen $3$ Äpfel und $2$ Bananen, die zusammen $700 \text{ g}$ wiegen. Auf der zweiten Waage liegen $1$ Apfel und $2$ Bananen, die $300 \text{ g}$ wiegen. Wenn du nun den Inhalt der zweiten Waage von der ersten wegnimmst, verschwinden die Bananen komplett! Übrig bleiben nur noch $2$ Äpfel, die dann $400 \text{ g}$ wiegen müssen.

Genau diese clevere Idee nutzen wir in der Mathematik beim Additionsverfahren. Anstatt Gleichungen mühsam umzustellen, addieren (oder subtrahieren) wir sie so, dass eine Variable einfach verschwindet. Lass uns ansehen, wie du damit ein lineares Gleichungssystem (LGS) rechnerisch lösen kannst!

Vorwissen

• Gleichsetzungsverfahren: Wird genutzt, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Beispiel: $(I): y = 2x$ und $(II): y = x + 2$.
• Einsetzungsverfahren: Wird genutzt, wenn eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist. Beispiel: $(I): x = 3y$ und $(II): 2x + y = 7$.
• Gleichungen multiplizieren: Man darf eine ganze Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, solange man jeden Term auf beiden Seiten multipliziert. Beispiel: $x + 2y = 3 \quad | \cdot 4 \implies 4x + 8y = 12$.

Aufgabentyp 1: Das Additionsverfahren verstehen

Das Ziel des Additionsverfahrens ist es, zwei Gleichungen so zu addieren, dass eine der beiden Variablen (entweder $x$ oder $y$) komplett wegfällt. Das funktioniert aber nur, wenn vor dieser Variablen in beiden Gleichungen die gleiche Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen steht (zum Beispiel $\textcolor{#08BFFF}{3x}$ und $\textcolor{#08BFFF}{-3x}$).

Schauen wir uns das an einem kurzen Beispiel an:

$(I): \textcolor{#08BFFF}{2x} + y = 5$

$(II): \textcolor{#08BFFF}{-2x} + 3y = 3$

Wenn wir nun die linke Seite von $(I)$ mit der linken Seite von $(II)$ addieren und das Gleiche auf der rechten Seite tun, heben sich $\textcolor{#08BFFF}{2x}$ und $\textcolor{#08BFFF}{-2x}$ gegenseitig auf. Übrig bleibt nur $y + 3y = 5 + 3$, also $4y = 8$. Die Variable $x$ ist verschwunden und wir können ganz leicht $y$ berechnen!

Oft stehen nicht direkt die passenden Zahlen vor den Variablen. In diesem Fall müssen wir eine (oder sogar beide) Gleichungen vorher mit einer geschickten Zahl multiplizieren, um diese Gegensätze künstlich zu erzeugen.

Du weißt bereits, dass jede lineare Gleichung grafisch eine Gerade darstellt und die Lösung des Systems der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist. Wenn wir zwei Gleichungen addieren oder mit einer Zahl multiplizieren, erschaffen wir mathematisch eine völlig neue Gleichung. Grafisch bedeutet das: Wir zeichnen eine neue Gerade. Das Besondere daran ist, dass diese neue Gerade exakt durch denselben Schnittpunkt verläuft wie die ursprünglichen Geraden! Wir verändern also das Aussehen der Gleichungen, aber die Lösung bleibt immer gleich.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Variablen sortieren – Stelle sicher, dass in beiden Gleichungen die Variablen ($x$ und $y$) auf der linken Seite und die reinen Zahlen auf der rechten Seite stehen.
2. Schritt 2: Gleichung(en) multiplizieren – Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass vor einer Variablen (z. B. $x$) in beiden Gleichungen dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen steht.
3. Schritt 3: Gleichungen addieren – Addiere die beiden Gleichungen. Die Variable mit den umgekehrten Vorzeichen fällt weg. Löse die übrig gebliebene Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.
4. Schritt 4: Zweite Variable berechnen – Setze das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein und berechne die andere Variable.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Die Wahl des richtigen Verfahrens

Du kennst nun drei verschiedene Methoden, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Alle drei Wege führen immer zum selben, richtigen Ergebnis!

Um dir aber Zeit und Rechenarbeit zu sparen, solltest du dir die Gleichungen vor dem Rechnen genau ansehen. Je nachdem, wie die Gleichungen aufgebaut sind, bietet sich ein bestimmtes Verfahren besonders an:

• Gleichsetzungsverfahren: Wähle dieses Verfahren, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind. Woran du es erkennst: Beide Gleichungen beginnen mit $y = \dots$ oder $x = \dots$
• Einsetzungsverfahren: Wähle dieses Verfahren, wenn genau eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Woran du es erkennst: Eine Gleichung sieht aus wie $x = 3y + 1$ und die andere ist gemischt, z. B. $2x + 4y = 10$.
• Additionsverfahren: Wähle dieses Verfahren, wenn in beiden Gleichungen die Variablen auf der einen Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. Woran du es erkennst: Die Gleichungen sehen aus wie $3x + 2y = 5$ und $4x - 2y = 8$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Beim Additionsverfahren multiplizieren wir Gleichungen so, dass vor einer Variablen dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen steht. Beim Addieren fällt diese Variable dann weg.
• Grafisch gesehen erzeugt das Addieren von Gleichungen eine neue Gerade, die aber exakt durch denselben Schnittpunkt verläuft.
• Verfahren clever wählen:
  • Beide Gleichungen nach $y$ (oder $x$) aufgelöst $\to$ Gleichsetzen.
  • Eine Gleichung nach $y$ (oder $x$) aufgelöst $\to$ Einsetzen.
  • Variablen auf der einen, Zahlen auf der anderen Seite $\to$ Addieren.